2023-05-20

(ЕГЭ 2023, Досрок)
Бесконечная геометрическая прогрессия b_1, b_2, ..., b_n, ... состоит из различных натуральных чисел. Пусть S_1  =  b_1 и S_n=  b_1 + b_2+ ... + b_n при всех натуральных n\geq 2.

а)  Существует ли такая прогрессия, среди чисел S_1, S_2, S_3, S_4 которой ровно два числа делятся на 60?

б)  Существует ли такая прогрессия, среди чисел  S_1, S_2, S_3, S_4

 которой ровно три числа делятся на 60?

в)  Какое наибольшее количество чисел среди  S_1, S_2, S_3, …, S_{12}

 может делиться на 60, если известно, что S_1 на 60 не делится?

Решение:

Пусть q – знаменатель прогрессии b_1, b_2, ..., b_n, ...

Пусть

S_1=b_1=b,

тогда

S_2=b+bq=b(1+q),

S_3=b+bq+bq^2=b(1+q+q^2),

S_4=b+bq+bq^2+bq^3=b(1+q+q^2+q^3)=b(1+q)(1+q^2).

Заметим, S_4 так же как и S_2 делится на (1+q).

а) Пусть, например, b=20,q=2.

Тогда из геометрической последовательности {b_n}

20;40;80;160

получаем последовательность  {S_n}:

20;60;140;300,

только два члена которой делятся на 60.

б) Если b кратно 60, то все члены кратны 60.

Пусть S_1=b не делится на 60. Тогда S_2=b+bq, S_3=b+bq+bq^2,S_4=b+bq+bq^2+bq^3 кратны 60.

Рассмотрим, например (рассуждения для любой другой пары соседних членов  {S_n} аналогичны), разность S_3-qS_2, которая должна делиться на 60, раз S_3 и S_2 кратны 60:

S_3-qS_2=b+bq+bq^2-bq-bq^2=b.

Но b не делится на 60. Противоречие.

Не существует такой прогрессии, среди чисел  S_1, S_2, S_3, S_4 которой ровно три числа делятся на 60.

в) В пункте а было подмечено, что суммы {S_n} c четными индексами кратны (1+q) (рассуждения были приведены для S_2,S_4, но идея распространяется на все суммы S_n c четными индексами, что несложно проверить).

В пункте б было подмечено, что в последовательности {S_n} соседние члены не могут быть кратны 60.

Если допустить, что в последовательности {S_n} есть 7 чисел кратных 60, то хотя бы одна пара из них – соседние члены последовательности, что невозможно. Приведем пример для 6 чисел:

{b_n}: 20;40;80;160;320;640;1280;2560;5120;10240;20480;40960

{S_n}: 20;60;140;300;620;1260;2540;5100;10220;20460;40940;81900.

Ответ: a) да; б) нет; в) 6.

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




семь + 17 =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif