Задание №18 Т/Р №215 А. Ларина

Елена Репина 2017-12-14 2018-01-15

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №19 Тренировочной работы №215 А. Ларина.

18. Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

$\begin{cases} x^2+y^2-2|x-y|=2,& &x^2+y^2-2a(x+y)+2a^2=2;& \end{cases}$

имеет ровно два решения.

Решение:

$\begin{cases} x^2+y^2-2|x-y|=2,& &x^2+y^2-2a(x+y)+2a^2=2;& \end{cases}$

$\begin{cases} \left[\begin{gathered} \begin{cases} x\geq y,& &x^2+y^2-2x+2y=2,& \end{cases} &\begin{cases} x<y,& &x^2+y^2+2x-2y=2,& \end{cases} \end{gathered}\right& &x^2+y^2-2a(x+y)+2a^2=2;& \end{cases}$

$\begin{cases} \left[\begin{gathered} \begin{cases} x\geq y,& &(x-1)^2+(y+1)^2=4,& \end{cases} &\begin{cases} x<y,& &(x+1)^2+(y-1)^2=4,& \end{cases} \end{gathered}\right& &(x^2-2ax+a^2)+(y^2-2ay+a^2)=2;& \end{cases}$

$\begin{cases} \left[\begin{gathered} \begin{cases} y\leq x,& &(x-1)^2+(y+1)^2=4,& \end{cases} &\begin{cases} y>x,& &(x+1)^2+(y-1)^2=4,& \end{cases} \end{gathered}\right& &(x-a)^2+(y-a)^2=2;& \end{cases}$

Первая система совокупности последней системы задает часть окружности с центром $(1;-1)$ и радиусом $2$ , что ниже прямой $y=x.$ Вторая система задает часть окружности с центром $(-1;1)$ и радиусом $2$ , что выше $y=x.$ Части окружностей “склеиваются” в точках $A(1;1)$ и $B(-1;-1)$ прямой $y=x.$

$(x-a)^2+(y-a)^2=2$ – семейство окружностей с центрами на прямой $y=x$ , радиусом $\sqrt2.$

Причем, при $a=0$ окружность $(x-a)^2+(y-a)^2=2$ проходит через точки $A$ и $B.$

Заметим, картинка, отображающая исходную систему, симметрична, в частности, относительно прямой $y=x.$

Найдем $a$ (помимо $a=0$ ), отвечающее за прохождение $(x-a)^2+(y-a)^2=2$ через точку $A:$

$(1-a)^2+(1-a)^2=2;$

$(1-a)^2=1;$

Откуда (помимо $a=0$ ) $a=2.$

Найдем $a$ (помимо $a=0$ ), отвечающее за прохождение $(x-a)^2+(y-a)^2=2$ через точку $B:$

$(-1-a)^2+(-1-a)^2=2;$

$(1+a)^2=1;$

Откуда (помимо $a=0$ ) $a=-2.$

Найдем $a,$ отвечающие за касание $(x-a)^2+(y-a)^2=2$ c окружностями $(x-1)^2+(y+1)^2=4,(x+1)^2+(y-1)^2=4$ (если есть касание с одной из указанных окружностей, то есть и с другой; будем рассматривать лишь одну из них).