ЕГЭ 2023, Досрок
Точка  лежит на отрезке . Прямая, проходящая через точку , касается окружности с диаметром  в точке  и второй раз пересекает окружность с диаметром  в точке Продолжение отрезка  пересекает окружность с диаметром  в точке

а)  Докажите, что прямые  и  параллельны.

б)  Найдите площадь треугольника , если  и 

Решение:

а) Заметим, углы опираются на диаметр, а значит являются прямыми. Стало быть, углы при прямых и секущей равны. А значит, по признаку параллельности прямых, и параллельны.

б) Пусть – середина Заметим, перпендикулярен как радиус, проведенный к касательной.

Треугольники , подобны по двум углам (угол A общий и углы прямые).

С учетом условия и    коэффициент подобия треугольников –

Пусть

Из треугольника по теореме Пифагора:

с.

Заметим, треугольники равновелики.
Действительно, с учетом параллельности прямых и имеем:

Итак,

Ответ: