№18 (С4) из Т/Р №85 А. Ларина

Трапеция ABCD c углами при одном основании $\alpha$ и $\beta$ описана около круга.
а) Докажите, что отношение площади трапеции к площади круга выражается формулой  $\frac{S_{trap}}{S_{krug}}=\frac{2}{\pi}\cdot \frac{sin\alpha+sin\beta}{sin\alpha\cdot sin\beta}$.

б) Найдите площадь прямоугольной трапеции $ABCD$, если $\alpha=\frac{\pi}{3}$ , а площадь вписанного круга равна $\pi$.

Решение:

a) Пусть радиус вписанного в трапецию $ABCD$ круга есть $r$. Тогда, очевидно, высота трапеции ($NQ$) есть $2r$ ($M,$ $N,$ $P$ и $Q$ – точки касания).

Далее

$S_{trap}=\frac{BC+AD}{2}\cdot NQ=(BC+AD)\cdot r$

Заметим, по свойству трапеции, в которую можно вписать окружность,

$BC+AD=AB+CD$

Тогда

$S_{trap}=(AB+CD)\cdot r.$

Из треугольников $ABK$ и $DCL$ (см. рис.)

$AB=\frac{BK}{sin\alpha}=\frac{2r}{sin\alpha}$,

$CD=\frac{CL}{sin\beta}=\frac{2r}{sin\beta}.$

Откуда

$AB+CD=\frac{2r(sin\alpha+sin\beta)}{sin\alpha\cdot sin\beta}$,

то есть

$S_{trap}=\frac{2r^2(sin\alpha+sin\beta)}{sin\alpha\cdot sin\beta}$.

Ну а площадь круга радиуса $r$ есть $\pi r^2.$

Наконец,

$\frac{S_{trap}}{S{krug}}=\frac{\frac{2r^2(sin\alpha+sin\beta)}{sin\alpha\cdot sin\beta}}{\pi r^2}=\frac{2}{\pi}\cdot \frac{sin\alpha+sin\beta}{sin\alpha\cdot sin\beta}.$

Что и требовалось доказать.

б)  С учетом $\frac{S_{trap}}{S{krug}}=\frac{2}{\pi}\cdot \frac{sin\alpha+sin\beta}{sin\alpha\cdot sin\beta}$ имеем:

$S_{trap}=S_{krug}\cdot \frac{2}{\pi}\cdot \frac{sin\alpha+sin\beta}{sin\alpha\cdot sin\beta}.$

Далее

$S_{trap}=\pi \cdot \frac{2}{\pi}\cdot \frac{sin60^{\circ}+sin90^{\circ}}{sin60^{\circ}\cdot sin90^{\circ}}=\frac{2(\frac{\sqrt3}{2}+1)}{\frac{\sqrt3}{2}\cdot 1}=\frac{6+4\sqrt3}{3}.$

Ответ: $\frac{6+4\sqrt3}{3}.$

Смотрите также задания 16,  17 и 19 Тренировочного варианта №85.