05. Простейшие показательные уравнения

$2^{3-4x}=128;$

$2^{3-4x}=2^7.$

Равны основания, значит, чтобы выполнялось равенство, необходимо, чтобы

$3-4x=7;$

 $x=-1;$

Ответ: $-1.$ 

Что скрыто от нас в левой части уравнения?

$\frac{1}{0.125}=\frac{1}{\frac{125}{1000}}=\frac{1000}{125}=8.$

Поэтому перепишем уравнение следующим образом:

$8^x=8^1;$

Тогда

$x=1.$

Ответ: $1.$ 

$6^{x-8}=(6^2)^{x-18};$

$6^{x-8}=6^{2(x-18)};$

$x-8=2x-36;$

$x=28.$

Ответ: $28.$ 

Согласно свойству целой степени $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, поэтому имеем:

$7^{-1}=7^{x-17};$

$-1=x-17;$

$x=16;$

Ответ: $16.$ 

Поскольку основания  разные, а сами степени при этом равны, то это возможно только в случае, когда показатели степеней нулевые.

$11-x=0;$

$x=11.$

Ответ: $11.$ 

 $9^{5+2x}=\frac{81}{100}\cdot 10^{5+2x}$

$9^{5+2x}=(\frac{9}{10})^2\cdot 10^{5+2x}$

$9^{5+2x}=9^2\cdot 10^{5+2x}:10^2$

Применяем к $10^{5+2x}:10^2$ свойство степени №2,

получаем следующее уравнение:

$9^{5+2x}=9^2\cdot 10^{3+2x}$.

И разделим обе части равенства на $9^2$, применяя все то же свойство степени:

 $9^{3+2x}=10^{3+2x};$

Откуда

$3+2x=0;$

$x=-1,5.$

Ответ: $-1,5.$ 

$5^x\cdot 2^{-x}=0,4;$

$(\frac{5}{2})^x=\frac{4}{10};$

$(\frac{5}{2})^x=\frac{2}{5};$

$(\frac{5}{2})^x=(\frac{5}{2})^{-1};$

$x=-1.$

Ответ: $-1.$ 

$(5^{x^2+x-2})^{3-x}=5^0;$

$(x^2+x-2)(3-x)=0.$

Откуда

$x^2+x-2=0$ или $3-x=0$.

$x=-2$ или $x=1$ или $x=3$.

Наименьший из корней  –  это $-2.$

Ответ: $-2.$