(ЕГЭ 2023, Досрок) При каких значениях параметра $a$ уравнение

$\large \frac{|4x|-x-3-a}{x^2-x-a}=0$

имеет ровно 2 различных решения.

Решение:

Исходное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases}|4x|-x-3-a=0,\\x^2-x-a\neq 0.&\end{cases}$

Распишем первую строку системы согласно определению модуля:

$|4x|-x-3-a=
\begin{cases} 4x-x-3-a,\quad x\geq 0,\\ -4x-x-3-a, \quad x<0;\end{cases}$

$|4x|-x-3-a=
\begin{cases} 3x-3-a,\quad x\geq 0,\\ -5x-3-a, \quad x<0;\end{cases}$

Построим полученное множество точек в системе координат $(x;a),$ при условии $a\neq x^2-x:$

Ограничение $a\neq x^2-x$ (множество точек параболы) «выкалывает» на ломаной $a=|4x|-x-3$ четыре точки: $(1;0),(-1;2),(3;6),(-3;12).$ Становится видно, что два решения исходная система будет иметь при

$a\in(-3;0)\cup(0;2)\cup(2;6)\cup(6;12)\cup(12;+\infty).$

Ответ: $(-3;0)\cup(0;2)\cup(2;6)\cup(6;12)\cup(12;+\infty).$