Задача 1. На рисунке изображён график некоторой функции $y=f(x)$ (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите $F(8)-F(2)$, где $F(x)$ — одна из первообразных функции $f(x)$.
Решение: + показать
Согласно геометрическому смыслу первообразной $F(8)-F(2)$ есть площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $f(x)$ и прямыми $x=2,\;x=8,\;y=0.$
Площадь закрашенной голубым цветом фигуры (прямоугольной трапеции c основаниями 4 и 6 и высотой 3) есть
$\frac{4+6}{2}\cdot 3=15$.
Искомую площадь можно также посчитать и как сумму площадей прямоугольника ($3\cdot4=12$) и прямоугольного треугольника ($\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 3=3$).
Ответ: $15.$
Задача 2. На рисунке изображён график некоторой функции $y=f(x)$. Функция $F(x)=x^3+12x^2+51x-3$ — одна из первообразных функции $f(x)$. Найдите площадь закрашенной фигуры.
Решение: + показать
Согласно геометрическому смыслу первообразной $F(-3)-F(-5)$ есть площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $f(x)$ и прямыми $x=-5,\;x=-3,\;y=0.$
$S=F(-3)-F(-5)=((-3)^3+12\cdot(-3)^2+51\cdot (-3)-3)-$
$-((-5)^3+12\cdot(-5)^2+51\cdot(-5)-3)=$
$=(-27+108-153-3)-(-125+300-255-3)=-75-(-83)=8;$
Ответ: $8.$
Задача 3. На рисунке изображён график некоторой функции $y=f(x)$. Функция $F(x)=-\frac{4}{9}x^3-\frac{34}{3}x^2-\frac{280}{3}x-\frac{18}{5}$ — одна из первообразных функции $f(x)$. Найдите площадь закрашенной фигуры.
Решение: + показать
Согласно геометрическому смыслу первообразной $F(-7)-F(-10)$ есть площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $f(x)$ и прямыми $x=-10,\;x=-7,\;y=0.$
$S=F(-7)-F(-10)=(-\frac{4}{9}\cdot (-7)^3-\frac{34}{3}\cdot (-7)^2-\frac{280}{3}\cdot (-7)-\frac{18}{5})-$
$-(-\frac{4}{9}\cdot(-10)^3-\frac{34}{3}\cdot (-10)^2-\frac{280}{3}\cdot (-10)-\frac{18}{5})=$
$=(\frac{4}{9}\cdot 343-\frac{34}{3}\cdot 49+\frac{280}{3}\cdot 7-\frac{18}{5})-$
$-(\frac{4}{9}\cdot 1000-\frac{34}{3}\cdot 100+\frac{280}{3}\cdot 10-\frac{18}{5})=$
$=\frac{4\cdot 343-4000+3(-34\cdot 49+280\cdot 7+3400-2800)}{9}=\frac{54}{9}=6;$
Ответ: $6.$
Задача 4. На рисунке изображён график функции $y=F(x)$ – одной из первообразных некоторой функции $f(x)$, определённой на интервале $(-2;4)$. Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения $f(x)=0$ на отрезке $[-1;3]$.
Решение: + показать
Согласно определению первообразной на $(-2;4)$ выполняется
$F'(x)=f(x).$
Значит, решения уравнения $f(x)=0$ – есть решения уравнения $F'(x)=0.$
А производная равна нулю в точках экстремума. Таких точек на заданном отрезке $[-1;3]$ – 8.
Ответ: $8.$
Загляните –> + показать
Препод по матану встречает своего студента через лет десять после окончания ВУЗа.
– А скажите, молодой человек, Вам когда-нибудь пригодились знания, полученные на моих лекциях?
– А Вы знаете, профессор, ведь было такое.
– Ах, как интересно! Расскажите!
– У меня один раз шляпу ветром сорвало и в лужу бросило. Так я проволочку подобрал, свернул ее интегралом и шляпу-то из лужи вытянул!
Вы можете пройти тест «Первообразная»
Главная
Справочник
Видеоуроки
ЕГЭ
МГУ
Тесты
Карта сайта
Контакты
спасибо!
:)
нереально просто)) показал ваш сайт своей учительнице, она была в восторге))
Спасибо! Удачи на ЕГЭ!
Елена Юрьевна,если возможно-не могу найти интеграл синус вчетвертой деленный на косинус квадрат.Заранее спасибо.
[latexpage]$\int {\frac{sin^4x}{cos^2x}dx}=\int {sin^2x\cdot tg^2x}dx=\int{sin^2x(\frac{1}{cos^2x}-1)dx}=$
$=\int {(tg^2x-sin^2x)dx}=\int {(\frac{1}{cos^2x}-1)}dx-\int {sin^2xdx}=$
$=tgx-x-\int {\frac{1-cos2x}{2}dx}=tgx-x+\frac{1}{2}\int {cos2x}dx-\frac{x}{2}=$
$=-\frac{3x}{2}+tgx+\frac{1}{2}\int {cosu\frac{du}{2}}=$
$=-\frac{3x}{2}+tgx+\frac{sin2x}{4}+const.$
Елена Юрьевна,всегда Вам спасибо за отзывчивость и доброту.