C3 (№17). Логарифмическое неравенство. Часть 2 (метод рационализации)

Продолжение

Начало – здесь
Решим неравенство $\color{red}\frac{1-\sqrt{1-4log^2_8x}}{log_8x}<2$ методом рационализации

Как и в предыдущем случае  сделаем замену $m=log_8x$.  Перенесем 2 влево и приведем к общему знаменателю:

$\frac{1-\sqrt{1-4m^2}-2m}{m}<0$.

Заметим, $\sqrt{(1-2m)^2}=|1-2m|$, но если $1-2m\geq 0$, то $\sqrt{(1-2m)^2}=1-2m$ и мы смогли применить рационализацию

Поэтому рассмотрим два случая:

1) $1-2m< 0$, то есть $m>\frac{1}{2}$. В этом случае, так как $1-4m^2$ должно быть неотрицательным, то и $1+2m\leq 0$, то есть $m\leq-\frac{1}{2}$.

Выходит, такой случай невозможен. Очень хорошо, – будем применять рационализацию.

2) $1-2m\geq 0$.

Исходное неравенство можно переписать так

$\frac{\sqrt{(1-2m)^2}-\sqrt{1-4m^2}}{m}<0$.

Согласно методу рационализации данное неравенство равносильно следующему:

$\frac{1-4m+4m^2-(1-4m^2)}{m}<0$ при условии, что $1-4m^2\geq 0$ .

Ну или что тоже самое, что и  $m(1-4m+4m^2-1+4m^2)<0,\;1-4m^2\geq 0$.

Итак, перед нами система:

$\begin{cases}
m(-4m+8m^2)<0,
\\1-4m^2\geq 0;
\end{cases}$

Откуда

$\begin{cases}
& 4m^2(2m-1)<0,
\\(1-2m)(1+2m)\geq 0;
\end{cases}$

Решение первого неравенства системы:

Обратите внимание, что при переходе через точку «0»,  – не произошла смена знаков, так как «0» – корень четной кратности.

На этой же координатной оси отмечаем решение второго неравенства системы:

В пересечении имеем: $m\in [-\frac{1}{2};0)\cup(0;\frac{1}{2})$.

Осталось лишь сделать обратную замену:

$-0.5\leq log_8x<0$  или $0<log_8x<0.5$

$8^{-0.5}\leq x<8^0$ или $8^0<x<8^{0.5}$

$\frac{\sqrt2}{4}\leq x<1$ или $1<x<2\sqrt2$.

Ответ: $[\frac{\sqrt2}{4}; 1)\cup(1;2\sqrt2)$

Вы заметили, что мы решили  быстрее неравенство (использую метод рационализации) по сравнению с предыдущим случаем?
Тогда «вооружайтесь» этим методом, и на экзамене у вас будет больше времени на обдумывание остальных заданий.

Третий способ решения (через обобщеннный метод интервалов) смотрите здесь.