№ 18 (C4) Тренировочной работы №84 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №16, №17.

Вокруг выпуклого четырёхугольника со сторонами a, b, c, d описана окружность.
а) Докажите, что отношение длин его диагоналей выражается как   \frac{bc+ad}{ab+cd};

б) Найдите площадь четырёхугольника, если a=2, b=8, c=12, d=4.

Решение:

a) Пусть нам дан четырехугольник ABCD, в нем AB=a, BC=b, CD=c и AC=d.

Имеем:

S_{ABCD}=S_{ABD}+S_{BCD};

S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AD\cdot sin\alpha+\frac{1}{2}\cdot BC\cdot CD\cdot sin(180^{\circ}-\alpha),

где \alpha – угол четырехугольника при вершине A.

(Мы использовали тот факт, что противоположные углы вписанного четырехугольника в сумме дают 180^{\circ}).

Тогда

S_{ABCD}=\frac{1}{2}sin\alpha(ad+bc).

Аналогично, S_{ABCD}=\frac{1}{2}sin\beta (ab+cd), где \beta – угол при вершине B.

Тогда очевидно равенство:

\frac{1}{2}sin\alpha(ad+bc)=\frac{1}{2}sin\beta (ab+cd).

Но ведь при этом по теореме синусов как для треугольника ABD, вписанного в окружность, так и для треугольника ABC, вписанного в ту же окружность справедливо \frac{BD}{sin\alpha}=2R и \frac{AC}{sin\beta}=2R, где R – радиус окружности, в которую вписан четырехугольник.

Стало быть,

\frac{BD}{2R}\cdot (ad+bc)=\frac{AC}{2R}\cdot (ab+cd).

Откуда

\frac{AC}{BD}=\frac{ad+bc}{ab+cd}.

б) Для нахождения площади вписанного четырехугольника  (со сторонами a, b, c, d) воспользуемся формулой Брахмагупты:

S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}, где

p – полупериметр.

Согласно условию задачи

p=\frac{a+b+c+d}{2}=\frac{2+8+12+4}{2}=13.

Тогда

S_{ABCD}=\sqrt{(13-2)(13-8)(13-12)(13-4)}=\sqrt{11\cdot 5\cdot 1\cdot 9}=3\sqrt{55}.

Ответ: 3\sqrt{55}.

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif