05. Простейшие иррациональные уравнения

$\sqrt{52-6x}=4;$

$52-6x=16;$

$6x=36;$

$x=6.$

Ответ: $6.$ 

Заметим, так как левая часть уравнения неотрицательная, то и правая часть неотрицательна, то есть $-x\geq 0$. Эта информация заложена в уравнении, мы ее должны сохранить:

$\sqrt{-56-15x}=-x;$

$\begin{cases}-56-15x=x^2,\\-x\geq 0;&\end{cases}$

Обратите внимание! Мы вовсе не забыли сказать, что $-56-15x\geq 0$, об этом у нас сказано в первой строке системы (см. выше)!

$\begin{cases}x^2+15x+56=0,\\x\leq 0;&\end{cases}$

$\begin{cases}x=\frac{-15\pm\sqrt{225-4\cdot 56}}{2},\\x\leq 0;&\end{cases}$

$\begin{cases}x=\frac{-15\pm 1}{2},\\x\leq 0;&\end{cases}$

$\begin{cases}x=\frac{-15\pm 1}{2},\\x\leq 0;&\end{cases}$

Значит,

$x=-8$  или $x=-7$.

Наименьший из корней  – это $-8.$

Ответ: $-8.$ 

$\sqrt{\frac{1}{9-x}}=0,2;$

$\frac{1}{9-x}=0,04;$

$9-x=1:0,04;$ 

$9-x=\frac{100}{4};$

$9-x=25;$

$x=-16$.

Ответ: $-16.$ 

Возводим обе части равенства в куб, получаем равносильное уравнение:

$\sqrt[3]{x+2}=-2;$

$x+2=-8;$

$x=-10.$

Ответ: $-10.$ 

Возводим обе части уравнения в квадрат, при этом не забываем указать ОДЗ!

ОДЗ для данного уравнения: $x^2-8\geq 0$ и $-2x\geq 0$.

Но поскольку выражения $(x^2-8)$ и  $(-2x)$ у нас будут приравниваться, мы можем указать только одно неравенство из двух. Конечно, нам выгодно взять неравенство попроще, то есть $-2x\geq 0$.

Имеем:

$\begin{cases}x^2-8=-2x,\\-2x\geq 0;\end{cases}$

$\begin{cases}x^2+2x-8=0,\\x\leq 0;\end{cases}$

$x=-4$.

Ответ: $-4.$ 

ОДЗ данного неравенства:

$\begin{cases}x-1\geq 0,\\x+4\geq 0;\end{cases}$

То есть $x\geq 1.$

Возведем в квадрат обе части равенства, учтем ОДЗ. Получим систему, равносильную исходному уравнению:

$\begin{cases}(x-1)(x+4)=6,\\x\geq 1;\end{cases}$

$\begin{cases}x^2+3x-10=0,\\x\geq 1;\end{cases}$

$x=2.$

Ответ: $2.$