№16 (С2) из Тренировочной работы №86 А. Ларина

Задания 15, 17, 19, 20 из Тренировочного варианта № 86.

В прямую призму $ABCDA_1B_1C_1D_1$, нижним основанием которой является ромб $ABCD$, а $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $DD_1$ – боковые рёбра, вписан шар радиуса 1.

а) Постройте плоскость, проходящую через вершины $A$, $B$, $C_1$.

б) Найдите площадь сечения призмы этой плоскостью, если известно, что $\angle BAD=\frac{\pi}{3}.$

Решение:

Сечение призмы плоскостью, проходящей через точки $A$, $B$, и $C_1$ – есть параллелограмм  $AD_1C_1B$.

Действительно, поскольку мы знаем, что параллельные плоскости рассекаются третьей плоскостью по параллельным прямым, то плоскость $(ABC_1)$ пересекает плоскость грани $DCC_1D_1$, параллельную $ABB_1A_1$, по прямой $D_1C_1$, параллельной $AB$.

Поскольку шар вписан в призму, расстояния между всеми параллелыми гранями равны (и равны диаметру шара).

Опустим перпендикуляр $DV$ из т. $D$ к стороне $AB$. По теореме о трех перпендикулярах $D_1V\perp AB$.

При этом $DV$ – именно расстояние между гранями $AA_1B_1B$ и $DD_1C_1C$.

Итак, $DD_1=DV=2$.

$\Delta VDD_1$ – прямоугольный с равными катетами. $VD_1=\sqrt2\cdot 2.$

Из равностороннего треугольнике $ABD$ с высотой $VD=2$ находим $AB:$

$sinA=\frac{VD}{AD};$

$\frac{\sqrt3}{2}=\frac{2}{AB};$

$AB=\frac{4}{\sqrt3}.$

Наконец, $S_{AD_1C_1B}=AB\cdot VD_1 =\frac{4\sqrt3}{3}\cdot 2\sqrt2=\frac{8\sqrt6}{3}$.

Ответ: $\frac{8\sqrt6}{3}$.