В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»
Вокруг выпуклого четырёхугольника со сторонами
описана окружность.
а) Докажите, что отношение длин его диагоналей выражается как ;
б) Найдите площадь четырёхугольника, если ,
,
,
.
Решение:
a) Пусть нам дан четырехугольник в нем
и
Имеем:
где – угол четырехугольника при вершине
(Мы использовали тот факт, что противоположные углы вписанного четырехугольника в сумме дают
Тогда
.
Аналогично, , где
– угол при вершине
Тогда очевидно равенство:
Но ведь при этом по теореме синусов как для треугольника , вписанного в окружность, так и для треугольника
, вписанного в ту же окружность справедливо
и
, где
– радиус окружности, в которую вписан четырехугольник.
Стало быть,
Откуда
б) Для нахождения площади вписанного четырехугольника (со сторонами ,
,
,
) воспользуемся формулой Брахмагупты:
, где
– полупериметр.
Согласно условию задачи
Тогда
Ответ:
Добавить комментарий