Задание №18 Т/Р №224 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №19 Тренировочной работы №224 А. Ларина.

18. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых существует хотя бы одно $x,$ удовлетворяющее условию:

$\begin{cases}|x^2-5x+4|-9x^2-5x+4+10x|x|=0,\\x^2-2(a-1)x+a(a-2)=0.&\end{cases}$

Решение:

$\begin{cases}|x^2-5x+4|-9x^2-5x+4+10x|x|=0,\\x^2-2(a-1)x+a(a-2)=0.&\end{cases}$

Рассмотрим первую строку системы:

$\left[\begin{array}{rcl}\begin{cases}x\geq 0,\\|x^2-5x+4|=-(x^2-5x+4);&\end{cases}\\\begin{cases}x<0,\\|x^2-5x+4|=19x^2+5x-4;\end{cases}\end{array}\right.$

$\\$

$\left[\begin{array}{rcl}\begin{cases}x\geq 0,\\x^2-5x+4\leq 0,&\end{cases}\\\begin{cases}x<0,\\x^2-5x+4=\pm (19x^2+5x-4),\end{cases}\end{array}\right.$

$\\$

$\left[\begin{array}{rcl}\begin{cases}x\geq 0,\\x^2-5x+4\leq 0,&\end{cases}\\\begin{cases}x<0,\\x^2-5x+4=\pm (19x^2+5x-4);\end{cases}\end{array}\right.$

$\\$

$\left[\begin{array}{rcl}\begin{cases}x\geq 0,\\(x-4)(x-1)\leq 0;&\end{cases}\\\begin{cases}x<0,\\9x^2+5x-4=0;\end{cases}\end{array}\right.$

$\\$

$\left[\begin{array}{rcl}1\leq x\leq 4,\\x=-1;&\end{array}\right.$

$\\$

Рассмотрим вторую строку системы:

$x^2-2(a-1)x+a(a-2)=0;$

$x^2-2(a-1)x+(a-1)^2=1;$

$(x-(a-1))^2=1;$

$x-(a-1)=1$ или $x-(a-1)=-1;$

$x=a$ или $x=a-2.$

Итак, исходная система приведена к следующей:

$\begin{cases}\left[\begin{array}{rcl}1\leq x\leq 4,\\x=-1;\end{array}\right.\\\left[\begin{array}{rcl}x=a,\\ x=a-2;\end{array}\right.\\\end{cases}$

$\left[\begin{array}{rcl}1\leq a\leq 4,\\a=-1,\\a-2=-1,\\1\leq a-2\leq 4;\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{rcl}1\leq a\leq 4,\\a=-1,\\3\leq a\leq 6;\end{array}\right.$

Решения у системы есть при $a\in$ {$-1$}$\cup[1;6].$

Ответ: {$-1$}$\cup[1;6].$