(ЕГЭ 2023, Досрок)
Бесконечная геометрическая прогрессия  состоит из различных натуральных чисел. Пусть  и  при всех натуральных 

а)  Существует ли такая прогрессия, среди чисел  которой ровно два числа делятся на ?

б)  Существует ли такая прогрессия, среди чисел  

 которой ровно три числа делятся на

в)  Какое наибольшее количество чисел среди  

 может делиться на если известно, что  на не делится?

Решение:

Пусть – знаменатель прогрессии

Пусть

тогда

Заметим, так же как и делится на

а) Пусть, например,

Тогда из геометрической последовательности

получаем последовательность  

только два члена которой делятся на

б) Если кратно то все члены кратны

Пусть не делится на Тогда кратны

Рассмотрим, например (рассуждения для любой другой пары соседних членов  {} аналогичны), разность которая должна делиться на раз и кратны

Но не делится на Противоречие.

Не существует такой прогрессии, среди чисел   которой ровно три числа делятся на

в) В пункте а было подмечено, что суммы {} c четными индексами кратны (рассуждения были приведены для но идея распространяется на все суммы c четными индексами, что несложно проверить).

В пункте б было подмечено, что в последовательности {} соседние члены не могут быть кратны

Если допустить, что в последовательности {} есть чисел кратных то хотя бы одна пара из них – соседние члены последовательности, что невозможно. Приведем пример для чисел:

{}:

{}:

Ответ: a) да; б) нет; в)