Задание №18 Т/Р №215 А. Ларина

2018-01-15

Смотрите также №13; №14; №15№16; №17№19 Тренировочной работы №215 А. Ларина.

18. Найдите все значения параметра a, при каждом  из которых уравнение

\begin{cases} x^2+y^2-2|x-y|=2,& &x^2+y^2-2a(x+y)+2a^2=2;& \end{cases}

имеет ровно два решения.

Решение:

\begin{cases} x^2+y^2-2|x-y|=2,& &x^2+y^2-2a(x+y)+2a^2=2;& \end{cases}

\begin{cases} \left[\begin{gathered} \begin{cases} x\geq y,& &x^2+y^2-2x+2y=2,& \end{cases} &\begin{cases} x<y,& &x^2+y^2+2x-2y=2,& \end{cases} \end{gathered}\right& &x^2+y^2-2a(x+y)+2a^2=2;& \end{cases}

\begin{cases} \left[\begin{gathered} \begin{cases} x\geq y,& &(x-1)^2+(y+1)^2=4,& \end{cases} &\begin{cases} x<y,& &(x+1)^2+(y-1)^2=4,& \end{cases} \end{gathered}\right& &(x^2-2ax+a^2)+(y^2-2ay+a^2)=2;& \end{cases}

\begin{cases} \left[\begin{gathered} \begin{cases} y\leq x,& &(x-1)^2+(y+1)^2=4,& \end{cases} &\begin{cases} y>x,& &(x+1)^2+(y-1)^2=4,& \end{cases} \end{gathered}\right& &(x-a)^2+(y-a)^2=2;& \end{cases}

Первая система совокупности последней системы задает часть окружности с центром (1;-1) и радиусом 2, что ниже прямой  y=x. Вторая система задает часть окружности с центром (-1;1) и радиусом 2,  что выше y=x. Части окружностей “склеиваются” в точках A(1;1) и B(-1;-1) прямой y=x.

(x-a)^2+(y-a)^2=2 – семейство окружностей с центрами на прямой y=x, радиусом \sqrt2.

Причем, при a=0 окружность (x-a)^2+(y-a)^2=2 проходит через точки A и B.

Заметим, картинка, отображающая исходную систему, симметрична, в частности, относительно прямой y=x.

Найдем a (помимо  a=0), отвечающее за прохождение (x-a)^2+(y-a)^2=2 через точку A:

(1-a)^2+(1-a)^2=2;

(1-a)^2=1;

Откуда (помимо a=0)  a=2.

Найдем a (помимо  a=0), отвечающее за прохождение (x-a)^2+(y-a)^2=2 через точку B:

(-1-a)^2+(-1-a)^2=2;

(1+a)^2=1;

Откуда (помимо a=0)  a=-2.

Найдем a, отвечающие за касание (x-a)^2+(y-a)^2=2 c окружностями (x-1)^2+(y+1)^2=4,(x+1)^2+(y-1)^2=4 (если есть касание с одной из указанных окружностей, то есть и с другой; будем рассматривать лишь одну из них).

Расстояние между центрами (a;a), (1;-1)  окружностей (x-a)^2+(y-a)^2=2, (x-1)^2+(y+1)^2=4 есть

\sqrt2+2=\sqrt{(1-a)^2+(-1-a)^2}.

Откуда

2+2a^2=(2+\sqrt2)^2;

2+2a^2=6+4\sqrt2;

a^2=2+2\sqrt2;

a=\pm \sqrt{2+2\sqrt2}.

Зоны возможного положения окружности (x-a)^2+(y-a)^2=2, дающее в исходной системе два решения, указано на рисунке красным цветом.

Исходная система будет иметь два решения если a\in{-\sqrt{2+2\sqrt2}}\cup(-2;2)\cup{\sqrt{2+2\sqrt2}}.

Ответ: {-\sqrt{2+2\sqrt2}}\cup(-2;2)\cup{\sqrt{2+2\sqrt2}}.

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

девятнадцать + одиннадцать =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif