(ЕГЭ 2023, Досрок)

В июле 2023 года планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия возврата таковы:

— в январе каждого года долг увеличивается на $20$% по сравнению с предыдущим годом;

— с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом.

Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года), а общая сумма выплат равна $311 040$ рублей?

Решение:

Пусть $S$ – сумма кредита. Пусть $x$- сумма каждой из четырех выплат.

Распишем остатки долга после каждого погашения:

2024 год: $1,2S-x;$

2025 год: $1,2^2S-1,2x-x;$

2026 год: $1,2^3S-1,2^2x-1,2x-x;$

2027 год: $1,2^4S-1,2^3x-1,2^2x-1,2x-x=0$ (*)

Ссогласно условию $4x=311040$, значит $x=77760.$

Тогда, возвращаясь к (*), имеем:

$1,2^4\cdot S-77760\cdot (1,2^3+1,2^2+1,2+1)=0;$

$S=\frac{77760\cdot (1,2^3+1,2^2+1,2+1)}{1,2^4};$

$S=\frac{77760\cdot ((\frac{6}{5})^3+(\frac{6}{5})^2+\frac{6}{5}+1)}{(\frac{6}{5})^4};$

$S=\frac{5\cdot 77760\cdot (6^3+5\cdot 6^2+25\cdot 6+125)}{6^4};$

$S=201300.$

Ответ: $201300$ рублей.