ЕГЭ 2023

а) Решите уравнение:

$2sin^2xcosx+\sqrt3 cos^2x=\sqrt3.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{5 \pi }{2};4\pi]$.  

Решение:

а)

$2sin^2xcosx+\sqrt3 cos^2x=\sqrt3;$

$2sin^2xcosx+\sqrt3 (1-sin^2x)-\sqrt3=0;$

$2sin^2xcosx+\sqrt3 -\sqrt3 sin^2x-\sqrt3=0;$

$2sin^2xcosx-\sqrt3 sin^2x=0;$

$sin^2x(2cosx-\sqrt3)=0;$

$sin^2x=0\quad $ или $\quad 2cosx-\sqrt3=0;$

$sinx=0\quad $ или $\quad cosx=\frac{\sqrt3}{2};$

$x=\pi n, n\in Z\quad $ или $\quad x=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n, n\in Z;$

б) Произведем отбор корней уравнения из указанного отрезка при помощи тригонометрической окружности:

$3\pi;\frac{23\pi}{6};4\pi$

Ответ: а) $\pi n, \pm\frac{\pi}{6}+2\pi n, n\in Z$; б) $3\pi;\frac{23\pi}{6};4\pi.$