(ЕГЭ 2023, Досрок)

Егор делит линейку на части. За одно действие он может отрезать от любого количества линеек равные части, имеющие целую длину.

а)  Может ли Егор за 4 хода разделить линейку длиной в 16 см на части по 1 см?

б)  Может ли Егор за 5 ходов разделить линейку длиной в 100 см на части по 1 см?

в)  За какое наименьшее количество ходов Егор может разделить линейку длиной в 300 см на части по 1 см?

Решение:

а) Да, может. Разделили линейку пополам. Две образовавшиеся линейки делим снова пополам. Четыре линейки опять пополам, и наконец, восемь линеек за четвертый ход делим пополам, получая $16$ частей по $1$ см.

$16\rightarrow 2*8\rightarrow 4*4\rightarrow 8*2 \rightarrow16*1.$

б) Максимально, за один ход получаем удвоение количества линеек. За пять ходов можно получить не более $2^5,$ то есть $32$-х линеек. Но не $100.$

в) За восемь ходов сможем получить не более $2^8=256$ линеек. Попробуем разделить линейку в $300$ см на части по $1$ см за $9$ ходов.

1) отрезаем $150$ см:

$300\rightarrow 2*150;$

2) отрезаем от двух линеек по $75$ см:

$2*150\rightarrow 4*75;$

3) отрезаем от четырех линеек по $37$ см:

$4*75\rightarrow 4*37+4*38;$

4) отрезаем от восьми линеек по $19$ см:

$4*37+4*38\rightarrow 12*19+4*18;$

5) отрезаем от $16$ линеек по $9$ см:

$12*19+4*18\rightarrow 20*9+12*10;$

6) отрезаем от $32$ линеек по $5$ см:

$20*9+12*10\rightarrow 44*5+20*4;$

7) отрезаем от $64$ линеек по $2$ см:

$44*5+20*4\rightarrow 84*2+44*3;$

8) отрезаем от $128$ линеек по $1$ см:

$84*2+44*3\rightarrow 212*1+44*2;$

9) отрезаем от $44$ линеек по $1$ см:

$212*1+44*2\rightarrow 212*1+88*1=300*1.$

Ответ: а) да; б) нет; в) $9.$