(ЕГЭ 2023, Досрок)

Окружность касается одной из сторон прямого угла с вершиной  в точке  и пересекает вторую сторону в точках  и  (точка  лежит между  и ). В окружности проведён диаметр 

а)  Докажите, что отрезок  вдвое больше отрезка .

б)  Найдите расстояние от точки  до прямой  если  и 

Решение:

а) так как опирается на диаметр

 Пусть – середина В равнобедренном треугольнике ( как радиусы) медиана  – высота.

как радиус, проведенный к касательной.

Таким образом – прямоугольник и

При этом – средняя линия треугольника то есть

Итак,

б) Пусть – искомое расстояние. Пусть  

Из треугольника

 – расстояние от точки до

По свойству касательной и секущей:

Заметим, треугольник – равнобедренный, значит высоты, проведенные к боковым сторонам, равны.

Длина равна расстоянию от до

Ответ: