02. Призма

В основании правильной четырехугольной призмы – квадрат и боковое ребро призмы перпендикулярно основанию.

$S=2S_{osnov}+S_{bok}$

То есть ($H$ – длина бокового ребра призмы):

$930=2\cdot 15^2+4\cdot 15\cdot H,$

$930=450+60H;$

$480=60H;$

$H=8.$

Ответ: $8.$

Ответ: 4750. 

Объем призмы вычисляется по следующей формуле:

$V=S_{osnov}\cdot H$

($H$ – высота, в данном случае и боковое ребро прямой призмы)

При этом  в основании – прямоугольный треугольник, площадь которого находится как полупроизведение катетов:

$S_{osnov}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 6=12.$

Тогда

$V=12\cdot 5=60.$

Ответ: 4750. 

$S=2S_{osnov}+S_{bok},$

где

$S_{osnov}=\frac{6\cdot 8}{2}=24,$

а боковая поверхность состоит из трех прямоугольников $6×10, 8×10$ и $10×10$ (гипотенуза при катетах $6$ и $8$ равна $10$:

$S_{bok}=10(6+8+10)=240.$

Тогда

$S=2\cdot 24+240=288.$

Ответ: $288.$

Заметим, гипотенуза при катетах $5$ и $12$ равна $13.$

$120=2S_{osnov}+S_{bok};$

$120=2\cdot \frac{5\cdot 12}{2}+H(5+12+13);$

$60=30H;$

$H=2.$

Ответ: $2.$

При увеличении всех ребер в два раза получаем призму, подобную данной с коэффициентом подобия $k=2.$

Как известно, площади поверхностей подобных тел находятся в отношении $k^2,$ если $k$ –  коэффициент подобия.

Таким образом, площадь поверхности $S$ новой призмы будет такова:

$S=2^2\cdot 10=4\cdot 10=40.$

Ответ: $40.$

Правильная треугольная призма – прямая призма, у которой в основании – правильный треугольник.

Так как $AA_1\parallel CC_1$, то угол между  прямыми $AA_1$ и $BC_1$ – есть угол между прямыми $CC_1$ и $BC_1.$

А так как призма – правильная, то, в частности, она прямая, то есть $CC_1\perp (ABC)$, что означает, что $\Delta C_1CB$ – прямоугольный.

При этом  $\Delta C_1CB$ – равнобедренный, так как по условию все ребра призмы равны.

Значит, $\angle CC_1B=45^{\circ}.$

Ответ: $45.$

Площадь поверхности призмы:

 $S=2S_{osnov}+S_{bok}.$

Площадь ромба с диагоналями $d_1,\;d_2$:

$S=\frac{d_1d_2}{2},$

поэтому

$S_{osnov}=\frac{25\cdot 60}{2}=750.$

Боковая поверхность данной  прямой призмы – четыре  равных прямоугольника.

  $S_{bok}=4\cdot AD\cdot AA_1$

Нам потребуется длина стороны ромба. Найдем ее по т. Пифагора из треугольника $AOD$ (по свойству ромба диагонали перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам):

$AD=\sqrt{AO^2+OD^2};$

$AD=\sqrt{30^2+(\frac{25}{2})^2}=\sqrt{\frac{900\cdot 4+625}{4}}=\sqrt{\frac{4225}{4}}=\frac{65}{2}.$

Итак,

$S_{bok}=4\cdot \frac{65}{2}\cdot 25=2\cdot 65\cdot 25=3250.$

Наконец,

$S=2S_{osnov}+S_{bok}=2\cdot 750+3250=4750.$

Ответ: $4750.$

Объем $V$ параллелепипеда находим по формуле

$V=S_{osnovanie}\cdot H$,

где $H$ – высота параллелепипеда.

Площадь ромба ($S_{osnovanie}$) с заданной стороной   $a$ и углом $\alpha$ есть $S_{osnovanie}=a^2\cdot sin\alpha.$

Подставляя известные величины, получаем:

$S_{osnovanie}=4^2\cdot sin60^{\circ}=16\cdot \frac{\sqrt3}{2}=8\sqrt3.$

Угол между ребром (например, $AA_1$) и гранью основания ($ABC$) – есть угол между этим ребром  ($AA_1$) и проекцией ребра на плоскость основания ($AH$, где $H$ – проекция точки $A_1$ на $ABC$), то есть $\angle A_1AH=60^{\circ}.$

В прямоугольном треугольнике  $AA_1H$

$sin 60^{\circ}=\frac{A_1H}{AA_1};$

$\frac{\sqrt3}{2}=\frac{H}{5};$

$H=\frac{5\sqrt3}{2}.$

Итак,

$V=8\sqrt3\cdot \frac{5\sqrt3}{2}=60.$

Ответ: $60.$

Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы  складывается из площадей 6-ти равных прямоугольников (одна сторона прямоугольника – сторона основания, вторая – высота призмы).

$S_{bok}=6\cdot 3\cdot 10=180.$

Ответ: $180.$

Основание правильной шестиугольной призмы составлено из шести равных правильных треугольников со стороной $8,$ поэтому

$S_{osnov}=6\cdot \frac{8^2\cdot sin60^{\circ}}{2}=6\cdot \frac{8\sqrt3}{4}=12\sqrt3.$

Тогда

$V=S_{osnov}\cdot \sqrt{0,75}=12\sqrt3\cdot \sqrt{\frac{3}{4}}=12\sqrt3\cdot \frac{\sqrt3}{2}=18.$

Ответ: $18.$

Правильная шестиугольная призма – прямая призма,  у которой в основании – правильный шестиугольник.

$CF_1$ будем искать из прямоугольного треугольника $CF_1F.$

Для этого нам предстоит найти $CF:$

$CF=2AB=28\sqrt5$ (правильный шестиугольник состоит из шести равных друг другу правильных треугольников).

Тогда  по т. Пифагора $CF_1=\sqrt{CF^2+FF_1^2};$

$CF_1=\sqrt{(28\sqrt5)^2+(14\sqrt5)^2}=\sqrt{(14\sqrt5)^2\cdot 5}=70.$

Ответ: $70.$

Треугольник $EE_1C_1$ – прямоугольный с известным катетом $EE_1$, равным $5.$

Найдем второй катет $C_1E_1$ из равнобедренного треугольника $C_1D_1E_1$ по теореме косинусов:

$C_1E_1^2=C_1D_1^2+E_1D_1^2-2C_1D_1\cdot E_1D_1\cdot cos\angle C_1D_1E_1;$

$C_1E_1^2=5^2+5^2-2\cdot 5\cdot 5\cdot cos120^{\circ};$

$C_1E_1^2=50-50\cdot (-\frac{1}{2});$

$C_1E_1^2=75;$

$C_1E_1=5\sqrt3.$

Итак, возвращаемся к треугольнику $EE_1C_1$:

$tgE_1EC_1=\frac{C_1E_1}{EE_1}=\frac{5\sqrt3}{5}=\sqrt3;$

Значит,

$\angle E_1EC_1=60^{\circ}.$

Ответ: $60.$

Угол между искомыми скрещивающимися  прямыми $AB$ и $C_1D_1$ – угол между прямыми $AB$ и $AF$, так как  $AF\parallel C_1D_1.$

А угол между прямыми $AB$ и $AF$ равен $60^{\circ}.$

Ответ: $60.$

$tg AD_1D=\frac{AD}{DD_1}=\frac{2BC}{DD_1}=\frac{2\cdot 19}{19}=2.$

Ответ: $2.$

Объем детали равен объему вытесненной ею жидкости. Объем вытесненной жидкости равен объему прямой призмы с высотой $3$ и основанием, равным основанию исходной призмы. То есть объем вытесненной жидкости составляет $\frac{3}{25}$ объема жидкости.

Итак, объем детали есть

$\frac{3}{25}\cdot 1300=156$ cм$^3.$

Ответ: $156.$

Объем воды, налитой в призму до уровня $18$ см,  есть

$V=18\cdot S_{osnov-1}.$

Переливаем воду в другой сосуд в виде призмы с основанием, каждая сторона которого втрое больше стороны основания первого сосуда. Тогда $S_{osnov-2}=9\cdot S_{osnov-1}$ (так как основания подобны и $k=3,$ а, как известно, площади подобных фигур находятся в отношении $k^2$).

Пусть $H$ – уровень воды во втором сосуде. Объем перелитой воды тот же!!!

$V=9\cdot S_{osnov-1}\cdot H;$

$18\cdot S_{osnov-1}=9\cdot S_{osnov-1}\cdot H;$

Откуда

$H=2.$

Ответ: $2.$

Площадь каждой  боковой грани отсеченной призмы вдвое меньше соответствующей площади боковой грани исходной призмы. Поэтому площадь боковой поверхности отсеченной призмы вдвое меньше площади боковой поверхности исходной.

Стало быть, площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы равна $13.$

Ответ: $13.$

Так как плоскость проведена через среднюю линию основания, то площадь основания отсеченной  призмы меньше площади основания исходной в $4$ раза  (основания (как треугольники)) подобны друг другу с коэффициентом подобия $2,$ значит площади находятся в отношении $2^2=4$).

Высоты призм совпадают.

Поэтому объем исходной призмы в $4$ раза больше объема отсеченной призмы, то есть равен $19,5\cdot 4=78.$

Ответ: $78.$

Объем призмы есть $V=S_{osnov}\cdot H,$ где $H$ – высота призмы, $S_{osnov}$ – площадь основания.

Площадь основания – 6 площадей правильных треугольников со стороной 8: $S_{osnov}=6\cdot (\frac{8^2\sqrt3}{4})=96\sqrt3.$

Высота же есть половина бокового ребра призмы (см. рис.  (высота – катет, противолежащий углу в $30^{\circ}$ в прямоугольном треугольнике):

$H=\frac{4\sqrt3}{2}=2\sqrt3.$

Тогда

$V=S_{osnov}\cdot H=96\sqrt3\cdot 2\sqrt3=576.$

Ответ: $576.$

Площадь боковой поверхности наклонной призмы есть

$S_{bok}=l\cdot P_{\perp},$

где $l$ – длина бокового ребра, $P_{\perp}$ – периметр перпендикулярного сечения призмы (это сечение – прямоугольный треугольник согласно условию).

В нашем случае $l=16$, а $P_{\perp}=9+12+15=36$ ( третью сторону сечения находим по т. Пифагора:  $15=\sqrt{9^2+12^2}=15$).

Тогда

$S_{bok}=16\cdot 36=576.$

Ответ: $576.$

Указанное сечение – прямоугольник $CC_1E_1E.$

$CE=\sqrt{AC^2-AE^2}=\sqrt{(2\sqrt3)^2-(\sqrt3)^2}=3.$

$S_{CEE_1C_1}=CE\cdot CC_1=3\cdot 5=15.$

Ответ: $15.$

Указанное сечение – прямоугольник, одна сторона которого равна высоте призмы, вторая –  половине стороны основания.

$S=2\cdot 3=6.$

Ответ: $6.$

Куб и треугольная призма имеют одинаковую высоту, назовем ее $H.$

Треугольник $CEF$ подобен $CBD$ и $k=2,$ тогда

$S_{CEF}=\frac{1}{4}\cdot S_{CBD}.$

Откуда

$S_{CEF}=\frac{1}{8}\cdot S_{ABCD}.$

Итак,

$V_{CEFC_1E_1F_1}=\frac{1}{8}\cdot S_{ABCD}\cdot H=\frac{1}{8}\cdot V_{ABCDA_1B_1C_1D_1}=\frac{1}{8}\cdot 160=20.$

Ответ: $20.$

Будем искать объем многогранника через разность объемов призмы $ABCA_1B_1C_1$  и пирамиды $A_1B_1C_1B.$

$V_{ABCA_1B_1C_1}=S_{osnov}\cdot H=3\cdot 7=21;$

$V_{A_1B_1C_1B}=\frac{1}{3}\cdot S_{osnov}\cdot H=7.$

Тогда

 $V=21-7=14.$

Ответ: $14.$

$V_{ABA_1C_1}=V_{ABCA_1B_1C_1}-V_{ABCC_1}-V_{A_1B_1C1B}=$

$=S_{ABC}\cdot H-\frac{S_{ABC}\cdot H}{3}-\frac{S_{A_1B_1C_1}\cdot H}{3}=\frac{S_{ABC}\cdot H}{3}=\frac{4\cdot 6}{3}=8.$

Ответ: $8.$

Основание треугольной призмы занимает шестую часть основания шестиугольной призмы, высоты двух призм одинаковые.

$V=\frac{1}{6}\cdot 3\cdot 5=2,5.$

Ответ: $2,5.$

$V=\frac{1}{3}\cdot S_{ABCDEF}\cdot H=\frac{1}{3}\cdot 5\cdot 9=15.$

Ответ: $15.$