№16 (С2) из Тренировочной работы №86 А. Ларина

2023-07-22

Задания 15, 17, 19, 20 из Тренировочного варианта № 86.

В прямую призму $ABCDA_1B_1C_1D_1$, нижним основанием которой является ромб $ABCD$, а $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $DD_1$ – боковые рёбра, вписан шар радиуса 1.

а) Постройте плоскость, проходящую через вершины $A$, $B$, $C_1$.

б) Найдите площадь сечения призмы этой плоскостью, если известно, что $\angle BAD=\frac{\pi}{3}.$

Решение:

Сечение призмы плоскостью, проходящей через точки $A$, $B$, и $C_1$ – есть параллелограмм  $AD_1C_1B$.

т

Действительно, поскольку мы знаем, что параллельные плоскости рассекаются третьей плоскостью по параллельным прямым, то плоскость $(ABC_1)$ пересекает плоскость грани $DCC_1D_1$, параллельную $ABB_1A_1$, по прямой $D_1C_1$, параллельной $AB$.

Поскольку шар вписан в призму, расстояния между всеми параллелыми гранями равны (и равны диаметру шара).

Опустим перпендикуляр $DV$ из т. $D$ к стороне $AB$. По теореме о трех перпендикулярах $D_1V\perp AB$.

що

При этом $DV$ – именно расстояние между гранями $AA_1B_1B$ и $DD_1C_1C$.

Итак, $DD_1=DV=2$.

$\Delta VDD_1$ – прямоугольный с равными катетами. $VD_1=\sqrt2\cdot 2.$

Из равностороннего треугольнике $ABD$ с высотой $VD=2$ находим $AB:$

$sinA=\frac{VD}{AD};$

$\frac{\sqrt3}{2}=\frac{2}{AB};$

$AB=\frac{4}{\sqrt3}.$

Наконец, $S_{AD_1C_1B}=AB\cdot VD_1 =\frac{4\sqrt3}{3}\cdot 2\sqrt2=\frac{8\sqrt6}{3}$.

Ответ: $\frac{8\sqrt6}{3}$.

Печать страницы
комментария 2
  1. владимир

    В строке перед самым ответом умножение на 2 ошибочно, так как VD1 = 2 корня из 2. Видимо, опечатка (потому что результат умножения – верное число!)

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Владимир, спасибо! корень из 2-х не пропечатался… Исправлено.

      [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




одиннадцать + шестнадцать =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif