C2 (№16). Сфера вписана в пирамиду

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»

Задача С2  Т/Р №65 А. Ларина

В треугольной пирамиде длины двух непересекающихся ребер равны 12 и 4, а остальные ребра имеют длину 7. В пирамиду вписана сфера. Найти расстояние от центра сферы до ребра длины 12.

Решение:

Пусть нам дана пирамида DABC с основанием ABC, равными ребрами AB,\;BC,\;AD,\;DC.

Центр вписанной сферы равноудален от всех граней пирамиды, поэтому является точкой пересечения биссекторных плоскостей всех двугранных углов пирамиды  + показать

В частности, центр сферы O лежит на некоторой прямой  ET (E,\;T – середины AC,\;BD соответственно), по которой пересекаются биссекторные плоскости  двугранных углов с ребрами AC,\;BD.

При построении биссекторной плоскости двугранного угла при ребре BD мы опирались на то, что линейный угол упомянутого двугранного – это угол ACT, ведь CT и AT – высоты/медианы/биссектрисы равнобедренных треугольников. При этом треугольник ATC также равнобедренный. Аналогично с биссекторной плоскостью при ребре AC.

Заметим,  построенная плоскость DBE перпендикулярна  прямой AC по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. А значит, любая прямая этой плоскости (DBE) будет перпендикулярна прямой AC, в частности,  OE – и есть искомое расстояние.

Также, из того, что DBE перпендикулярна  прямой AC следует, что (DBE)\perp (ABC)  по признаку перпендикулярности плоскостей. Нам это еще пригодится.

Можно провести и третью биссекторную плоскость, чтобы «зафиксировать» точку O, но мы обойдемся и без этого при решении задачи.

Очевидно, высота пирамиды DH лежит в плоскости EBD (плоскость EBD перпендикулярна плоскости основания, а значит, прямая, в ней лежащая, и при этом перпендикулярная прямой пересечения плоскостей, перпендикулярна плоскости основания (по свойству перпендикулярных плоскостей)).

Найдем высоту пирамиды из треугольника EBD.

Заметим, ED=EB=\sqrt{13}.

Распишем дважды площадь треугольника EDB, используя разные высоты:

\frac{1}{2}ET\cdot DB=\frac{1}{2}DH\cdot EB

\sqrt{(\sqrt{13})^2-2^2}\cdot 4=DH\cdot \sqrt{13}

DH=\frac{12}{\sqrt{13}}

Найдем радиус вписанной в пирамиду сферы, используя формулу (кстати, мы ее уже применяли (доказательство там же)):

r=\frac{3V}{S_{poverhnost}}

Прежде

S_{ABC}=S_{ADC}=6\sqrt{13};

S_{ABD}=S_{CBD}=6\sqrt5;

Тогда

S_{poverhnost}=12(\sqrt{13}+\sqrt5).

Стало быть,

r=\frac{3\cdot \frac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot DH}{S_{poverhnost}}=\frac{6\sqrt{13}\cdot \frac{12}{\sqrt{13}}}{12(\sqrt{13}+\sqrt5)}=\frac{6}{\sqrt{13}+\sqrt5}

Наконец, из подобия треугольников EOP, DBH (P – точка касания сферы и плоскости основания) по двум углам имеем:

\frac{OP}{HB}=\frac{EO}{BD},

где OP=r=\frac{6}{\sqrt{13}+\sqrt5},\;HB=\sqrt{DB^2-DH^2}=\sqrt{16-\frac{144}{13}}=\frac{8}{\sqrt{13}}.

Откуда

EO=\frac{\frac{6}{\sqrt{13}+\sqrt5}\cdot 4}{\frac{8}{\sqrt{13}}}=\frac{3\sqrt{13}}{\sqrt{13}+\sqrt5}.

Ответ: \frac{3\sqrt{13}}{\sqrt{13}+\sqrt5}.

Для самостоятельной проработки

В треугольной пирамиде SABC боковое ребро SB перпендикулярно плоскости основания ABC, и его длина равна 2\sqrt3. Ребра AB и BC равны \sqrt5, а ребро AC равно 2. Найдите расстояние от центра вписанной в пирамиду сферы до вершины S.
Ответ: + показать

 

+ показать

Печать страницы
Один комментарий
  1. Валентина

    Спасибо огромное!!!

    [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif