№16 (С2) из Тренировочной работы №86 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»

Задания 15, 17, 19, 20 из Тренировочного варианта № 86.

 

В прямую призму ABCDA_1B_1C_1D_1, нижним основанием которой является ромб ABCD, а AA_1, BB_1, CC_1, DD_1 – боковые рёбра, вписан шар радиуса 1.

а) Постройте плоскость, проходящую через вершины A, B, C_1.

б) Найдите площадь сечения призмы этой плоскостью, если известно, что \angle BAD=\frac{\pi}{3}.

Решение:

Сечение призмы плоскостью, проходящей через точки A, B, и C_1 – есть параллелограмм  AD_1C_1B.

Действительно, поскольку мы знаем, что параллельные плоскости рассекаются третьей плоскостью по параллельным прямым, то плоскость (ABC_1) пересекает плоскость грани DCC_1D_1, параллельную ABB_1A_1, по прямой D_1C_1, параллельной AB.

Поскольку шар вписан в призму, расстояния между всеми параллелыми гранями равны (и равны диаметру шара).

Опустим перпендикуляр DV из т. D к стороне AB. По теореме о трех перпендикулярах D_1V\perp AB.

При этом DV – именно расстояние между гранями AA_1B_1B и DD_1C_1C.

Итак, DD_1=DV=2.

\Delta VDD_1 – прямоугольный с равными катетами. VD_1=\sqrt2\cdot 2.

Из равностороннего треугольнике ABD с высотой VD=2 находим AB:

sinA=\frac{VD}{AD};

\frac{\sqrt3}{2}=\frac{2}{AB};

AB=\frac{4}{\sqrt3}.

Наконец, S_{AD_1C_1B}=AB\cdot VD_1 =\frac{4\sqrt3}{3}\cdot 2\sqrt2=\frac{8\sqrt6}{3}.

Ответ: \frac{8\sqrt6}{3}.

Печать страницы
Комментариев: 2
  1. владимир

    В строке перед самым ответом умножение на 2 ошибочно, так как VD1 = 2 корня из 2. Видимо, опечатка (потому что результат умножения – верное число!)

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Владимир, спасибо! корень из 2-х не пропечатался… Исправлено.

      [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif