№ 18 (C4) Тренировочной работы №84 А. Ларина

Смотрите также №16, №17

Вокруг выпуклого четырёхугольника со сторонами $a,$ $b,$ $c,$ $d$ описана окружность.
а) Докажите, что отношение длин его диагоналей выражается как   $\frac{bc+ad}{ab+cd}$;

б) Найдите площадь четырёхугольника, если $a=2$, $b=8$, $c=12$, $d=4$.

Решение:

a) Пусть нам дан четырехугольник $ABCD,$ в нем $AB=a,$ $BC=b,$ $CD=c$ и $AC=d.$

Имеем:

$S_{ABCD}=S_{ABD}+S_{BCD};$

$S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AD\cdot sin\alpha+\frac{1}{2}\cdot BC\cdot CD\cdot sin(180^{\circ}-\alpha),$

где $\alpha$ – угол четырехугольника при вершине $A.$

(Мы использовали тот факт, что противоположные углы вписанного четырехугольника в сумме дают $180^{\circ}).$

Тогда

$S_{ABCD}=\frac{1}{2}sin\alpha(ad+bc)$.

Аналогично, $S_{ABCD}=\frac{1}{2}sin\beta (ab+cd)$, где $\beta$ – угол при вершине $B.$

Тогда очевидно равенство:

$\frac{1}{2}sin\alpha(ad+bc)=\frac{1}{2}sin\beta (ab+cd).$

Но ведь при этом по теореме синусов как для треугольника $ABD$, вписанного в окружность, так и для треугольника $ABC$, вписанного в ту же окружность справедливо $\frac{BD}{sin\alpha}=2R$ и $\frac{AC}{sin\beta}=2R$, где $R$ – радиус окружности, в которую вписан четырехугольник.

Стало быть,

$\frac{BD}{2R}\cdot (ad+bc)=\frac{AC}{2R}\cdot (ab+cd).$

Откуда

$\frac{AC}{BD}=\frac{ad+bc}{ab+cd}.$

б) Для нахождения площади вписанного четырехугольника  (со сторонами $a$, $b$, $c$, $d$) воспользуемся формулой Брахмагупты:

$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$, где

$p$ – полупериметр.

Согласно условию задачи

$p=\frac{a+b+c+d}{2}=\frac{2+8+12+4}{2}=13.$

Тогда

$S_{ABCD}=\sqrt{(13-2)(13-8)(13-12)(13-4)}=\sqrt{11\cdot 5\cdot 1\cdot 9}=3\sqrt{55}.$

Ответ: $3\sqrt{55}.$