(ЕГЭ 2023, Досрок)
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение [latexpage]

$\sqrt{5x-3}\cdot ln(x^2-6x+10-a^2)=0$

имеет ровно один корень на отрезке $[0;3].$

Решение:

$\sqrt{5x-3}\cdot ln(x^2-6x+10-a^2)=0;$

$\begin{cases}\sqrt{5x-3}=0,\\x^2-6x+10-a^2>0;&\end{cases}\quad $ или $\quad \begin{cases}ln(x^2-6x+10-a^2)=0;\\5x-3\geq 0;&\end{cases}$

$\begin{cases}x=0,6,\\(\frac{3}{5})^2-6\cdot \frac{3}{5}+10-a^2>0;&\end{cases}\quad $ или $\quad \begin{cases}x^2-6x+10-a^2=1;\\x\geq 0,6;&\end{cases}$

$\begin{cases}x=0,6,\\(a-2,6)(a+2,6)<0;&\end{cases}\quad $ или $\quad \begin{cases}a=\pm (x-3);\\x\geq 0,6;&\end{cases}$

Работаем в системе координат $(x;a).$ При этом рабочая зона – $x\in [0;3].$

Множество точек, отвечающее исходному уравнению, помечено на рисунке красным цветом (жирные линии).
Откуда видно, что уравнение имеет единственное решение при $a \in (-2,6;-2,4]\cup [2,4;2,6).$

Ответ: $(-2,6;-2,4]\cup [2,4;2,6).$