2023-06-13

 Задание 18 ЕГЭ 2023

Даны числа $A$ и $B.$ Из них можно сделать числа $A+2$ и $B-1$ или $B+2$ и $A-1,$ только если следующая пара этих чисел будет натуральной. Известно, что $A=7,B=11.$

а)  Можно ли за 20 ходов создать пару, где одно из чисел равно $50?$

б)  За сколько ходов можно сделать пару, где сумма чисел будет равна $600$?

в)  Какое наибольшее число ходов можно сделать, чтобы оба числа не превышали $50$?

Решение:

а) За один ход сумма чисел увеличивается на $1.$

Действительно,

$((A+2)+(B-1))-(A+B)=1$ или $((A-1)+(B+2))-(A+B)=1.$

Исходная сумма чисел $A$ и $B$ равна $7+11=18.$ За $20$ ходов мы можем добраться до суммы $38.$ Очевидно, мы не можем представить $38$ в виде суммы двух натуральных слагаемых, одно из которых $50.$

б) Так как $600-18=582,$ то можно организовать $582$ хода, что приведут пару $(7;11)$ к паре с суммой $600.$
Применим к паре чисел $(7;11)$ указанный ниже цикл $291$ раз:

$(A;B)\rightarrow (A+2;B-1)\rightarrow (A+1;B+1)$

Придем к паре $(298;302),$ сумма которой $600.$

в) Если оба числа не превышают $50,$ то максимальное количество ходов мы сделаем при максимальной сумме чисел, которая равна $100.$

Покажем, что вариант $(50;50)$ невозможен.
Заметим, изначально разность чисел равнялась $11-7=4.$ Каждый ход меняет разность пары на $3.$ Действительно,

$((A+2)-(B-1))=(A-B)+3$ или $((A-1)-(B+2))=(A-B)-3.$

То есть новая пара чисел не сможет в разности дать нулевой остаток при делении на $3,$ то есть $A\neq B.$

Тогда максимальная сумма чисел указаных чисел уже не $100,$ а $99.$


Сможем сделать $99-18=81$ ходов? Да!

Первый ход:

$(7;11)\rightarrow (9;10)$

Далее включаем указанный в пункте б цикл $(A;B)\rightarrow (A+2;B-1)\rightarrow (A+1;B+1)$ $40$ раз. Получим пару $(49;50).$

Ответ: а) нет; б) $582$; в) $81$.

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




два × 1 =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif