
Здесь смотрите 1 (куб, параллелепипед), 2 (призма II), 3 (пирамида, пирамида II), 4 (составные многогранники, составные многогранники II), 5 (цилиндр+конус), 6 (цилиндр), 7 (конус), 8 (шар).
Продолжаем готовиться к успешной сдаче ЕГЭ по математике. Сегодня решаем задачи, связанные с призмой.
Задача 1.
Найдите квадрат расстояния между вершинами
и
прямоугольного параллелепипеда, для которого
,
,
.

Решение: + показать

Так как нам дан прямоугольный параллелепипед, то боковые ребра перпендикулярны основаниям + в основании – прямоугольник (то есть каждая грань – прямоугольник).
Из серого треугольника
по т. Пифагора: 

Из оранжевого треугольника
по т. Пифагора:


Ответ: 114.
Задача 2.
Найдите угол
прямоугольного параллелепипеда, для которого
. Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать
По т. Пифагора из треугольника
:

Значит серый прямоугольный треугольник
– равнобедренный.
Поэтому 
Дополнение:
Надеюсь, вам ясно почему треугольник
прямоугольный?
Если нет, то смотрите.[spoiler]
Нам дан прямоугольный параллелепипед, значит каждая грань – прямоугольник. То есть
.
Откуда следует, что ребро
перпендикулярно грани
по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
Тогда
перпендикулярно любой прямой плоскости
, в частности,
по свойству прямой, перпендикулярной плоскости.
Ответ: 45. [/spoiler]
Задача 3.
В правильной шестиугольной призме
все ребра равны
. Найдите расстояние между точками
и
.

Решение: + показать
Напомним, что правильная шестиугольная призма – прямая призма, у которой в основании – правильный шестиугольник.
будем искать из прямоугольного треугольника 
Для этого нам предстоит найти 
(правильный шестиугольник состоит из шести равных друг другу правильных треугольников).
Тогда по т. Пифагора 

Ответ: 70.
Задача 4.
В правильной шестиугольной призме
все ребра равны 5. Найдите угол
. Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать
Треугольник
– прямоугольный с известным катетом
, равным 5.

Найдем второй катет
из равнобедренного треугольника
по теореме косинусов:





Итак, возвращаемся к треугольнику
:

Значит, 
Ответ: 60.
Задача 5.
В кубе
точка
— середина ребра
, точка
— середина ребра
, точка
— середина ребра
Найдите угол
. Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать

Рассмотрим треугольники
. Они прямоугольные, равнобедренные, при этом все катеты равны половине ребра куба.
То есть треугольники равны друг другу.
Значит, равны и гипотенузы этих треугольников как соответствующие элементы равных треугольников.
То есть треугольник
– равносторонний, а значит 
Ответ: 60.
Задача 6.
В прямоугольном параллелепипеде
ребро
, ребро
, ребро
. Точка
— середина ребра
Найдите площадь сечения, проходящего через точки
.

Решение: + показать

Плоскость сечения (
) пересекает параллельные грани куба по параллельным отрезкам.
Поэтому четырехугольник
(требуемое сечение) – параллелограмм. Более того,
, так как
перпендикулярно грани 
А параллелограмм с прямым углом – это прямоугольник.
Из прямоугольного треугольника 


Так как
то 
Ответ: 5.
Задача 7.
В правильной шестиугольной призме
, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми
и
. Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать
Задача 8.
В правильной треугольной призме
, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми
и
. Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать
Напомним, что правильная треугольная призма – прямая призма, у которой в основании – правильный треугольник.
Так как
, то угол между прямыми
и
– есть угол между прямыми
и 
А так как призма – правильная, то, в частности, она прямая, то есть
, что означает, что
– прямоугольный.
При этом
– равнобедренный, так как по условию все ребра призмы равны.
Значит, 
Ответ: 45.
;) –>+ показать
Отдохните и вы!


Вы можете пройти тест «Пирамида. Призма»
Объясните пожалуйста 6-ю задачу… когда я прочитал задачу я сразу подумал что нужно найти площадь треугольника А1D1K, а оказалось что требуется найти прямоугольник А1D1МK…
Сечение – это все точки геометрического тела, которые лежат на секущей плоскости.
– это только часть сечения!
.
Точка М также попадает в плоскость
хорошо, буду знать, спасибо :)
Вот ещё вопрос, я не совсем понял разницу между диагональной плоскостью, диагональным сечением и перпендикулярным сечением…
Там в статье есть рисунок но там не обозначено где какое сечение изображено…
Диагональная плоскость – сделайте акцент на плоскость. Диагональная плоскость (плоскость, проходящая через боковое ребро призмы и диагональ основания) содержит диагональное сечение (многоугольник).
Перпендикулярное же сечения – другая история. Прежде проводится плоскость, перпендикулярная боковому ребру. Тогда эта плоскость пересечет призму по некоторому многоульнику – его и называем перпендикулярным сечением.
То есть, по сути, на практике, между диагонадьной плоскостью и диагональным сечением разницы нет, на процесс решения это не повлияет? )
Город Москва – часть территории России.
Территория Москвы ≠ территории России.
Одно множество вбирает в себя другое…
Так и диагональная плоскость (бесконечна) вбирает в себя диагональное сечение.
Вы не сможете, к примеру, найти площадь диагональной плоскости, но найти площадь сечения (многоугольника) можно… ;)
“Напомним, что правильная треугольная призма – прямая призма, у которой в основании – квадрат.” – неужели действительно квадрат? :D
:D :D :D
в задаче 7 ответ неверный. По определению угол между прямыми лежит в пределах от 0 до 90 градусов, поэтому надо брать не тупой, а смежный с ним острый.Ответ: 60.
Мариана, конечно. Спасибо большое! Спешка…
Здравствуйте!!! не понятно почему в 7 задаче ответ 60, а не 120?
Потому что угол между двумя пересекающимися прямыми – это мера меньшего из четырех углов, образованных этими прямыми.