(ЕГЭ 2023, Досрок)
Две окружности касаются внутренним образом в точке причём меньшая проходит через центр большей. Хорда
большей окружности касается меньшей в точке
Хорды
и
пересекают меньшую окружность в точках
и
соответственно, а отрезки
и
пересекаются в точке
а) Докажите, что
б) Найдите длину хорды если
a радиус меньшей окружности равен
Решение:
а) Пусть – центр большей окружности.
Угол – прямой, так как опирается на диаметр

– радиус, проведенный перпендикулярно хорде
а значит
– середина
Тогда
– не только высота и медиана в треугольнике
но и биссектриса.
Пусть
При этом
(опираются на одну дугу).
Далее,
(пара “центральный-вписанный”)
Имеем: значит прямые
параллельны.
Но тогда и
А значит, и
откуда
или
б) Пусть – центр малой окружности.
Пусть (
– середина
).
По условию значит
Пусть
тогда
Пусть
Очевидно,
Из треугольника
Наконец, из треугольника имеем:
Тогда
Ответ:
Полезно посмотреть аналог
Добавить комментарий