2023-06-13

Задание 17 ЕГЭ 2023

 Найдите все значения параметра a, при каждом из которых

$\begin{cases}(x^2+y^2+4x)\sqrt{2x+y+6}=0,\\y=a(x-2)&\end{cases}$

система уравнений имеет 2 различных решения.

Решение:

$\begin{cases}(x^2+y^2+4x)\sqrt{2x+y+6}=0,\\y=a(x-2)&\end{cases}$

Рассмотрим первую строку системы:

$\begin{cases}x^2+y^2+4x=0,\\2x+y+6\geq 0;\end{cases}\quad$ или $\quad 2x+y+6\
=0$

$\begin{cases}x^2+4x+4+y^2=4,\\2x+y+6\geq 0;\end{cases}\quad $ или $\quad 2x+y+6=0$

$\begin{cases}(x+2)^2+y^2=4,\\y\geq- 2x-6;&\end{cases}\quad $ или $\quad y=-2x-6$

Первая строка системы задает объединение

части окружности $(x+2)^2+y^2=4$ (что попала в зону $y\geq -2x-6$)

и

прямой $y=-2x-6.$

На рисунке – линии синего цвета.

А $y=a(x-2)$ – семейство прямых, проходящих через точку $(2;0).$

Найдем координаты точек $A$ и $B$ пересечения  $y=-2x-6$ и $(x+2)^2+y^2=4:$

$\begin{cases}(x+2)^2+y^2=4,\\y=- 2x-6;\end{cases}$

$\begin{cases}(x+2)^2+(-2x-6)^2=4,\\y=- 2x-6;\end{cases}$

$\begin{cases}5x^2+28x+36=0,\\y=- 2x-6;\end{cases}$

Тогда $A(-\frac{18}{5};\frac{6}{5}),$ $B(-2;-2).$

Если $y=a(x-2)$ проходит через $A,$ то $a=\frac{\frac{6}{5}}{-\frac{18}{5}-2}=-\frac{3}{14}.$

Если $y=a(x-2)$ проходит через $B,$ то $a=\frac{-2}{-2-2}=\frac{1}{2}.$

Найдем $a,$ отвечающее за касание $y=a(x-2)$ и $(x+2)^2+y^2=4.$

В нашем случае расстояние от центра окружности  $(-2;0)$ до прямой $ax-y-2a=0$ равно $2.$

$\frac{|a\cdot (-2)-0-2a|}{\sqrt{a^2+1^2}}=2;$

$4|a|=2\sqrt{a^2+1};$

$a=\pm \frac{1}{\sqrt3}.$

Подходящие нам положения семейства прямых $y=a(x-2)$ помечены на рисунке красным цветом (включая сектор красного цвета).

Итак, $a\in [-\frac{3}{14};\frac{1}{2}]\cup ${$\pm \frac{1}{\sqrt3}$}.

Ответ: $[-\frac{3}{14};\frac{1}{2}]\cup ${$\pm \frac{1}{\sqrt3}$}.

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




6 − 5 =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif