Cледующая таблица будет весьма полезна при работе с данной темой.
Пожалуйста, будьте предельно внимательны в следующем. Смотрите, график ЧЕГО вам дан! Функции
или ее производной
Если дан график производной, то интересовать нас будут только знаки функции и нули. Никакие «холмики» и «впадины», как в случае
не интересуют нас в принципе!
Задача 1. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале
. Определите количество целых точек, в которых производная функции
отрицательна.
Решение: + показать
Задача 2. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале
. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой
или совпадает с ней.
Решение:+ показать
Задача 3. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале
. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции
параллельна прямой
или совпадает с ней.
Решение: + показать
Задача 4. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале
. Найдите количество точек, в которых производная функции
равна 0.
Решение: + показать
Задача 5. На рисунке изображён график функции и одиннадцать точек на оси абсцисс:
. В скольких из этих точек производная функции
отрицательна?
Решение: + показать
Задача 6. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале
. Найдите сумму точек экстремума функции
.
Решение: + показать
Задача 7. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале
. Найдите промежутки возрастания функции
. В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Решение: + показать
Задача 8. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале
. Найдите промежутки возрастания функции
. В ответе укажите длину наибольшего из них.
Решение: + показать
Задача 9. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале
. В какой точке отрезка
принимает наибольшее значение.
Решение: + показать
Задача 10. На рисунке изображен график — производной функции
, определенной на интервале
. Найдите количество точек максимума функции
, принадлежащих отрезку
.
Решение: + показать
Задача 11. На рисунке изображен график функции и отмечены точки -3, 1, 6, 8. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
Решение: + показать
Задача 12. Функция определена на промежутке
На рисунке изображен график её производной. Найдите точку
в которой функция
принимает наименьшее значение, если
Решение: + показать
Задача 13. Функция определена и непрерывна на полуинтервале
На рисунке изображен график её производной. Найдите промежутки убывания функции
В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Решение: + показать
Вы можете пройти тест «Применение производной к исследованию функции»
Подскажите пожалуйста, с чего начать подготовку к заданию В9? я в этой теме полный Ноль, а хотелось бы разобраться досконально во всех нюансах…
Сначала вам сюда, затем сюда. И начните с частей 1, 2.
Спасибо :)
Спасибо большущее! Очень досконально, но интересно!))
Скажите пожалуйста, в точке 1 угол наклона касательной “более” тупой, нежели в точке 8. Соответственно отрицательное значение там меньше. Неужели я неправильно рассуждаю?
«в точке 1 угол наклона касательной «более» тупой, нежели в точке 8»
Именно поэтому значение тангенса, соответствующее точке 1, будет больше! Посмотрите поведение функции тангенс на
, например, здесь.
АААА. Все ясно tg(-a)=-tg(a). Огромное Вам спасибо! На графике все наглядно-понятно:). Но такое увидеть надо же! Буду стараться. Спасибо Вам.
Тригонометрический круг вам в руки!
Спасибо!!!
Добрый вечер! У меня вопрос, тоже по производной, но касаемый а спекта выпуклости/вогнутости функции. Почему в функции y=x^4/(X^3+1) критическая точка второго рода о входит в интервал вогнутости функции, это же критическая точка и в ней вторая производная равна 0, а нам нужно согласно теоремы брать только интервалы где вторая производная больше нуля. Заранее спасибо за ответ
Галина, я так понимаю, следует различать строгую и нестрогую выпуклость/вогнутость…
Елена Юрьевна, спасибо за ответ, по ошибке не ту функцию ввела. Собственно вопрос у меня в следующем, я преподаватель и меня интересует, как математически грамотно моим студентам первокурсникам объяснить выпуклость вогнутость для функции у=x^4, ведь здесь критическая точка второго рода 0, на основании чего им обьяснить что функция на всей области определения будет выпукла вниз, 0 камень преткновения. Спасибо.
В задаче 2 ответ не 3? Угловой коэффициент равен 0, значит у=0 пересекает функцию в трех точках.
Даша, если бы на рисунке был изображен график функции f'(x) (а не f(x)), то ваши рассуждения были бы верны.
Сравните задачи 2 и 3.
К заданию 7 – Почему не входит точка x=2? Ведь -“Если функция непрерывна на промежутке [a;b] и возрастает (убывает) на промежутке (a;b), то она возрастает (убывает) и на промежутке [a;b]”
Светлана, точно. Спасибо!
Добрый день! В №7 х=2 – разве не точка экстремума, почему у вас она относится к интервалу возрастания функции? И непонятно, почему 2+3+4+5=12, когда эта сумма =14. При этом ответ – 14.
Да, в точке 2 функция возрастает. Согласно определению.
К задаче 11: сравниваем отрицательные значения, поэтому ответ – в точке 1
Маргарита, сами себе противоречите. Ошибки нет.
А в первой задачке 3 точка разве не нулю равна?
Точнее…не она сама, а производная
В точке 3 не производная равна нулю, а функция. Посмотрите внимательно – на рисунке дан график не производной, а функции.
Добрый день. 7 номер. Почему точка 2 входит? разве она не экстрериум?разве в точке экстрериума функция имеет определенный знак? Поясните этот момент, пожалуйста
Функция возрастает на промежутках, где ее производная неотрицательна!
Здравствуйте, если задание звучало, так:где функция убывает, мы тоже точку 2 учли?