(ЕГЭ 2023, Досрок)
Бесконечная геометрическая прогрессия $b_1, b_2, …, b_n, …$ состоит из различных натуральных чисел. Пусть $S_1  =  b_1$ и $S_n=  b_1 + b_2+ … + b_n$ при всех натуральных $n\geq 2.$

а)  Существует ли такая прогрессия, среди чисел $S_1, S_2, S_3, S_4$ которой ровно два числа делятся на $60$?

б)  Существует ли такая прогрессия, среди чисел  $S_1, S_2, S_3, S_4$

 которой ровно три числа делятся на $60?$

в)  Какое наибольшее количество чисел среди  $S_1, S_2, S_3, …, S_{12}$

 может делиться на $60,$ если известно, что $S_1$ на $60$ не делится?

Решение:

Пусть $q$ – знаменатель прогрессии $b_1, b_2, …, b_n, …$

Пусть

$S_1=b_1=b,$

тогда

$S_2=b+bq=b(1+q),$

$S_3=b+bq+bq^2=b(1+q+q^2),$

$S_4=b+bq+bq^2+bq^3=b(1+q+q^2+q^3)=b(1+q)(1+q^2).$

Заметим, $S_4$ так же как и $S_2$ делится на $(1+q).$

а) Пусть, например, $b=20,q=2.$

Тогда из геометрической последовательности ${b_n}$

$20;40;80;160$

получаем последовательность  ${S_n}:$

$20;60;140;300,$

только два члена которой делятся на $60.$

б) Если $b$ кратно $60,$ то все члены кратны $60.$

Пусть $S_1=b$ не делится на $60.$ Тогда $S_2=b+bq, S_3=b+bq+bq^2,S_4=b+bq+bq^2+bq^3$ кратны $60.$

Рассмотрим, например (рассуждения для любой другой пары соседних членов  {$S_n$} аналогичны), разность $S_3-qS_2,$ которая должна делиться на $60,$ раз $S_3$ и $S_2$ кратны $60:$

$S_3-qS_2=b+bq+bq^2-bq-bq^2=b.$

Но $b$ не делится на $60.$ Противоречие.

Не существует такой прогрессии, среди чисел  $S_1, S_2, S_3, S_4$ которой ровно три числа делятся на $60.$

в) В пункте а было подмечено, что суммы {$S_n$} c четными индексами кратны $(1+q)$ (рассуждения были приведены для $S_2,S_4,$ но идея распространяется на все суммы $S_n$ c четными индексами, что несложно проверить).

В пункте б было подмечено, что в последовательности {$S_n$} соседние члены не могут быть кратны $60.$

Если допустить, что в последовательности {$S_n$} есть $7$ чисел кратных $60,$ то хотя бы одна пара из них – соседние члены последовательности, что невозможно. Приведем пример для $6$ чисел:

{$b_n$}: $20;40;80;160;320;640;1280;2560;5120;10240;20480;40960$

{$S_n$}: $20;60;140;300;620;1260;2540;5100;10220;20460;40940;81900.$

Ответ: a) да; б) нет; в) $6.$