01. Описанная окружность

Воспользуемся следующей формулой:

$R=\frac{abc}{4S}.$

Площадь будем искать по формуле Герона:

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{80(80-50)^2(80-60)}=1200.$

Тогда

$R=\frac{60\cdot 50\cdot 50}{4\cdot 1200}=31,25.$

Ответ: $31,25.$

Согласно т. Синусов

$\frac{AC}{sinB}=2R;$

$\frac{28}{sin150^{\circ}}=2R;$

$\frac{28}{\frac{1}{2}}=2R;$

$R=28.$

Ответ: $28.$

Угол $AOB$ равен $60^{\circ}$ (ведь он соответствующий для вписанного угла $C$, равного 30˚) и при этом $AO=OB$ как радиусы. Следовательно, треугольник $AOB$ – равносторонний.

Тогда $AB=47.$

Ответ: $47.$

В прямоугольном треугольнике гипотенуза – диаметр описанной окружности. Значит,

$AB=2R=35.$

По теореме Пифагора

$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{35^2-(5\sqrt{13})^2}=30.$

Ответ: $30.$

В прямоугольном треугольнике гипотенуза – диаметр описанной окружности. Значит,

$R=\frac{AB}{2}.$

По теореме Пифагора

$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{16^2+30^2}=34.$

$R=\frac{AB}{2}=\frac{34}{2}=17.$

Ответ: $17.$

Воспользуемся формулой (т. Синусов):

 $\frac{AB}{sinC}=2R.$

$\frac{AB}{sin60^{\circ}}=2\cdot 17\sqrt{3};$

$\frac{AB}{\frac{\sqrt3}{2}}=34\sqrt{3};$

$AB=51.$

Ответ: $51.$

Воспользуемся формулой (т. Синусов):

 $\frac{AB}{sinC}=2R.$

$\frac{7\sqrt3}{sin60^{\circ}}=2R;$

$14=2R;$

$R=7.$

Ответ: $7.$

Высоты правильного треугольника –  медианы.

Медианы в точке пересечения (как раз центр описанной окружности) делятся в отношении $2:1,$ считая от вершины.

Итак,

$R=BO=\frac{2}{3}\cdot BH=\frac{2}{3}\cdot 63=42.$

Ответ: $42.$

Так как дуги $AB,\;BC,\;AC$ относятся друг к другу как $1:6:11,$ то пусть дуга $AB=x$ градусов, дуга $BC=6x$ градусов, $AC=11x$ градусов.

Тогда

$x+6x+11x=360;$

$18x=360;$

$x=20.$

Тогда

$\breve{AC}=20^{\circ}\cdot 11=220^{\circ}.$

Наконец, так как вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается, то

$\angle ABC=\frac{220^{\circ}}{2}=110^{\circ}.$

Ответ: $110.$

$\angle ACB=120^{\circ},$ значит на дугу $AB$ (большую) приходится $240^{\circ}.$ Тогда на дугу $ACB$  остается $120^{\circ}.$ Стало быть, центральный угол $AOB,$ опирающийся на дугу $ACB,$ равен $120^{\circ}.$

Равные хорды отсекают равные дуги, поэтому

$\angle AOC=\angle COB=\frac{120^{\circ}}{2}=60^{\circ}.$

Выходит, что треугольник $AOC$ – равнобедренный с углом $60^{\circ}.$  Значит он равносторонний, $AO=AC=5.$

$D=2R=2AO=2AC=10.$

Ответ: $10.$

По теореме Синусов

$\frac{a}{sin \alpha}=2R;$

$\frac{\sqrt2}{sin \alpha}=2\cdot 1;$

$sin\alpha=\frac{\sqrt2}{2};$

$\alpha=45^{\circ}$ ($\alpha$ – острый по условию).

Ответ: $45.$

Вписанный в окружность угол $A$ опирается на дугу $BCD$, значит дуга $BCD=52^{\circ}$ по свойству вписанного угла.

Дуга $BAD$, дополняющая дугу $BCD$ до  окружности, равна $360^{\circ}-52^{\circ},$ то есть $308^{\circ}.$

Тогда

$\angle C=\frac{308^{\circ}}{2}=154^{\circ}.$

Ответ: $154.$

Вписанный угол $C$ опирается на дугу $BAD:$

$\breve{BAD}=78^{\circ}+136^{\circ}=214^{\circ}.$

Значит,

$\angle C=\frac{214^{\circ}}{2}=107^{\circ}.$

Ответ: $107.$

Данные два угла не могут быть противоположными, так как иначе их сумма должна была бы быть $180$˚ (так как они опираются на дополняющие друг друга дуги до окружности).

Если  $\angle A=99^{\circ}$, то $\angle C=180^{\circ}-99^{\circ}=81^{\circ}.$

 Если  $\angle B=56^{\circ}$, то $\angle D=180^{\circ}-56^{\circ}=124^{\circ}.$

Угол $D$ и есть наибольший.

Ответ: $124.$

Так как градусные меры дуг $AB,BC,CD$ и $AD$ относятся соответственно как $1:2:7:26,$ то пусть

$\breve{AB}=x,\breve{BC}=2x,\breve{CD}=7x,\breve{AD}=26x$ градусов.

Дуги $AB,\;BC,\;CD,\;AD$  в сумме составляют $360^{\circ}:$

$x+2x+7x+26x=360;$

$36x=360;$

$x=10.$

Угол $A$ опирается на дугу $BD=9x,$ значит

$\angle A=\frac{90^{\circ}}{2}=45^{\circ}.$

Ответ: $45.$

$\angle ABC=38^{\circ}$, значит дуга $ADC$ равна $76^{\circ}$.

$\angle CAD=33^{\circ}$, значит дуга $DC$ равна $66^{\circ}$.

Тогда

$\breve{AD}=\breve{ADC}-\breve{DC}=76^{\circ}-66^{\circ}=10^{\circ}.$

Стало быть,

$\angle ABD=5^{\circ}.$

Ответ: $5.$

$AB=BC=…=EF=\frac{P}{6}=\frac{108}{6}=18.$

Рассмотрим треугольник $AOF$. Он равносторонний, т.к. $AO=OF=R$ и  $\angle AOF=\frac{360^{\circ}}{6}=60^{\circ}.$

Значит,

$D=2R=2\cdot 18=36.$

Ответ: $36.$

Рассмотрим треугольник $AOB$.

Он  равнобедренный, так как $AO=BO=R.$

Значит,

$\angle A=\angle B,$

$\angle AOB=180^{\circ}-2\cdot 72^{\circ}=36^{\circ}.$

Таких равных равнобедренных треугольников у нас $n$ штук, в сумме углы при вершине $O$ этих треугольников дают $360$.˚

Тогда

$36^{\circ}\cdot n=360^{\circ};$

$n=10.$

Ответ: $10.$

Радиус $R$ описанной окружности около прямоугольника – половина диагонали.

По т. Пифагора:

$AC=\sqrt{(\sqrt{155})^2+13^2}=18;$

$R=9.$

Ответ: $9.$

Диагональ $BD$ квадрата – диаметр окружности.

Обозначим сторону квадрата за  $x$.

Из треугольника $ABD$ по т. Пифагора

$x^2+x^2=(90\sqrt2)^2;$

$2x^2=90^2\cdot 2;$

$x^2=90^2;$

$x=90.$

Ответ: $90.$

Диагонали прямоугольника – диаметры окружности.

Треугольник $ABO$ – равносторонний, так как $\angle O=60^{\circ},\;AO=BO=R.$

Значит,  $R=16$.

Ответ: $16.$

Раз трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная ($AB=CD$).

Средняя линия трапеции $l$ есть полусумма оснований $\frac{BC+AD}{2}$, при этом $l=25$.

$P=2AB+(BC+AD);$

$60=2AB+50;$

$AB=5.$

Ответ: 5. 

Трапеция, вписанная в окружность, – равнобедренная.

$HQ=BC=AB=CD$, $AH=QD$ (где $H,\;D$ – основания высот, опущенных к большему основанию).

Из прямоугольного треугольника $ABH$ с углом $B$ в 30˚ $AH=\frac{1}{2}AB$ по свойству катета против угла в 30˚.

Значит,

$AD=2AH+HQ=AB+HQ=2AB;$

$2AB=82;$

$AB=41.$

Окружность описана и вокруг треугольника $ABC$.

Треугольник равнобедренный с углом при вершине в 120˚.

Значит,

$\angle BAC=\angle BCA=30^{\circ}.$

Применяем теорему синусов:

$\frac{AB}{sin30^{\circ}}=2R$,

где $R$ – радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$ (и около трапеции $ABCD$).

$\frac{41}{\frac{1}{2}}=2R;$

$R=41.$

Ответ: $41.$

Длина высоты трапеции $HQ$ есть сумма длин высот $OQ,\;OH$ треугольников $OBC$ и $OAD$.

По т. Пифагора из треугольника $OQC:$

$OQ=\sqrt{5^2-3^2}=4.$

По т. Пифагора из треугольника $OHD:$

$OH=\sqrt{5^2-4^2}=3.$

Тогда

$HQ=4+3=7.$

Ответ: $7.$

Диаметр описанной окружности около прямоугольника – диагональ прямоугольника.

$R=\frac{BD}{2}=2,5.$

Ответ: $2,5.$

В прямоугольном треугольнике  центр описанной окружности – середина гипотенузы. Радиус описаной окружности равен половине гипотенузы.

$R=\frac{AB}{2}=2,5.$

Ответ: $2,5.$

Сторона квадрата вдвое больше радиуса вписанной в него окружности. Поэтому сторона квадрата равна $6\sqrt2$. Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен половине его диагонали. Поэтому радиус описанной окружности есть $\sqrt{(3\sqrt2)^2+(3\sqrt2)^2}=6.$

Ответ: $6.$

Треугольники $AOB,\;BOC$ и т.д. – равные, равносторонние. Их сторона равна радиусу  описанной около правильного шестиугольника окружности.

Из прямоугольного треугольника $AOP$, (где $OP=R$, $R$ – радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник):

$sinA=\frac{OP}{AO};$

$\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\frac{3\sqrt3}{2}}{AO};$

$AO=3.$

Ответ: $3.$