(ЕГЭ 2023, Досрок)

Две окружности касаются внутренним образом в точке $K,$ причём меньшая проходит через центр большей. Хорда $MN$ большей окружности касается меньшей в точке $C.$ Хорды $KM$ и $KN$ пересекают меньшую окружность в точках $A$ и $B$ соответственно, а отрезки $KC$ и $AB$ пересекаются в точке $L.$

а)  Докажите, что $CN:CM=LB:LA.$

б)  Найдите длину хорды $MN,$ если $LB:LA=3:7,$  a радиус меньшей окружности равен $\sqrt{17}.$

Решение:

а) Пусть $O$ – центр большей окружности.

Угол $KBO$ – прямой, так как опирается на диаметр   $KO.$

$OB$ – радиус, проведенный перпендикулярно хорде $KN,$ а значит $B$ – середина $KN.$ Тогда $BO$ – не только высота и медиана в треугольнике $KON,$ но и биссектриса.

Пусть

$\angle BOK=\angle NOB=\alpha.$

При этом

$\angle BAK=\angle BOK=\alpha$ (опираются на одну дугу).

Далее,

$\angle NMK=\frac{1}{2}\angle NOK$ (пара “центральный-вписанный”)

$\angle NMK=\frac{2\alpha}{2}=\alpha.$

Имеем: $\angle BAK=\angle NMK=\alpha,$ значит прямые $NM, AB$ параллельны.

Но тогда $\triangle KBL\infty \triangle KNC$ и $\triangle KLA\infty \triangle KCM.$

А значит, $LB:CN=KL:KC$ и $LA:CM=LK:CK,$ откуда

$LB:CN=LA:CM$

или

$CN:CM=LB:LA.$

б) Пусть $Q$ – центр малой окружности. $QC\perp NM.$

Пусть $OT\perp NM$ ($T$ – середина  $NM$).

По условию $LB:LA=3:7,$ значит $NC:CM=3:7.$ Пусть $NC=3x,CM=7x,$ тогда $CT=2x.$

Пусть $QF\perp OT.$

Очевидно, $QC=FT=\sqrt{17},CT=QF=2x.$

Из треугольника $QOF:$

 $FO=\sqrt{17-4x^2}.$

Наконец, из треугольника  $NTO$ имеем:

$NO^2=NT^2+TO^2;$

$4\cdot 17=(5x)^2+(\sqrt{17}+\sqrt{17-4x^2})^2;$

$4\cdot 17=25x^2+17+2\sqrt{17(17-4x^2)}+17-4x^2;$

$2\sqrt{17(17-4x^2)}=34-21x^2;$

$4(17^2-68x^2)=(34-21x^2)^2;$

$4(17^2-68x^2)=34^2-68\cdot 21x^2+441x^4;$

$441x^4=17\cdot 68x^2;$

$21x^2=34^2;$

$x=\frac{34}{21}.$

Тогда

$MN=10x=\frac{340}{21}.$

Ответ: $\frac{340}{21}.$

Полезно посмотреть аналог