Задание №15 Т/Р №209 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №209 А. Ларина.

15. Решите неравенство

$log_{\frac{5-x}{4}}(x-2)\cdot log_{x-2}(6x-x^2)\geq log_{\frac{5-x}{4}}(3x^2-10x+15).$

Решение:

Согласно свойству $\color{red}log_ab\cdot log_bc=log_ac$ (для допустимых $a,b,c$) имеем

$\begin{cases}log_{\frac{5-x}{4}}(6x-x^2)\geq log_{\frac{5-x}{4}}(3x^2-10x+15),\\x-2>0,\\x-2\neq 1,\\3x^2-10x+15>0;&\end{cases}$

Применяем метод замены множителей:

$\begin{cases}(\frac{5-x}{4}-1)(6x-x^2-3x^2+10x-15)\geq 0,\\x>2,\\x\neq 3,\\\frac{5-x}{4}>0,\\\frac{5-x}{4}\neq 1,\\6x-x^2>0,&\end{cases}$

$\begin{cases}(1-x)(x-2,5)(x-1,5)\geq 0,\\x>2,\\x\neq 3,\\\frac{5-x}{4}>0,\\\frac{5-x}{4}\neq 1,\\x(6-x)>0;&\end{cases}$

$x\in [2,5;3)\cup (3;5).$

Ответ: $[2,5;3)\cup (3;5).$