(ЕГЭ 2023, Пробник)

 а) Решите уравнение:

$\sqrt{2cos^2x-4cosx+3}=\sqrt{cosx+6}.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{7 \pi }{2};5\pi]$. 

Решение:

a)

$\sqrt{2\cos ^{2}x-4\cos x+3}=\sqrt{\cos x+6};$

$2\cos ^{2}x-4\cos x+3=\cos x+6$ при условии $cos x+6\geq 0.$

Указанное условие выполняется всегда.

$2cos ^{2}x-5\cos x-3=0;$

$cos x=\frac{5\pm 7}{4};$

$cos x=-\frac{1}{2};$

$x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k,k\in Z.$

б) Произведем отбор корней уравнения из отрезка $[\frac{7 \pi }{2};5\pi]$ при помощи тригонометрической окружности:

Ответ: а) $\pm \frac {2\pi}{3}+2\pi k; \frac {5\pi}{4}+2\pi k, k\in Z$; б) $\frac{14\pi}{3}$.