Надеюсь, вы различаете понятия «точка минимума», «минимум», «наименьшее значение функции»… + показать
Задача 1. Найдите точку минимума функции $y=\sqrt{x^2+20x+104}$.
Решение: + показать
Подкоренное выражение $f=x^2+20x+104$ – с графической точки зрения – парабола с ветвями вверх и вершиной, абсцисса которой равна $-10$ (согласно формуле $x_v=-\frac{b}{2a}).$ В этой точке $f(x)$ достигает минимума.
Функция $y=\sqrt{f(x)}$ возрастает и определена в точке $x=-10$. Поэтому $y=\sqrt{f(x)}$ достигает своего минимума в той же точке, в которой достигает минимума подкоренное выражение $f=x^2+20x+104$.
Ответ: $-10$.
Задача 2. Найдите наименьшее значение функции $y=\sqrt{x^2+8x+185}.$
Решение: + показать
Проще всего, пожалуй, будет рассуждать так:
$x^2+8x+185=(x^2+8x+16)+169=(x+4)^2+169,$
поэтому
$\sqrt{(x+4)^2+169}\geq \sqrt{169}=13$.
Значит, наименьшее значение функции – это $13$.
Ответ: $13$.
Задача 3. Найдите точку максимума функции $y=8^{-30+12x-x^2}$.
Решение: + показать
Квадратный трехчлен $f=-30+12x-x^2$, являющийся показателем степенной функции достигает максимума в точке $x=\frac{-12}{-2}=6$ (в вершине параболы с ветвями вниз).
В силу возрастания внешней функции (на $R$) максимум $y=8^f$ также достигается в точке $x=6$.
Ответ: $6$.
Задача 4. Найдите минимум функции $y=log_3(x^2+24x+147)+2$.
Решение: + показать
Очевидно, минимум функции $f(x)=x^2+24x+147$ достигается в точке $x_v=-\frac{b}{2a}$ (вершине параболы), то есть в точке $x=-12.$
В силу возрастания внешней функции (основание логарима больше 1), при этом функция $y(x)$ определена в точке $-12$, минимум исходной функции $y(x)$ будет достигаться также в точке $-12$.
Тогда $y_{min}=log_3(144-288+147)+2=3$
Ответ: $3$.
Задача 5. Найдите наименьшее значение функции $y=5^{x^2-24x+148}$
Решение: + показать
Наименьшее значение функции $f=x^2-24x+148$ – в точке $12$ (вершине параболы с ветвями вверх).
В силу возрастания показательной функции $5^f$ (на R), ее наименьшее значение достигается в той же точке, в которой достигается наименьшее значение функции $f=x^2-24x+148$, то есть в точке 12. Тогда само значение функции в точке 12 есть $5^{12^2-24\cdot 12+148}=5^4=625.$
Ответ: $625$.
Вы можете пройти тест (исследование функции без использования производной)
Главная
Справочник
Видеоуроки
ЕГЭ
МГУ
Тесты
Карта сайта
Контакты
Вы можете пройти тест (исследование функции без использования производной)
Кстати, даже не задумывался о разнице между понятиями “точка минимума”, “минимум” и “наименьшее значение” хотя понимаю всё это интуитивно, поэтому проблем с такими задачами пока не было :)
Ну, вот теперь интуиция укрепилась знаниями!..
Задача 1, не совсем понял выражение “Значит, [latexpage] и $y=\sqrt{f(x)}$ достигает своего минимума в точке x=-10”, то есть корень никак не влияет на положение точки минимума?
[latexpage]В силу того, что $y=\sqrt{f(x)}$ – возрастающая функция.
Смотрите, – берем бОльшее значение аргумента, – получаем бОльшее значение функции. Самому бОльшому значению аргумента соответствует самое бОльшое значение функции.
Я не совсем понимаю как Корень влияет на функцию? я так понимаю подкоренное выражение f(x) может быть только положительным? Но, допустим если под корнем число 25, то из под корня выйдет +-5 ?
как будет изображаться график?
Нет, из под корня – только 5. Срочно с этим разобраться следует!
И очень важно понимать определение возрастающей/убывающей функции.
Еще раз поразмышлять над этой фразой:
«…берем бОльшее значение аргумента, – получаем бОльшее значение функции. Самому бОльшому значению аргумента (в нашем случае – подкоренному выражению) соответствует самое бОльшое значение функции (сам корень)»
В конце-концов, можно и через производную искать минимум/максимум…
Нужно учесть что значение квадратичного трёхчлена под корнем (квадратным) не может быть отрицательным?
Об этом нужно помнить всегда… Но здесь это не используется… Анатолий, для вашего же спокойствия, проделайте задания с использованием производной.
Логику 2-й задачи тоже совсем не могу понять… Почему именно 13?
Попробуйте сначала рассуждать также как и в задаче 1. Потом, думаю, станет понятен и этот способ.
Буду зубрить формулы дифференцирования… с графиками у меня вообще беда…
Добрый вечер, помогите, пожалуйста, разобраться в задании)
Найдите наибольшее значение функции: f(x)= cos2x+sinx
После нахождения производной и f'(x)=0 получилось, что cosx=0 sinx=1\4… А дальше ничего не получается(
Спасибо)
Надежда, я так полагаю, должен быть указан отрезок, на котором мы находим наибольшее значение…
Уточните.
Здравствуйте, отрезок не указан…
Это меня и привело в заблуждение)
Наибольшее значение сидит в максимуме.
[latexpage]$y(arcsin\frac{1}{4}+2\pi n)=cos(2(arcsin\frac{1}{4}+2\pi n))+$
$+sin(arcsin\frac{1}{4}+2\pi n)=$
$=\frac{7}{8}+\frac{1}{4}=\frac{9}{8}.$
$y(\pi-arcsin\frac{1}{4}+2\pi n)=…$
Спасибо огромное)
Шикарный сайт
помогите,пожалуйста, решить первый пример через производную .(не могу найти корни )
[latexpage]$f’=\frac{1}{2}\cdot (x^2+20x+104)^{-\frac{1}{2}}\cdot (2x+20);$
$f’=\frac{x+10}{\sqrt{x^2+20x+104}}.$
$f’=0$ в точке $-10$ (точке минимума). Заметим, $f$ определена на $R$ (подкоренное выражение положительно при любом $x$).
Ответ: $-10$.
Здравствуйте. Извините за вопрос, но Я что-то встал на этом, и не знаю, что делать. Во втором примере ведь два корня выйдет 13 и -13… Почему Мы выбираем именно 13?
Наруто, откуда появляется -13, объясните?
Я не понимаю…
Ну, корень из 169 будет же как 13, так и -13?
Наруто, нет!
Не путайте одно с другим. Уравнение x^2=169 имеет два корня 13 и -13.
А вот арифметический квадратный корень из 169 – это 13 (по определению!).
Точно! Не подумал совсем. Спасибо Вам Елена Юрьевна! =)
Здравствуйте
В задании 2 наименьшее значение функции вы находите по ординате вершины. А в задании 5 НЗФ по аргументу вершины.Почему?
В 5 задании сказано – «нзф» – в точке 12. Не само нзф равно 12, а достигается в точке 12.
В 5 задании сказано – «нзф» – в точке 12. Не само нзф равно 12, а достигается в точке 12. Само нфз – f(12).