2023-05-10

(ЕГЭ 2023, Досрок)

Две окружности касаются внутренним образом в точке K, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда MN большей окружности касается меньшей в точке C. Хорды KM и KN пересекают меньшую окружность в точках A и B соответственно, а отрезки KC и AB пересекаются в точке L.

а)  Докажите, что CN:CM=LB:LA.

б)  Найдите длину хорды MN, если LB:LA=3:7,  a радиус меньшей окружности равен \sqrt{17}.

Решение:

а) Пусть O – центр большей окружности.

Угол KBO – прямой, так как опирается на диаметр   KO.

OB – радиус, проведенный перпендикулярно хорде KN, а значит B – середина KN. Тогда BO – не только высота и медиана в треугольнике KON, но и биссектриса.

Пусть

\angle BOK=\angle NOB=\alpha.

При этом

\angle BAK=\angle BOK=\alpha (опираются на одну дугу).

Далее,

\angle NMK=\frac{1}{2}\angle NOK (пара “центральный-вписанный”)

\angle NMK=\frac{2\alpha}{2}=\alpha.

Имеем: \angle BAK=\angle NMK=\alpha, значит прямые NM, AB параллельны.

Но тогда \triangle KBL\infty \triangle KNC и \triangle KLA\infty \triangle KCM.

А значит, LB:CN=KL:KC и LA:CM=LK:CK, откуда

LB:CN=LA:CM

или

CN:CM=LB:LA.

б) Пусть Q – центр малой окружности. QC\perp NM.

Пусть OT\perp NM (T – середина  NM).

По условию LB:LA=3:7, значит NC:CM=3:7. Пусть NC=3x,CM=7x, тогда CT=2x.

Пусть QF\perp OT.

Очевидно, QC=FT=\sqrt{17},CT=QF=2x.

Из треугольника QOF:

 FO=\sqrt{17-4x^2}.

Наконец, из треугольника  NTO имеем:

NO^2=NT^2+TO^2;

4\cdot 17=(5x)^2+(\sqrt{17}+\sqrt{17-4x^2})^2;

4\cdot 17=25x^2+17+2\sqrt{17(17-4x^2)}+17-4x^2;

2\sqrt{17(17-4x^2)}=34-21x^2;

4(17^2-68x^2)=(34-21x^2)^2;

4(17^2-68x^2)=34^2-68\cdot 21x^2+441x^4;

441x^4=17\cdot 68x^2;

21x^2=34^2;

x=\frac{34}{21}.

Тогда

MN=10x=\frac{340}{21}.

Ответ: \frac{340}{21}.

Полезно посмотреть аналог

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




два + 3 =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif