2023-05-09

ЕГЭ 2023, Досрок
Точка B лежит на отрезке AC. Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с диаметром BC в точке M и второй раз пересекает окружность с диаметром AB в точке K. Продолжение отрезка MB пересекает окружность с диаметром AB в точке D.

а)  Докажите, что прямые AD и MC параллельны.

б)  Найдите площадь треугольника DBC, если AK=7 и MK=14.

Решение:

а) Заметим, углы BMC, ADB опираются на диаметр, а значит являются прямыми. Стало быть, углы при прямых AD, MC и секущей DM равны. А значит, по признаку параллельности прямых, AD и MC параллельны.

б) Пусть Q – середина BC. Заметим, MQ перпендикулярен AM как радиус, проведенный к касательной.

Треугольники AKB, AMQ подобны по двум углам (угол A общий и углы AKM, AMQ прямые).

С учетом условия AK=7 и   MK=14 коэффициент подобия треугольников – 1:3.

Пусть AB=2x,BQ=MQ=4x, BK=\frac{4}{3}MQ=\frac{4}{3}x.

Из треугольника AKB по теореме Пифагора:

4x^2=49+(\frac{4x}{3})^2;

36x^2=49\cdot 9+16x^2;

20x^2=49\cdot 9; с.

x=\frac{21}{2\sqrt{5}}.

BK=\frac{4}{3}x=\frac{14}{\sqrt{5}}.

Заметим, треугольники ABM, CBD равновелики.
Действительно, с учетом параллельности прямых AD и MC, имеем:

S_{CBD}=S_{ACD}-S_{ABD}=S_{AMD}-S_{ABD}=S_{AMB}.

Итак,

S_{CBD}=S_{AMB}=\frac{AM\cdot BK}{2}=\frac{21\cdot \frac{14}{\sqrt{5}}}{2}=\frac{147\sqrt 5}{5}.

Ответ: \frac{147\sqrt5}{5}.

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




4 × два =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif