2023-05-19

(ЕГЭ 2023, Досрок)

Окружность касается одной из сторон прямого угла с вершиной D в точке E и пересекает вторую сторону в точках A и B (точка A лежит между B и D). В окружности проведён диаметр AC.

а)  Докажите, что отрезок BC вдвое больше отрезка DE.

б)  Найдите расстояние от точки E до прямой AC, если AD = 4 и AB = 5.

Решение:

а) \angle ABC=90^{\circ}, так как опирается на диаметр AC.

 Пусть K – середина AB. В равнобедренном треугольнике AOB (AO=OB как радиусы) медиана OK  – высота.

OE\perp DE как радиус, проведенный к касательной.

Таким образом DEOK – прямоугольник и OK=DE.

При этом OK – средняя линия треугольника ABC, то есть OK=\frac{BC}{2}.

Итак, BC=2OK=2DE.

б) Пусть EH – искомое расстояние. Пусть  OE=AO=R.

Из треугольника AOK:

OK=\sqrt{AO^2-AK^2}=\sqrt{R^2-2,5^2}.

DE=OK=\sqrt{R^2-(\frac{5}{2})^2} – расстояние от точки A до EO.

По свойству касательной и секущей:

DE^2=DA\cdot DB;

R^2-2,5^2=4\cdot 9;

R=6,5.

Заметим, треугольник AEO – равнобедренный, значит высоты, проведенные к боковым сторонам, равны.

Длина EH равна расстоянию от A до EO:

\rho (E,AC)=DE=\sqrt{R^2-2,5^2}=\sqrt{6,5^2-2,5^2}=6.

Ответ: 6.

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




5 + пять =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif