Задание №14 Т/Р №162 А. Ларина

2016-10-13

Смотрите также №13№15№16№17№18; №19 Тренировочной работы №162 А. Ларина

14. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 AB=AA_1=6, BC=4. Точка P – середина ребра  AB, точка M  лежит на ребре DD_1 так, что DM:D_1D=2:3.

а) Докажите, что прямая BD_1 параллельна плоскости MPC.

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью MPC.

Решение:

а)

Построим сечение параллелепипеда плоскостью MPC.

Пусть прямая PC плоскости ACD пересекается с прямой AD в точке T.

Точки M,T лежат в плоскости грани ADD_1, соединяем их прямой. Пусть эта прямая пересекается с AA_1 в точке K.

KMCP – искомое сечение.

Для того, чтобы установить параллельность прямой BD_1 и плоскости MPC, следует найти в плоскости MPC прямую, параллельную BD_1.

Покажем, что такой прямой будет прямая ML, где L – точка пересечения BD и PC.

Учитывая, что P – середина AB, наблюдает равенство треугольников ATP,BCP, откуда TA=AD. Тогда треугольники TDL,CBL подобны с коэффициентом 1:2. Стало быть, и DL:BL=2:1.

Но по условию DM:MD_1=2:1.

Треугольники LDM,BDD_1 подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Откуда вытекает равенство углов, например, MLD,D_1BD, что, в свою очередь, влечет параллельность прямых BD_1,LM по признаку параллельности прямых.

Что и требовалось доказать.

б) 

S_{KMCP}=\frac{S_{APCD}}{cos\alpha},

где APCD – проекция четырехугольника KMCP на плоскость ADC, \alpha – угол между плоскостями проекции и сечения.

Уточним, \alpha= \angle MND, где DN\perp PC.

Очевидно, S_{APCD}=18.

Из треугольника CTD:

ND=\frac{2S_{CTD}}{TC}=\frac{2\cdot \frac{6\cdot 8}{2}}{\sqrt{6^2+8^2}}=\frac{24}{5}.

Учитывая, что MD=4, из треугольника DNM получаем:

cos\alpha =\frac{DN}{MN}=\frac{\frac{24}{5}}{\sqrt{4^2+(\frac{24}{5})^2}}=\frac{6}{\sqrt{61}}.

Наконец,

S_{KMCP}=\frac{S_{APCD}}{cos\alpha}=\frac{18}{\frac{6}{\sqrt{61}}}=3\sqrt{61}.

Ответ: б) 3\sqrt{61}.

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif