Cледующая таблица будет весьма полезна при работе с данной темой.
Пожалуйста, будьте предельно внимательны в следующем. Смотрите, график ЧЕГО вам дан! Функции $f(x)$ или ее производной $f'(x)!$
Если дан график производной, то интересовать нас будут только знаки функции $f'(x)$ и нули. Никакие «холмики» и «впадины», как в случае $f(x)$ не интересуют нас в принципе!
Задача 1. На рисунке изображен график функции $y=f(x)$, определенной на интервале $(-4;10)$. Определите количество целых точек, в которых производная функции $f(x)$ отрицательна.
Решение: + показать
Задача 2. На рисунке изображен график функции $y=f(x)$, определенной на интервале $(-5;5)$. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой $y=6$ или совпадает с ней.
Решение:+ показать
Раз касательная к графику функции $f(x)$ параллельна (или совпадает) прямой $y=6$ (или, что тоже самое, $y=k\cdot x+6,\;k=0$ ), имеющей угловой коэффициент $k$, равный нулю, то и касательная имеет угловой коэффициент $k=0$.
Это в свою очередь означает, что касательная параллельна оси $(ox)$, так как угловой коэффициент $k$ есть тангенс угла наклона касательной к оси $(ox)$.
Поэтому мы находим на графике точки экстремума (точки максимума и минимума), – именно в них касательные к графику функции $f(x)$ будут параллельны оси $(ox)$.
Таких точек – $4.$
Ответ: $4.$
Задача 3. На рисунке изображен график производной функции $f(x)$, определенной на интервале $(-6;6)$. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции $f(x)$ параллельна прямой $y=-3x-11$ или совпадает с ней.
Решение: + показать
Раз касательная к графику функции $f(x)$ параллельна (или совпадает) прямой $y=-3x-11$, имеющей угловой коэффициент $k=-3$, то и касательная имеет угловой коэффициент $k=-3$.
Это в свою очередь означает, что $f'(x)=-3$ в точках касания.
Поэтому смотрим, сколько точек на графике $y=f'(x)$имеют ординату $y$, равную $-3$.
Как видим, таких точек – четыре.
Ответ: $4.$
Задача 4. На рисунке изображен график функции $y=f(x)$, определенной на интервале $(-4;9)$. Найдите количество точек, в которых производная функции $f(x)$ равна 0.
Решение: + показать
Производная равна нулю в точках экстремума. У нас их $4$:
Ответ: $4.$
Задача 5. На рисунке изображён график функции $f(x)$ и одиннадцать точек на оси абсцисс:$x_1,\;x_2,\;x_3,\;…x_{11}$. В скольких из этих точек производная функции $f(x)$ отрицательна?
Решение: + показать
На промежутках убывания функции $f(x)$ её производная принимает отрицательные значения. А убывает функция в точках$x_1,\;x_2,\;x_4,\;x_{10}$. Таких точек 4.
Ответ: $4.$
Задача 6. На рисунке изображен график функции $y=f(x)$, определенной на интервале $(-6;5)$. Найдите сумму точек экстремума функции $f(x)$.
Решение: + показать
Точки экстремума – это точки максимума ($-3, -1, 1$) и точки минимума ($-2, 0, 3$).
Сумма точек экстремума: $-3-1+1-2+0+3=-2.$
Ответ: $-2.$
Задача 7. На рисунке изображен график производной функции $f(x)$, определенной на интервале $(-6;6)$. Найдите промежутки возрастания функции $f(x)$. В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Решение: + показать
На рисунке выделены промежутки, на которых производная функции неотрицательная.
На малом промежутке возрастания целых точек нет, на промежутке возрастания $[2;6)$ четыре целых значения $x$: $2$, $3$, $4$ и $5$.
Их сумма: $2+3+4+5=14.$
Ответ: $14.$
Задача 8. На рисунке изображен график производной функции $f(x)$, определенной на интервале $(-11; 3)$. Найдите промежутки возрастания функции $f(x)$. В ответе укажите длину наибольшего из них.
Решение: + показать
На рисунке выделены цветом все промежутки, на которых производная положительна, а значит сама функция возрастает на этих промежутках.
Длина наибольшего из них – $6.$
Ответ: $6.$
Задача 9. На рисунке изображен график производной функции $f(x)$ , определенной на интервале $(-6;6)$. В какой точке отрезка $[-5;-1]$ $f(x)$ принимает наибольшее значение.
Решение: + показать
Смотрим как ведет себя график $f'(x)$ на отрезке $[-5;-1]$, а именно нас интересует только знак производной.
Знак производной на $[-5;-1]$ – минус, так как график на этом отрезке ниже оси $(ox)$.
Это означает убывание функции на отрезке $[-5;-1]$.
А значит, наибольшее значение функция принимает в начале отрезка, то есть в точке $-5$.
Ответ: $-5.$
Задача 10. На рисунке изображен график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определенной на интервале $(-10;14)$. Найдите количество точек максимума функции $f(x)$, принадлежащих отрезку $[-8;13]$.
Решение: + показать
На рисунке изображен график производной, значит нас на этом рисунке будут интересовать только знаки и нули производной.
Мы видим на рисунке на указанном отрезке ($[-8;13]$) три нуля у $f'(x)$. Причем, производная мняет знак при переходе через них. Это точки экстремума функции (точки максимума и минимума).
При этом производная меняет знак с «+» на «-» в точке $8$, помеченной красным цветом, и с «-» на «+» в двух точках ($3$ и $12$), помеченных синим цветом.
Так вот при переходе через точку максимума функция меняет возрастание на убывание, а значит производная меняет знак с «+» на «-».
Итак, точка максимума одна (помечена красным цветом).
Ответ: $1.$
Задача 11. На рисунке изображен график функции $y=f(x)$ и отмечены точки -3, 1, 6, 8. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
Решение: + показать
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. В свою очередь, угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси $(ox)$.
В точке $-3$ (точка минимума) производная равна нулю.
В точке $6$ производная положительна, так как точки лежат на промежутке возрастания функции.
А вот в точках $1$ и $8$ производная отрицательна.
При этом в точке $8$ угол наклона касательной явно меньше, чем в точке $1.$
Поэтому в точке $8$ тангенс угла наклона будет наименьшим, а значит и значение производной, будет наименьшее.
Ответ: $8.$
Задача 12. Функция $y=f(x)$ определена на промежутке $(- 4; 5).$ На рисунке изображен график её производной. Найдите точку $x_0,$ в которой функция $y=f(x)$ принимает наименьшее значение, если $f(-1)<f(3).$
Решение: + показать
Согласно рисунку из условия, поведение функции $y=f(x)$ могло бы быть таким (два варианта):
Но только второй вариант (красный цвет) отвечает условию $f(-1)<f(3).$ Тогда наименьшее значение функции на промежутке $(−4; 5)$ достигается в точке $-2.$
Ответ: $-2.$
Задача 13. Функция $f(x)$ определена и непрерывна на полуинтервале $[-4;5)$ На рисунке изображен график её производной. Найдите промежутки убывания функции $f(x).$ В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Решение: + показать
Промежуток убывания данной функции $f(x)$ – есть $(-4;-1).$
В силу непрерывности функция $f(x)$ убывает на отрезке $[-4;-1]$ (если концы промежутка являются точками непрерывности функции (один или оба), то их можно присоеденить к указанному промежутку убывания).
Данный промежуток содержит целые точки $-4,-3,-2$ и $-1$. Cумма указанных точек равна $-10.$
Ответ: $-10.$
Вы можете пройти тест «Применение производной к исследованию функции»
Главная
Справочник
Видеоуроки
ЕГЭ
МГУ
Тесты
Карта сайта
Контакты
Пожалуйста, будьте предельно внимательны в следующем. Смотрите, график ЧЕГО вам дан! Функции $f(x)$ или ее производной $f'(x)!$
Подскажите пожалуйста, с чего начать подготовку к заданию В9? я в этой теме полный Ноль, а хотелось бы разобраться досконально во всех нюансах…
Сначала вам сюда, затем сюда. И начните с частей 1, 2.
Спасибо :)
Спасибо большущее! Очень досконально, но интересно!))
Скажите пожалуйста, в точке 1 угол наклона касательной “более” тупой, нежели в точке 8. Соответственно отрицательное значение там меньше. Неужели я неправильно рассуждаю?
«в точке 1 угол наклона касательной «более» тупой, нежели в точке 8»
Именно поэтому значение тангенса, соответствующее точке 1, будет больше! Посмотрите поведение функции тангенс на [latexpage]$(\frac{\pi}{2};\pi)$, например, здесь.
АААА. Все ясно tg(-a)=-tg(a). Огромное Вам спасибо! На графике все наглядно-понятно:). Но такое увидеть надо же! Буду стараться. Спасибо Вам.
Тригонометрический круг вам в руки!
Спасибо!!!
Добрый вечер! У меня вопрос, тоже по производной, но касаемый а спекта выпуклости/вогнутости функции. Почему в функции y=x^4/(X^3+1) критическая точка второго рода о входит в интервал вогнутости функции, это же критическая точка и в ней вторая производная равна 0, а нам нужно согласно теоремы брать только интервалы где вторая производная больше нуля. Заранее спасибо за ответ
Галина, я так понимаю, следует различать строгую и нестрогую выпуклость/вогнутость…
Елена Юрьевна, спасибо за ответ, по ошибке не ту функцию ввела. Собственно вопрос у меня в следующем, я преподаватель и меня интересует, как математически грамотно моим студентам первокурсникам объяснить выпуклость вогнутость для функции у=x^4, ведь здесь критическая точка второго рода 0, на основании чего им обьяснить что функция на всей области определения будет выпукла вниз, 0 камень преткновения. Спасибо.
В задаче 2 ответ не 3? Угловой коэффициент равен 0, значит у=0 пересекает функцию в трех точках.
Даша, если бы на рисунке был изображен график функции f'(x) (а не f(x)), то ваши рассуждения были бы верны.
Сравните задачи 2 и 3.
К заданию 7 – Почему не входит точка x=2? Ведь -“Если функция непрерывна на промежутке [a;b] и возрастает (убывает) на промежутке (a;b), то она возрастает (убывает) и на промежутке [a;b]”
Светлана, точно. Спасибо!
Добрый день! В №7 х=2 – разве не точка экстремума, почему у вас она относится к интервалу возрастания функции? И непонятно, почему 2+3+4+5=12, когда эта сумма =14. При этом ответ – 14.
Да, в точке 2 функция возрастает. Согласно определению.
К задаче 11: сравниваем отрицательные значения, поэтому ответ – в точке 1
Маргарита, сами себе противоречите. Ошибки нет.
А в первой задачке 3 точка разве не нулю равна?
Точнее…не она сама, а производная
В точке 3 не производная равна нулю, а функция. Посмотрите внимательно – на рисунке дан график не производной, а функции.
Добрый день. 7 номер. Почему точка 2 входит? разве она не экстрериум?разве в точке экстрериума функция имеет определенный знак? Поясните этот момент, пожалуйста
Функция возрастает на промежутках, где ее производная неотрицательна!
Здравствуйте, если задание звучало, так:где функция убывает, мы тоже точку 2 учли?