(ЕГЭ 2023, Досрок)

Окружность касается одной из сторон прямого угла с вершиной $D$ в точке $E$ и пересекает вторую сторону в точках $A$ и $B$ (точка $A$ лежит между $B$ и $D$). В окружности проведён диаметр $AC.$

а)  Докажите, что отрезок $BC$ вдвое больше отрезка $DE$.

б)  Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $AC,$ если $AD = 4$ и $AB = 5.$

Решение:

а) $\angle ABC=90^{\circ},$ так как опирается на диаметр $AC.$

 Пусть $K$ – середина $AB.$ В равнобедренном треугольнике $AOB$ ($AO=OB$ как радиусы) медиана $OK$  – высота.

$OE\perp DE$ как радиус, проведенный к касательной.

Таким образом $DEOK$ – прямоугольник и $OK=DE.$

При этом $OK$ – средняя линия треугольника $ABC,$ то есть $OK=\frac{BC}{2}.$

Итак, $BC=2OK=2DE.$

б) Пусть $EH$ – искомое расстояние. Пусть  $OE=AO=R.$

Из треугольника $AOK:$

$OK=\sqrt{AO^2-AK^2}=\sqrt{R^2-2,5^2}.$

$DE=OK=\sqrt{R^2-(\frac{5}{2})^2}$ – расстояние от точки $A$ до $EO.$

По свойству касательной и секущей:

$DE^2=DA\cdot DB;$

$R^2-2,5^2=4\cdot 9;$

$R=6,5.$

Заметим, треугольник $AEO$ – равнобедренный, значит высоты, проведенные к боковым сторонам, равны.

Длина $EH$ равна расстоянию от $A$ до $EO:$

$\rho (E,AC)=DE=\sqrt{R^2-2,5^2}=\sqrt{6,5^2-2,5^2}=6.$

Ответ: $6.$