05. Простейшие рациональные уравнения

Распространенная ошибка – «сокращение»  обеих частей равенства на $\frac{3}{8}$. Ни в коем случае так делать нельзя! Ведь в записи $3\frac{3}{8}$ тройка не умножается  на $\frac{3}{8}$, а $3$ и $\frac{3}{8}$ складываются. Сокращенная запись $3\frac{3}{8}$ означает $3+\frac{3}{8}$.

Поэтому решаем уравнение $\frac{3}{8}x=-3\frac{3}{8}$ так  – сначала переводим дробь $3\frac{3}{8}$ в неправильную:

$\frac{3}{8}x=-\frac{27}{8};$

Далее можно обе части домножить на $8$:

$3x=-27;$

$x=-9.$

Ответ: $-9.$ 

$x^2-4=x^2-8x+16.$

$8x=20;$

$x=2,5.$

Ответ: $2,5.$ 

Согласно формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$  имеем:

$(5x-8)^2-(x-4)^2=0;$

$(5x-8-(x-4))(5x-8+x-4)=0;$

$(4x-4)(6x-12)=0;$

$x=1$ или $x=2;$

Больший из корней – это $2.$

Ответ: $2.$ 

Переходим к уравнению:

$\frac{7}{12}x^2=\frac{21}{4}$

Далее обе части разделим на $7$ и домножим на $12$, то есть домножаем обе части на $\frac{12}{7}$:

$x^2=9.$

$x=\pm 3.$

Меньший из корней  –  это $-3.$

Ответ: $-3.$ 

В подобных заданиях совершенно не обязательно помнить формулу  куб суммы (разности). Более того, может встретиться и такое уравнение: $(x-2)^5=32$… Вы знаете как возводить разность $x-2$ в пятую степень? Это не требуется. 

Действуем так –  представляем 343 в виде куба:   $343=7^3$.

Тогда

$(x+2)^3=-7^3;$

Извлекаем кубический корень из обеих частей уравнения:

$x+2=-7;$

$x=-9.$

Ответ: $-9.$ 

$13x=2x^2-7;$

$2x^2-13x-7=0;$

$x=\frac{13\pm\sqrt{169-4\cdot2\cdot (-7)}}{2\cdot 2};$

$x=\frac{13\pm15}{4};$

$x=7$ или $x=-0,5.$

Меньший из корней – это $-0,5.$

Ответ: $-0,5.$ 

Уравнение равносильно следующей системе (воспользовались свойством пропорции, а также записали ОДЗ для данного уравнения):

$\begin{cases}(x-8)(6x-7)=(x-8)(7x-2),\\6x-7\neq0,\\7x-2\neq0;\end{cases}$

В уравнении системы переносим все в левую сторону и выносим $x-8$ за скобку как общий множитель:

$\begin{cases}(x-8)(6x-7-(7x-2))=0,\\6x-7\neq0,\\7x-2\neq0;\end{cases}$

$\begin{cases}(x-8)(-x-5)=0,\\x\neq \frac{7}{6},\\x\neq \frac{2}{7};\end{cases}$

$x=8$ или $x=-5$.

Больший из корней – это $8.$

Ответ: $8.$