Задание 17 ЕГЭ 2023
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых
$\begin{cases}(x^2+y^2+4x)\sqrt{2x+y+6}=0,\\y=a(x-2)&\end{cases}$
система уравнений имеет 2 различных решения.
Решение:
$\begin{cases}(x^2+y^2+4x)\sqrt{2x+y+6}=0,\\y=a(x-2)&\end{cases}$
Рассмотрим первую строку системы:
$\begin{cases}x^2+y^2+4x=0,\\2x+y+6\geq 0;\end{cases}\quad$ или $\quad 2x+y+6\
=0$
$\begin{cases}x^2+4x+4+y^2=4,\\2x+y+6\geq 0;\end{cases}\quad $ или $\quad 2x+y+6=0$
$\begin{cases}(x+2)^2+y^2=4,\\y\geq- 2x-6;&\end{cases}\quad $ или $\quad y=-2x-6$
Первая строка системы задает объединение
части окружности $(x+2)^2+y^2=4$ (что попала в зону $y\geq -2x-6$)
и
прямой $y=-2x-6.$
На рисунке – линии синего цвета.
А $y=a(x-2)$ – семейство прямых, проходящих через точку $(2;0).$

Найдем координаты точек $A$ и $B$ пересечения $y=-2x-6$ и $(x+2)^2+y^2=4:$
$\begin{cases}(x+2)^2+y^2=4,\\y=- 2x-6;\end{cases}$
$\begin{cases}(x+2)^2+(-2x-6)^2=4,\\y=- 2x-6;\end{cases}$
$\begin{cases}5x^2+28x+36=0,\\y=- 2x-6;\end{cases}$
Тогда $A(-\frac{18}{5};\frac{6}{5}),$ $B(-2;-2).$
Если $y=a(x-2)$ проходит через $A,$ то $a=\frac{\frac{6}{5}}{-\frac{18}{5}-2}=-\frac{3}{14}.$
Если $y=a(x-2)$ проходит через $B,$ то $a=\frac{-2}{-2-2}=\frac{1}{2}.$
Найдем $a,$ отвечающее за касание $y=a(x-2)$ и $(x+2)^2+y^2=4.$
В нашем случае расстояние от центра окружности $(-2;0)$ до прямой $ax-y-2a=0$ равно $2.$
$\frac{|a\cdot (-2)-0-2a|}{\sqrt{a^2+1^2}}=2;$
$4|a|=2\sqrt{a^2+1};$
$a=\pm \frac{1}{\sqrt3}.$
Подходящие нам положения семейства прямых $y=a(x-2)$ помечены на рисунке красным цветом (включая сектор красного цвета).
Итак, $a\in [-\frac{3}{14};\frac{1}{2}]\cup ${$\pm \frac{1}{\sqrt3}$}.
Ответ: $[-\frac{3}{14};\frac{1}{2}]\cup ${$\pm \frac{1}{\sqrt3}$}.
Добавить комментарий