№17 (С3) Тренировочного варианта №85 А. Ларина

Решите неравенство:

$log_{cosx^2}(\frac{3}{x}-2x)<log_{cosx^2}(2x-1).$

Решение:

Найдем прежде область допустимых значений $x$ для данного неравенства:

$\begin{cases}\frac{3}{x}-2x>0,\\2x-1>0,\\cosx^2>0,\\cosx^2\neq 1;&\end{cases}$

$\begin{cases}\frac{3-2x^2}{x}>0,\\x>\frac{1}{2},\\-\frac{\pi}{2}+2\pi n<x^2<\frac{\pi}{2}+2\pi n, n\in Z,\\x^2\neq 2\pi k, k\in Z;&\end{cases}$

Первые две строки системы дают нам $x\in (\frac{1}{2};\sqrt{\frac{3}{2}})$:

Заметим, $x\in (\frac{1}{2};\sqrt{\frac{3}{2}})$ удовлетворяет как 3-й, так и 4-й строкам системы.

Итак, ОДЗ данного неравенства: $x\in (\frac{1}{2};\sqrt{\frac{3}{2}}).$

Очевидно, что основание логарифмов исходного неравенства меньше 1, тогда в силу убывания логарифмической функции, имеем:

$\begin{cases}\frac{3}{x}-2x>2x-1,\\\frac{1}{2}<x<\sqrt{\frac{3}{2}};\end{cases}$

$\begin{cases}\frac{3-4x^2+x}{x}>0,\\\frac{1}{2}<x<\sqrt{\frac{3}{2}};\end{cases}$

$\begin{cases}\frac{4x^2-x-3}{x}<0,\\\frac{1}{2}<x<\sqrt{\frac{3}{2}};\end{cases}$

$\begin{cases}\frac{4(x-1)(x+\frac{3}{4})}{x}<0,\\\frac{1}{2}<x<\sqrt{\frac{3}{2}};\end{cases}$

Ответ: $(\frac{1}{2};1).$

Смотрите также задания 16, 18 и 19 Тренировочного варианта №85.