№18 (С4) из Т/Р №85 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Трапеция ABCD c углами при одном основании \alpha и \beta описана около круга.
а) Докажите, что отношение площади трапеции к площади круга выражается формулой  \frac{S_{trap}}{S_{krug}}=\frac{2}{\pi}\cdot \frac{sin\alpha+sin\beta}{sin\alpha\cdot sin\beta}.

б) Найдите площадь прямоугольной трапеции ABCD, если \alpha=\frac{\pi}{3} , а площадь вписанного круга равна \pi.

Решение:

a) Пусть радиус вписанного в трапецию ABCD круга есть r. Тогда, очевидно, высота трапеции (NQ) есть 2r (M, N, P и Q – точки касания).

Далее

S_{trap}=\frac{BC+AD}{2}\cdot NQ=(BC+AD)\cdot r

Заметим, по свойству трапеции, в которую можно вписать окружность,

BC+AD=AB+CD

Тогда

S_{trap}=(AB+CD)\cdot r.

Из треугольников ABK и DCL (см. рис.)

AB=\frac{BK}{sin\alpha}=\frac{2r}{sin\alpha},

CD=\frac{CL}{sin\beta}=\frac{2r}{sin\beta}.

Откуда

AB+CD=\frac{2r(sin\alpha+sin\beta)}{sin\alpha\cdot sin\beta},

то есть

S_{trap}=\frac{2r^2(sin\alpha+sin\betta)}{sin\alpha\cdot sin\beta}.

Ну а площадь круга радиуса r есть \pi r^2.

Наконец,

\frac{S_{trap}}{S{krug}}=\frac{\frac{2r^2(sin\alpha+sin\beta)}{sin\alpha\cdot sin\beta}}{\pi r^2}=\frac{2}{\pi}\cdot \frac{sin\alpha+sin\beta}{sin\alpha\cdot sin\beta}.

Что и требовалось доказать.

б)  С учетом \frac{S_{trap}}{S{krug}}=\frac{2}{\pi}\cdot \frac{sin\alpha+sin\beta}{sin\alpha\cdot sin\beta} имеем:

S_{trap}=S_{krug}\cdot \frac{2}{\pi}\cdot \frac{sin\alpha+sin\beta}{sin\alpha\cdot sin\beta}.

Далее

S_{trap}=\pi \cdot \frac{2}{\pi}\cdot \frac{sin60^{\circ}+sin90^{\circ}}{sin60^{\circ}\cdot sin90^{\circ}}=\frac{2(\frac{\sqrt3}{2}+1)}{\frac{\sqrt3}{2}\cdot 1}=\frac{6+4\sqrt3}{3}.

Ответ: \frac{6+4\sqrt3}{3}.

Смотрите также задания 16,  17 и 19 Тренировочного варианта №85.

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif