(ЕГЭ 2023, Досрок)

Две окружности касаются внутренним образом в точке  причём меньшая проходит через центр большей. Хорда  большей окружности касается меньшей в точке  Хорды  и  пересекают меньшую окружность в точках  и  соответственно, а отрезки  и  пересекаются в точке 

а)  Докажите, что 

б)  Найдите длину хорды  если   a радиус меньшей окружности равен 

Решение:

а) Пусть – центр большей окружности.

Угол – прямой, так как опирается на диаметр  

– радиус, проведенный перпендикулярно хорде а значит – середина Тогда – не только высота и медиана в треугольнике но и биссектриса.

Пусть

При этом

(опираются на одну дугу).

Далее,

(пара “центральный-вписанный”)

Имеем: значит прямые параллельны.

Но тогда и

А значит, и откуда

или

б) Пусть – центр малой окружности.

Пусть ( – середина  ).

По условию значит Пусть тогда

Пусть

Очевидно,

Из треугольника

Наконец, из треугольника   имеем:

Тогда

Ответ:

Полезно посмотреть аналог