С6 (№18). Досрочный ЕГЭ по математике от 31 марта 2017

Смотрите также 1-12; №13; №14; №15; №16; №17; №19 профильного Досрочного ЕГЭ по математике от 31.03.17

18. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система неравенств

$\begin{cases}ax\geq 2,\\\sqrt{x-1}>a,\\3x\leq 2a+11;&\end{cases}$

имеет хотя бы одно решение на отрезке $[3;4].$

Решение: 

Замечая, что $x\geq 1$ из второй строки системы, заменим первую строку системы на  $a\geq \frac{2}{x}.$

Имеем
$\begin{cases}a\geq \frac{2}{x},\\a<\sqrt{x-1},\\a\geq \frac{3x-11}{2};&\end{cases}$

Работаем в системе координат $(xa)$ в зоне $x\geq 1.$

Учитывая все строки системы, определяем область (на рис. желтым цветом), являющуюся графическим решением системы.

При $x=4$   $a=0,5$  как для $a=\frac{2}{x},$  так и для $a=\frac{3x-11}{2}.$

Координаты точки $A$ (см. рис.) таковы: $(4;0,5).$

Координаты точки $B$ (см. рис.), как несложно заметить, таковы: $(4;\sqrt3).$

Пересечение  $a=\sqrt{x-1},$  $a=\frac{2}{x}$   и   $a=\sqrt{x-1},$  $a=\frac{3x-11}{2}$  –  вне “зоны $[3;4]$”.

Становится очевидным, что хотя бы одно решение на отрезке $[3;4]$ исходная системы неравенств будет иметь, если $a\in [0,5;\sqrt3).$

Ответ: $[0,5;\sqrt3).$