(ЕГЭ 2023, Досрок)

Серединный перпендикуляр к стороне $AB$ треугольника $ABC$ переcекает сторону $AC$ в точке $D.$ Окружность с центром $O,$ вписанная в треугольник $ADB,$ касается отрезка $AD$ в точке $P,$ а прямая $OP$ пересекает сторону $AB$ в точке $K.$

а)  Докажите, что около четырёхугольника $BDOK$ можно описать окружность.

б)  Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника $BDOK,$ если $AB=10,BC=\sqrt{19},AC=9.$

Решение:

а) Серединный перпендикуляр к $AB$ – биссектриса угла  $ADB.$

Пусть $\angle DAB=\angle DBA=\alpha.$ Тогда $\angle ADH= \angle BDH=90^{\circ}-\alpha,$ где $H$ – середина $AB.$

Тогда, с учетом того, что  $OP\perp AC,$ получаем: $\angle POD=\alpha.$ И тогда $\angle DOK=180^{\circ}-\alpha.$

Итак, в четырехугольнике $BDOK$ наблюдаем:

$\angle O+\angle B=180^{\circ}-\alpha+\alpha=180^{\circ},$

что говорит о том, около четырёхугольника можно описать окружность.

б) Заметим, треугольник $ABC$ – прямоугольный, так как $10^2=9^2+(\sqrt{19})^2$.

Пусть $DC=x,$ тогда $AD=DB=9-x.$

Из треугольника $DBC:$

$(9-x)^2=x^2+19;$

$62=18x;$

$x=\frac{31}{9}.$

Тогда  $DB=9-x=9-\frac{31}{9}=\frac{50}{9}.$

Замечаем, $BO$ – биссектриса угла $DBA.$

Из треугольника $DOB:$

$\angle DOB=180^{\circ}-\alpha-(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2})=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}.$

Из треугольника $ABC$ $cosA=cos \alpha=\frac{9}{10}.$

Тогда $cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{cos\alpha+1}{2}}=\sqrt{\frac{19}{20}}.$
 По теореме Синусов для треугольника $DBO:$

$\frac{DB}{sinDOB}=2R;$

$\frac{\frac{50}{9}}{sin(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2})}=2R;$

$\frac{\frac{50}{9}}{cos\frac{\alpha}{2}}=2R;$

$R=\frac{25}{9cos\frac{\alpha}{2}};$

$R=\frac{25}{9\cdot \sqrt{\frac{19}{20}}};$

$R=\frac{25\sqrt{20}}{9\sqrt{19}};$

$R=\frac{50\sqrt{95}}{171}.$

Ответ: $\frac{50\sqrt{95}}{171}.$