(ЕГЭ 2023, Досрок)

Трёхзначное натуральное число, в десятичной записи которого нет нулей, разделили на произведение его цифр.

а)  Может ли получившееся частное быть равным $5$?

6)  Может ли получившееся частное быть равным $1$?

в)  Какое наименьшее значение может принимать это частное?

Решение:

а) Пусть наше трехзначное число – $100a+10b+c.$

Заметим, все цифры числа не равны нулю и число кратно $5,$ стало быть, $c=5.$

Имеем:

$100a+10b+5=25ab;$

$20a+2b+1=5ab;$

Пусть, например, $a=1.$ Тогда

$20+2b+1=5b;$

$21=3b;$

$b=7.$

Итак,

$\frac{175}{1\cdot 7\cdot 5}=5.$

б) Допустим,

$100a+10b+c=abc,$

тогда

$10b+c=a(bc-100).$

Заметим, правая часть отрицательна, а левая положительна, что невозможно.

Указанное в условии частное не может быть равно $1.$

в)

$\frac{100a+10b+c}{abc}=\frac{100}{bc}+\frac{10}{ac}+\frac{1}{ab}\geq\frac{100}{81}+\frac{10}{81}+\frac{1}{81}=\frac{111}{81}=\frac{37}{27}.$

Итак, $a=b=c=9.$

$\frac{999}{9\cdot 9\cdot 9\cdot 9}=\frac{37}{27}.$

Ответ: Ответ: а)  да; б)  нет; в) $ \frac{37}{27}.$