В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»
Задача С2 Т/Р №65 А. Ларина.
В треугольной пирамиде длины двух непересекающихся ребер равны 12 и 4, а остальные ребра имеют длину 7. В пирамиду вписана сфера. Найти расстояние от центра сферы до ребра длины 12.
Решение:
Пусть нам дана пирамида с основанием
, равными ребрами
Центр вписанной сферы равноудален от всех граней пирамиды, поэтому является точкой пересечения биссекторных плоскостей всех двугранных углов пирамиды + показать
В частности, центр сферы лежит на некоторой прямой
(
– середины
соответственно), по которой пересекаются биссекторные плоскости двугранных углов с ребрами
При построении биссекторной плоскости двугранного угла при ребре мы опирались на то, что линейный угол упомянутого двугранного – это угол
, ведь
и
– высоты/медианы/биссектрисы равнобедренных треугольников. При этом треугольник
также равнобедренный. Аналогично с биссекторной плоскостью при ребре
Заметим, построенная плоскость перпендикулярна прямой
по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. А значит, любая прямая этой плоскости (
) будет перпендикулярна прямой
, в частности,
– и есть искомое расстояние.
Также, из того, что перпендикулярна прямой
следует, что
по признаку перпендикулярности плоскостей. Нам это еще пригодится.
Можно провести и третью биссекторную плоскость, чтобы «зафиксировать» точку , но мы обойдемся и без этого при решении задачи.
Очевидно, высота пирамиды лежит в плоскости
(плоскость
перпендикулярна плоскости основания, а значит, прямая, в ней лежащая, и при этом перпендикулярная прямой пересечения плоскостей, перпендикулярна плоскости основания (по свойству перпендикулярных плоскостей)).
Найдем высоту пирамиды из треугольника
Заметим,
Распишем дважды площадь треугольника , используя разные высоты:
Найдем радиус вписанной в пирамиду сферы, используя формулу (кстати, мы ее уже применяли (доказательство там же)):
Прежде
Тогда
Стало быть,
Наконец, из подобия треугольников ,
(
– точка касания сферы и плоскости основания) по двум углам имеем:
где
Откуда
Ответ:
Для самостоятельной проработки
В треугольной пирамиде боковое ребро
перпендикулярно плоскости основания
, и его длина равна
. Ребра
и
равны
, а ребро
равно
. Найдите расстояние от центра вписанной в пирамиду сферы до вершины
.
Ответ: + показать
Спасибо огромное!!!