В Заданиях №5 ЕГЭ по математике проверяется умение решать простейшие
рациональные,
иррациональные,
показательные,
логарифмические,
тригонометрические уравнения.
Сейчас мы рассмотрим основные типы простейших логарифмических уравнений, которые могут встретиться на экзамене.
Если вам нужно вспомнить определение логарифма, свойства логарифмов, то загляните сюда.
И все же, напомню определение логарифма еще раз.
Логарифмом числа
по основанию
называется показатель степени (
), в которую нужно возвести
, чтобы получить
.

Например,
, так как
.
Задание 1.
Найдите корень уравнения
.
Решение: + показать
I способ.
Согласно определению логарифма
.
Заметьте, все требования, заложенные в определении логарифма, у нас выполнены (
).
Итак, 

II способ.
Представим
в виде логарифма по основанию
:

Тогда
.
Мы сейчас пришли к уравнению вида
.
Логарифмы
с равными основаниями будут равны в случае равенства подлогарифмных выражений
и
на области определения для данного уравнения.
«Отбрасываем» логарифмы, получаем:

Опять же, все требования для существования логарифма, заложенные в определении логарифма, соблюдены.

Этот способ решения логарифмических уравнений мы вспомним еще не раз.
Ответ: -252.
Задание 2.
Найдите корень уравнения 
Решение: + показать
Будем решать уравнение способом, описанным выще (способ II).
Нам остается лишь «отбросить» логарифмы, приравняв подлогарифмные выражения:
.
При этом, опять же, заметьте, выполнены условия существования логарифма, заложенные в определении (
).
Итак,
.
Ответ: 3.

Задание 3.
Найдите корень уравнения 
Решение: + показать

Неравенство появилось исходя из того, что, согласно определению логарифма, подлогарифмное выражение должно быть положительным. А второе неравенство
для системы является лишним, ведь раз
и мы указали, что
, то автоматически
.
То есть в таких случаях мы вольны выбирать неравенство попроще.

Ответ: 26.
Задание 4.
Найдите корень уравнения
.
Решение: + показать
«Отбросить» логарифмы мы сможем только тогда, когда
будет «спрятана в логарифм».
Есть для этого подходящее свойство:
.
Имеем:
Тогда
(ОДЗ – соблюдено).

Ответ: 0.
Задание 5.
Решите уравнение 
Решение: + показать
«Отбросить» логарифмы мы сможем только тогда, когда
будет «спрятана в логарифм».
Есть для этого подходящее свойство:
.
Предварительно представим
как
.
Имеем

Тогда


Ответ: 1.
Задание 6.
Решите уравнение
. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
Решение: + показать
.
Тогда, переходим к равносильной системе (помним о том, что основание логарифма больше нуля, не равно 1 и подлогарифмное выражение положительно):




Итак, решение: 
Ответ: 6.
Задание 7.
Найдите корень уравнения
.
Решение: + показать
Уравнение равносильно следующему (применили упоминавшееся уже свойство
):
(заметим,
всегда).
И поскольку
(применили свойство
), то

Ответ: 4,4.
Задание 8.
Найдите корень уравнения
.
Решение: + показать
Проделаем предваритеьную работу:


Теперь самое время применить формулу
:

Возводим в куб обе части уравнения:



Ответ: 87.

Вы можете пройти тест по теме «Задания №5. Простейшие логарифмические уравнения»
а почему в 6 задании в конце, пишем х>3, а потом х=3? как так?
Техническая ошибка. Спасибо!
здравствуйте а почему в шестом задание нужно выбрать меньший корень там ответ 6 а не нужно 0
Адель, попробуйте в исходное уравнение поставить «корень» 0. Что получите?
все понял теперь спасибо
Не согласна в задании 3 с определением одз.
Как мне кажется, должно быть x > 8.5 Нужно решить систему двух неравенств, получим искомую одз. Иначе одз найдено неверно.
Светлана, задача решалась не через ОДЗ, а через равносильные переходы.
В решении я проговариваю следующее: А второе неравенство 2x-17>0 для системы является лишним, ведь раз x+9=2x-17 и мы указали, что x+9>0, то автоматически 2x-17>0.
С этим не поспоришь.
Вообще, стараюсь при любой возможности уходить от ОДЗ. Я за равносильные переходы! В них чаще всего приходится решать меньше уравнений/неравенств нежели при решении через ОДЗ…
В самом определении, если я не путают, некоторая ошибка:”..это показатель степени, в которую нужно возвести а, чтобы получить b”, а тут наоборот
Анастасия, больше спасибо за замечанию опечатку!