(ЕГЭ 2023, Досрок)

Серединный перпендикуляр к стороне  треугольника  переcекает сторону  в точке  Окружность с центром  вписанная в треугольник  касается отрезка  в точке  а прямая  пересекает сторону  в точке 

а)  Докажите, что около четырёхугольника  можно описать окружность.

б)  Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника  если 

Решение:

а) Серединный перпендикуляр к – биссектриса угла  

Пусть Тогда где – середина

Тогда, с учетом того, что   получаем: И тогда

Итак, в четырехугольнике наблюдаем:

что говорит о том, около четырёхугольника можно описать окружность.

б) Заметим, треугольник – прямоугольный, так как .

Пусть тогда

Из треугольника

Тогда  

Замечаем, – биссектриса угла

Из треугольника

Из треугольника

Тогда
 По теореме Синусов для треугольника

Ответ: