Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №162 А. Ларина
14. В прямоугольном параллелепипеде
Точка
– середина ребра
точка
лежит на ребре
так, что
а) Докажите, что прямая параллельна плоскости
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью
Решение:
а)
Построим сечение параллелепипеда плоскостью
Пусть прямая плоскости
пересекается с прямой
в точке
Точки лежат в плоскости грани
соединяем их прямой. Пусть эта прямая пересекается с
в точке
– искомое сечение.
Для того, чтобы установить параллельность прямой и плоскости
следует найти в плоскости
прямую, параллельную
Покажем, что такой прямой будет прямая где
– точка пересечения
и
Учитывая, что – середина
, наблюдает равенство треугольников
откуда
. Тогда треугольники
подобны с коэффициентом
Стало быть, и
Но по условию
Треугольники подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Откуда вытекает равенство углов, например,
что, в свою очередь, влечет параллельность прямых
по признаку параллельности прямых.
Что и требовалось доказать.
б)
где – проекция четырехугольника
на плоскость
– угол между плоскостями проекции и сечения.
Уточним, где
Очевидно,
Из треугольника
Учитывая, что из треугольника
получаем:
Наконец,
Ответ: б)
Добавить комментарий