Задача 1. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны $50,$ основание равно $60.$ Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Решение: + показать
Воспользуемся следующей формулой:
$R=\frac{abc}{4S}.$
Площадь будем искать по формуле Герона:
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{80(80-50)^2(80-60)}=1200.$
Тогда
$R=\frac{60\cdot 50\cdot 50}{4\cdot 1200}=31,25.$
Ответ: $31,25.$
Задача 2. Сторона $AC$ треугольника $ABC$ равна $28.$ Противолежащий ей угол $B$ равен $150$˚. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Решение: + показать
Согласно т. Синусов
$\frac{AC}{sinB}=2R;$
$\frac{28}{sin150^{\circ}}=2R;$
$\frac{28}{\frac{1}{2}}=2R;$
$R=28.$
Ответ: $28.$
Задача 3. Угол $C$ треугольника $ABC,$ вписанного в окружность радиуса $47,$ равен $30$˚. Найдите сторону $AB$ этого треугольника.

Решение: + показать

Угол $AOB$ равен $60^{\circ}$ (ведь он соответствующий для вписанного угла $C$, равного 30˚) и при этом $AO=OB$ как радиусы. Следовательно, треугольник $AOB$ – равносторонний.
Тогда $AB=47.$
Ответ: $47.$
Задача 4. В треугольнике $ABC$ $BC=5\sqrt{13}$, угол $C$ равен $90$°. Радиус описанной окружности этого треугольника равен $17,5.$ Найдите $AC.$

Решение: + показать
В прямоугольном треугольнике гипотенуза – диаметр описанной окружности. Значит,
$AB=2R=35.$
По теореме Пифагора
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{35^2-(5\sqrt{13})^2}=30.$
Ответ: $30.$
Задача 5. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90$°, $BC=16,$ $AC=30.$ Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Решение: + показать
В прямоугольном треугольнике гипотенуза – диаметр описанной окружности. Значит,
$R=\frac{AB}{2}.$
По теореме Пифагора
$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{16^2+30^2}=34.$
$R=\frac{AB}{2}=\frac{34}{2}=17.$
Ответ: $17.$
Задача 6. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен $17\sqrt{3}.$ Найдите сторону этого треугольника.

Решение: + показать
Воспользуемся формулой (т. Синусов):
$\frac{AB}{sinC}=2R.$
$\frac{AB}{sin60^{\circ}}=2\cdot 17\sqrt{3};$
$\frac{AB}{\frac{\sqrt3}{2}}=34\sqrt{3};$
$AB=51.$
Ответ: $51.$
Задача 7. Сторона правильного треугольника равна $7\sqrt3.$ Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Решение: + показать
Воспользуемся формулой (т. Синусов):
$\frac{AB}{sinC}=2R.$
$\frac{7\sqrt3}{sin60^{\circ}}=2R;$
$14=2R;$
$R=7.$
Ответ: $7.$
Задача 8. Высота правильного треугольника равна $63.$ Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Решение: + показать
Высоты правильного треугольника – медианы.
Медианы в точке пересечения (как раз центр описанной окружности) делятся в отношении $2:1,$ считая от вершины.
Итак,
$R=BO=\frac{2}{3}\cdot BH=\frac{2}{3}\cdot 63=42.$
Ответ: $42.$
Задача 9. Точки $A,B,C$ расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные величины которых относятся как $1:6:11.$ Найдите больший угол треугольника $ABC.$ Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать
Так как дуги $AB,\;BC,\;AC$ относятся друг к другу как $1:6:11,$ то пусть дуга $AB=x$ градусов, дуга $BC=6x$ градусов, $AC=11x$ градусов.
Тогда
$x+6x+11x=360;$
$18x=360;$
$x=20.$
Тогда
$\breve{AC}=20^{\circ}\cdot 11=220^{\circ}.$
Наконец, так как вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается, то
$\angle ABC=\frac{220^{\circ}}{2}=110^{\circ}.$
Ответ: $110.$
Задача 10. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна $5,$ угол при вершине, противолежащей основанию, равен $120$°. Найдите диаметр описанной окружности этого треугольника.

Решение: + показать

$\angle ACB=120^{\circ},$ значит на дугу $AB$ (большую) приходится $240^{\circ}.$ Тогда на дугу $ACB$ остается $120^{\circ}.$ Стало быть, центральный угол $AOB,$ опирающийся на дугу $ACB,$ равен $120^{\circ}.$
Равные хорды отсекают равные дуги, поэтому
$\angle AOC=\angle COB=\frac{120^{\circ}}{2}=60^{\circ}.$
Выходит, что треугольник $AOC$ – равнобедренный с углом $60^{\circ}.$ Значит он равносторонний, $AO=AC=5.$
$D=2R=2AO=2AC=10.$
Ответ: $10.$
Задача 11. Одна сторона треугольника равна $\sqrt2,$ радиус описанной окружности равен $1.$ Найдите острый угол треугольника, противолежащий этой стороне. Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать
По теореме Синусов
$\frac{a}{sin \alpha}=2R;$
$\frac{\sqrt2}{sin \alpha}=2\cdot 1;$
$sin\alpha=\frac{\sqrt2}{2};$
$\alpha=45^{\circ}$ ($\alpha$ – острый по условию).
Ответ: $45.$
Задача 12. Угол $A$ четырехугольника $ABCD,$ вписанного в окружность, равен $26$˚. Найдите угол $C$ этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать
Вписанный в окружность угол $A$ опирается на дугу $BCD$, значит дуга $BCD=52^{\circ}$ по свойству вписанного угла.
Дуга $BAD$, дополняющая дугу $BCD$ до окружности, равна $360^{\circ}-52^{\circ},$ то есть $308^{\circ}.$
Тогда
$\angle C=\frac{308^{\circ}}{2}=154^{\circ}.$
Ответ: $154.$
Задача 13. Стороны четырехугольника $ABCD$ $AB,BC,CD$ и $AD$ стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно $78$˚, $107$˚, $39$˚, $136$˚. Найдите угол $C$ этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать
Вписанный угол $C$ опирается на дугу $BAD:$
$\breve{BAD}=78^{\circ}+136^{\circ}=214^{\circ}.$
Значит,
$\angle C=\frac{214^{\circ}}{2}=107^{\circ}.$
Ответ: $107.$
Задача 14. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны $56$˚ и $99^{\circ}.$ Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Решение: + показать
Данные два угла не могут быть противоположными, так как иначе их сумма должна была бы быть $180$˚ (так как они опираются на дополняющие друг друга дуги до окружности).
Если $\angle A=99^{\circ}$, то $\angle C=180^{\circ}-99^{\circ}=81^{\circ}.$
Если $\angle B=56^{\circ}$, то $\angle D=180^{\circ}-56^{\circ}=124^{\circ}.$
Угол $D$ и есть наибольший.
Ответ: $124.$
Задача 15. Точки $A,B,C,D,$ расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги $AB,BC,CD$ и $AD,$ градусные величины которых относятся соответственно как $1:2:7:26.$ Найдите угол $A$ четырехугольника $ABCD.$ Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать

Так как градусные меры дуг $AB,BC,CD$ и $AD$ относятся соответственно как $1:2:7:26,$ то пусть
$\breve{AB}=x,\breve{BC}=2x,\breve{CD}=7x,\breve{AD}=26x$ градусов.
Дуги $AB,\;BC,\;CD,\;AD$ в сумме составляют $360^{\circ}:$
$x+2x+7x+26x=360;$
$36x=360;$
$x=10.$
Угол $A$ опирается на дугу $BD=9x,$ значит
$\angle A=\frac{90^{\circ}}{2}=45^{\circ}.$
Ответ: $45.$
Задача 16. Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $38˚^{\circ},$ угол $CAD$ равен $33$˚ . Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать
$\angle ABC=38^{\circ}$, значит дуга $ADC$ равна $76^{\circ}$.
$\angle CAD=33^{\circ}$, значит дуга $DC$ равна $66^{\circ}$.
Тогда
$\breve{AD}=\breve{ADC}-\breve{DC}=76^{\circ}-66^{\circ}=10^{\circ}.$
Стало быть,
$\angle ABD=5^{\circ}.$
Ответ: $5.$
Задача 17. Периметр правильного шестиугольника равен $108.$ Найдите диаметр описанной окружности.

Решение: + показать
$AB=BC=…=EF=\frac{P}{6}=\frac{108}{6}=18.$
Рассмотрим треугольник $AOF$. Он равносторонний, т.к. $AO=OF=R$ и $\angle AOF=\frac{360^{\circ}}{6}=60^{\circ}.$
Значит,
$D=2R=2\cdot 18=36.$
Ответ: $36.$
Задача 18. Угол между стороной правильного n-угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен $72$˚. Найдите $n.$

Решение: + показать
Рассмотрим треугольник $AOB$.
Он равнобедренный, так как $AO=BO=R.$
Значит,
$\angle A=\angle B,$
$\angle AOB=180^{\circ}-2\cdot 72^{\circ}=36^{\circ}.$
Таких равных равнобедренных треугольников у нас $n$ штук, в сумме углы при вершине $O$ этих треугольников дают $360$.˚
Тогда
$36^{\circ}\cdot n=360^{\circ};$
$n=10.$
Ответ: $10.$
Задача 19. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника, две стороны которого равны 13 и $\sqrt{155}$.
Решение: + показать
Задача 20. Найдите сторону квадрата, вписанного в окружность радиуса $45\sqrt2$.

Решение: + показать

Диагональ $BD$ квадрата – диаметр окружности.
Обозначим сторону квадрата за $x$.
Из треугольника $ABD$ по т. Пифагора
$x^2+x^2=(90\sqrt2)^2;$
$2x^2=90^2\cdot 2;$
$x^2=90^2;$
$x=90.$
Ответ: $90.$
Задача 21. Меньшая сторона прямоугольника равна $16.$ Угол между диагоналями равен $60$˚. Найдите радиус описанной окружности этого прямоугольника.

Решение: + показать

Диагонали прямоугольника – диаметры окружности.
Треугольник $ABO$ – равносторонний, так как $\angle O=60^{\circ},\;AO=BO=R.$
Значит, $R=16$.
Ответ: $16.$
Задача 22. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен $60,$ средняя линия равна $25.$ Найдите боковую сторону трапеции.

Решение: + показать
Раз трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная ($AB=CD$).
Средняя линия трапеции $l$ есть полусумма оснований $\frac{BC+AD}{2}$, при этом $l=25$.
$P=2AB+(BC+AD);$
$60=2AB+50;$
$AB=5.$
Ответ: 5.
Задача 23. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен $60$˚, большее основание равно $82.$ Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

Решение: + показать
Трапеция, вписанная в окружность, – равнобедренная.

$HQ=BC=AB=CD$, $AH=QD$ (где $H,\;D$ – основания высот, опущенных к большему основанию).
Из прямоугольного треугольника $ABH$ с углом $B$ в 30˚ $AH=\frac{1}{2}AB$ по свойству катета против угла в 30˚.
Значит,
$AD=2AH+HQ=AB+HQ=2AB;$
$2AB=82;$
$AB=41.$
Окружность описана и вокруг треугольника $ABC$.
Треугольник равнобедренный с углом при вершине в 120˚.
Значит,
$\angle BAC=\angle BCA=30^{\circ}.$
Применяем теорему синусов:
$\frac{AB}{sin30^{\circ}}=2R$,
где $R$ – радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$ (и около трапеции $ABCD$).
$\frac{41}{\frac{1}{2}}=2R;$
$R=41.$
Ответ: $41.$
Задача 24. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции.

Решение: + показать
Длина высоты трапеции $HQ$ есть сумма длин высот $OQ,\;OH$ треугольников $OBC$ и $OAD$.
По т. Пифагора из треугольника $OQC:$
$OQ=\sqrt{5^2-3^2}=4.$
По т. Пифагора из треугольника $OHD:$
$OH=\sqrt{5^2-4^2}=3.$
Тогда
$HQ=4+3=7.$
Ответ: $7.$
Задача 25. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника $ABCD$, если стороны квадратных клеток равны $1.$

Решение: + показать
Диаметр описанной окружности около прямоугольника – диагональ прямоугольника.
$R=\frac{BD}{2}=2,5.$
Ответ: $2,5.$
Задача 26. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника $ABC$, если стороны квадратных клеток равны 1.

Решение: + показать
Задача 27. Около окружности, радиус которой равен $3\sqrt2$, описан квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата. 
Решение: + показать
Сторона квадрата вдвое больше радиуса вписанной в него окружности. Поэтому сторона квадрата равна $6\sqrt2$. Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен половине его диагонали. Поэтому радиус описанной окружности есть $\sqrt{(3\sqrt2)^2+(3\sqrt2)^2}=6.$
Ответ: $6.$
Задача 28. Около окружности, радиус которой равен $\frac{3\sqrt3}{2}$, описан правильный шестиугольник. Найдите радиус окружности, описанной около этого шестиугольника.

Решение: + показать
Треугольники $AOB,\;BOC$ и т.д. – равные, равносторонние. Их сторона равна радиусу описанной около правильного шестиугольника окружности.
Из прямоугольного треугольника $AOP$, (где $OP=R$, $R$ – радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник):
$sinA=\frac{OP}{AO};$
$\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\frac{3\sqrt3}{2}}{AO};$
$AO=3.$
Ответ: $3.$

Вы может пройти тест «Описанная окружность»
Помогите. Читаю задачу , делаю чертеж и вижу ответ . А записать не знаю как.
Углы треугольника равны 40,55 и 85 . Какая сторона расположена дальше от центра описанной окружности? Знаю , что та, которая напротив угла в 30 . А как это правильно записать? 8 класс.
Проведите радиусы к вершинам треугольника. Получаем три равнобедренных треугольника. Боковые стороны у них у всех равны. Посмотрите на высоты этих треугольников. Они и есть те самые расстояния. Тем больше высота, чем “острее” угол при вершине…