№ 18 (C4) Тренировочной работы №84 А. Ларина

Елена Репина 2014-09-24 2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №16, №17.

Вокруг выпуклого четырёхугольника со сторонами $a,$ $b,$ $c,$ $d$ описана окружность.
а) Докажите, что отношение длин его диагоналей выражается как $\frac{bc+ad}{ab+cd}$ ;

б) Найдите площадь четырёхугольника, если $a=2$ , $b=8$ , $c=12$ , $d=4$ .

Решение:

a) Пусть нам дан четырехугольник $ABCD,$ в нем $AB=a,$ $BC=b,$ $CD=c$ и $AC=d.$

Имеем:

$S_{ABCD}=S_{ABD}+S_{BCD};$

$S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AD\cdot sin\alpha+\frac{1}{2}\cdot BC\cdot CD\cdot sin(180^{\circ}-\alpha),$

где $\alpha$ – угол четырехугольника при вершине $A.$

(Мы использовали тот факт, что противоположные углы вписанного четырехугольника в сумме дают $180^{\circ}).$

Тогда

$S_{ABCD}=\frac{1}{2}sin\alpha(ad+bc)$ .

Аналогично, $S_{ABCD}=\frac{1}{2}sin\beta (ab+cd)$ , где $\beta$ – угол при вершине $B.$

Тогда очевидно равенство:

$\frac{1}{2}sin\alpha(ad+bc)=\frac{1}{2}sin\beta (ab+cd).$

Но ведь при этом по теореме синусов как для треугольника $ABD$ , вписанного в окружность, так и для треугольника $ABC$ , вписанного в ту же окружность справедливо $\frac{BD}{sin\alpha}=2R$ и $\frac{AC}{sin\beta}=2R$ , где $R$ – радиус окружности, в которую вписан четырехугольник.