Задание из пробного экзамена в МГУ 2013г.

Разберем задание (№4), предлагавшееся абитуриентам, поступающим в МГУ, в 2013 году. Также смотрите остальные задания этого экзамена здесь: №1, №2, №3, №5, №6, №7, №8

Условие: 

Функция $f(x)$ для  всех $x$ удовлетворяет условию $f(x+2)=f(x)+3x+2.$

Найдите $f(2013)$, если  $f(1)=1.$

Решение:

Распишем $f(2013)$ согласно правилу для $f(x)$:

$f(2013)=f(2011)+3\cdot 2011+2.$

Теперь распишем $f(2011)$ аналогичным образом:

$f(2011)=f(2009)+3\cdot 2009+2.$

Тогда $f(2013)$ будет уже выглядеть так:

$f(2013)=(f(2009)+3\cdot 2009+2)+3\cdot 2011+2=$

$=f(2009)+3(2009+2011)+2\cdot 2.$

Далее $f(2013)=f(2007)+3(2007+2009+2011)+3\cdot 2.$

$f(2013)=f(2005)+3(2005+2007+2009+2011)+4\cdot 2.$

Спускаясь и далее так, придем к следующему:

$f(2013)=f(1)+3(1+3+5+…+2009+2011)+2\cdot 1006$

В скобках, что умножается на 3, мы видим сумму арифметической прогрессии, которую вычисляем по формуле $S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$ (в нашем случае $n=1006$)

Тогда $f(2013)=1+3(\frac{1+2011}{2}\cdot 1006)+2012=3038121.$

Ответ: $3038121.$