2023-05-13

(ЕГЭ 2023, Досрок)

Серединный перпендикуляр к стороне AB треугольника ABC переcекает сторону AC в точке D. Окружность с центром O, вписанная в треугольник ADB, касается отрезка AD в точке P, а прямая OP пересекает сторону AB в точке K.

а)  Докажите, что около четырёхугольника BDOK можно описать окружность.

б)  Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника BDOK, если AB=10,BC=\sqrt{19},AC=9.

Решение:

а) Серединный перпендикуляр к AB – биссектриса угла  ADB.

Пусть \angle DAB=\angle DBA=\alpha. Тогда \angle ADH= \angle BDH=90^{\circ}-\alpha, где H – середина AB.

Тогда, с учетом того, что  OP\perp AC, получаем: \angle POD=\alpha. И тогда \angle DOK=180^{\circ}-\alpha.

Итак, в четырехугольнике BDOK наблюдаем:

\angle O+\angle B=180^{\circ}-\alpha+\alpha=180^{\circ},

что говорит о том, около четырёхугольника можно описать окружность.

б) Заметим, треугольник ABC – прямоугольный, так как 10^2=9^2+(\sqrt{19})^2.

Пусть DC=x, тогда AD=DB=9-x.

Из треугольника DBC:

(9-x)^2=x^2+19;

62=18x;

x=\frac{31}{9}.

Тогда  DB=9-x=9-\frac{31}{9}=\frac{50}{9}.

Замечаем, BO – биссектриса угла DBA.

Из треугольника DOB:

\angle DOB=180^{\circ}-\alpha-(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2})=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}.

Из треугольника ABC cosA=cos \alpha=\frac{9}{10}.

Тогда cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{cos\alpha+1}{2}}=\sqrt{\frac{19}{20}}.
 По теореме Синусов для треугольника DBO:

\frac{DB}{sinDOB}=2R;

\frac{\frac{50}{9}}{sin(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2})}=2R;

\frac{\frac{50}{9}}{cos\frac{\alpha}{2}}=2R;

R=\frac{25}{9cos\frac{\alpha}{2}};

R=\frac{25}{9\cdot \sqrt{\frac{19}{20}}};

R=\frac{25\sqrt{20}}{9\sqrt{19}};

R=\frac{50\sqrt{95}}{171}.

Ответ: \frac{50\sqrt{95}}{171}.

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




девять + девятнадцать =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif