Задание №18 Т/Р №215 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №19 Тренировочной работы №215 А. Ларина.

18. Найдите все значения параметра $a$, при каждом  из которых уравнение

$\begin{cases}
x^2+y^2-2|x-y|=2,\\x^2+y^2-2a(x+y)+2a^2=2;&
\end{cases}$

имеет ровно два решения.

Решение:

$\begin{cases}
x^2+y^2-2|x-y|=2,\\x^2+y^2-2a(x+y)+2a^2=2;&
\end{cases}$

$\begin{cases}\left[\begin{array}{rcl}
\begin{cases}x\geq y,\\x^2+y^2-2x+2y=2,&\end{cases}\\\begin{cases}x<y,\\x^2+y^2+2x-2y=2;\\
\end{cases}\end{array}\right.\\x^2+y^2-2a(x+y)+2a^2=2;\end{cases}$

$\begin{cases}\left[\begin{array}{rcl}
\begin{cases}x\geq y,\\(x-1)^2+(y+1)^2=4,&\end{cases}\\\begin{cases}x<y,\\(x+1)^2+(y-1)^2=4;\\
\end{cases}\end{array}\right.\\x^2+y^2-2a(x+y)+2a^2=2;\end{cases}$

$\begin{cases}\left[\begin{array}{rcl}
\begin{cases}x\geq y,\\(x-1)^2+(y+1)^2=4,&\end{cases}\\\begin{cases}x<y,\\(x+1)^2+(y-1)^2=4;\\
\end{cases}\end{array}\right.\\(x-a)^2+(y-a)^2=2;\end{cases}$

Первая система совокупности последней системы задает часть окружности с центром $(1;-1)$ и радиусом $2$, что ниже прямой  $y=x.$ Вторая система задает часть окружности с центром $(-1;1)$ и радиусом $2$,  что выше $y=x.$ Части окружностей “склеиваются” в точках $A(1;1)$ и $B(-1;-1)$ прямой $y=x.$

$(x-a)^2+(y-a)^2=2$ – семейство окружностей с центрами на прямой $y=x$, радиусом $\sqrt2.$

Причем, при $a=0$ окружность $(x-a)^2+(y-a)^2=2$ проходит через точки $A$ и $B.$

Заметим, картинка, отображающая исходную систему, симметрична, в частности, относительно прямой $y=x.$

Найдем $a$ (помимо  $a=0$), отвечающее за прохождение $(x-a)^2+(y-a)^2=2$ через точку $A:$

$(1-a)^2+(1-a)^2=2;$

$(1-a)^2=1;$

Откуда (помимо $a=0$)  $a=2.$

Найдем $a$ (помимо  $a=0$), отвечающее за прохождение $(x-a)^2+(y-a)^2=2$ через точку $B:$

$(-1-a)^2+(-1-a)^2=2;$

$(1+a)^2=1;$

Откуда (помимо $a=0$)  $a=-2.$

Найдем $a,$ отвечающие за касание $(x-a)^2+(y-a)^2=2$ c окружностями $(x-1)^2+(y+1)^2=4,(x+1)^2+(y-1)^2=4$ (если есть касание с одной из указанных окружностей, то есть и с другой; будем рассматривать лишь одну из них).

Расстояние между центрами $(a;a), (1;-1)$  окружностей $(x-a)^2+(y-a)^2=2$, $(x-1)^2+(y+1)^2=4$ есть

$\sqrt2+2=\sqrt{(1-a)^2+(-1-a)^2}.$

Откуда

$2+2a^2=(2+\sqrt2)^2;$

$2+2a^2=6+4\sqrt2;$

$a^2=2+2\sqrt2;$

$a=\pm \sqrt{2+2\sqrt2}.$

Зоны возможного положения окружности $(x-a)^2+(y-a)^2=2$, дающее в исходной системе два решения, указано на рисунке красным цветом.

Исходная система будет иметь два решения если $a\in ${$-\sqrt{2+2\sqrt2}$}$\cup(-2;2)\cup${$ \sqrt{2+2\sqrt2}$}.

Ответ: {$-\sqrt{2+2\sqrt2}$}$\cup(-2;2)\cup${$ \sqrt{2+2\sqrt2}$}.