(ЕГЭ 2023, Досрок)

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение [latexpage]

$\sqrt{3x-5}\cdot ln(4x^2-a^2)=\sqrt{3x-5}\cdot ln(2x+a)$

имеет ровно один корень.

Решение:

$\sqrt{3x-5}\cdot ln(4x^2-a^2)=\sqrt{3x-5}\cdot ln(2x+a);$

$\sqrt{3x-5}\cdot(ln(4x^2-a^2)- ln(2x+a))=0;\\$

$\\$

$\Bigg[\begin{array}{rl}\sqrt{3x-5}=0,\\ln(4x^2-a^2)- ln(2x+a)=0;\end{array}\quad $ при условии $\quad \begin{cases}3x-5\geq 0,\\2x+a>0,\\4x^2-a^2>0;\end{cases}\\$

$\\$

$\\ \Bigg[\begin{array}{rl}3x-5=0,\\(2x+a)(2x-a-1)=0;\end{array}\quad $ при условии $\quad \begin{cases}3x-5\geq 0,\\2x+a>0,\\(2x-a)(2x+a)>0;\end{cases}$

$\Bigg[\begin{array}{rl}\\x=\frac{5}{3},\\a=-2x,\\a=2x-1;\\\\ \end{array}\quad $ при условии$\quad \begin{cases}x\geq \frac{5}{3},\\a>-2x,\\(2x-a)(2x+a)>0;\end{cases}$

Работаем в системе координат (x;a).

Множество точек, отвечающее исходному уравнению, помечено на рисунке красным цветом.
Откуда видно, что уравнение имеет единственное решение при $a \in(-\frac{10}{3};\frac{7}{3}]\cup [\frac{10}{3};+\infty).$

Ответ: $(-\frac{10}{3};\frac{7}{3}]\cup [\frac{10}{3};+\infty).$