ЕГЭ 2023, Досрок
Точка $B$ лежит на отрезке $AC$. Прямая, проходящая через точку $A$, касается окружности с диаметром $BC$ в точке $M$ и второй раз пересекает окружность с диаметром $AB$ в точке $K.$ Продолжение отрезка $MB$ пересекает окружность с диаметром $AB$ в точке $D.$

а)  Докажите, что прямые $AD$ и $MC$ параллельны.

б)  Найдите площадь треугольника $DBC$, если $AK=7$ и $MK=14.$

Решение:

а) Заметим, углы $BMC, ADB$ опираются на диаметр, а значит являются прямыми. Стало быть, углы при прямых $AD,$ $MC$ и секущей $DM$ равны. А значит, по признаку параллельности прямых, $AD$ и $MC$ параллельны.

б) Пусть $Q$ – середина $BC.$ Заметим, $MQ$ перпендикулярен $AM$ как радиус, проведенный к касательной.

Треугольники $AKB$, $AMQ$ подобны по двум углам (угол A общий и углы $AKM, AMQ$ прямые).

С учетом условия $AK=7$ и   $MK=14$ коэффициент подобия треугольников – $1:3.$

Пусть $AB=2x,BQ=MQ=4x,$ $BK=\frac{4}{3}MQ=\frac{4}{3}x.$

Из треугольника $AKB$ по теореме Пифагора:

$4x^2=49+(\frac{4x}{3})^2;$

$36x^2=49\cdot 9+16x^2;$

$20x^2=49\cdot 9;$ с.

$x=\frac{21}{2\sqrt{5}}.$

$BK=\frac{4}{3}x=\frac{14}{\sqrt{5}}.$

Заметим, треугольники $ABM,$ $CBD$ равновелики.
Действительно, с учетом параллельности прямых $AD$ и $MC,$ имеем:

$S_{CBD}=S_{ACD}-S_{ABD}=S_{AMD}-S_{ABD}=S_{AMB}.$

Итак,

$S_{CBD}=S_{AMB}=\frac{AM\cdot BK}{2}=\frac{21\cdot \frac{14}{\sqrt{5}}}{2}=\frac{147\sqrt 5}{5}.$

Ответ: $\frac{147\sqrt5}{5}.$