C3 (№17). Логарифмическое неравенство. Часть 2 (метод рационализации)

2016-04-15

Продолжение

Начало – здесь.
Решим неравенство \frac{1-\sqrt{1-4log^2_8x}}{log_8x}<2 методом рационализации.

Как и в предыдущем случае  сделаем замену m=log_8x.  Перенесем 2 влево и приведем к общему знаменателю:

\frac{1-\sqrt{1-4m^2}-2m}{m}<0.

Заметим, \sqrt{(1-2m)^2}=|1-2m|, но если 1-2m\geq 0, то \sqrt{(1-2m)^2}=1-2m и мы смогли применить рационализацию

Поэтому рассмотрим два случая:

1) 1-2m< 0, то есть m>\frac{1}{2}. В этом случае, так как 1-4m^2 должно быть неотрицательным, то и 1+2m\leq 0, то есть m\leq-\frac{1}{2}.

Выходит, такой случай невозможен. Очень хорошо, – будем применять рационализацию.

2) 1-2m\geq 0.

Исходное неравенство можно переписать так

\frac{\sqrt{(1-2m)^2}-\sqrt{1-4m^2}}{m}<0.

Согласно методу рационализации данное неравенство равносильно следующему:

\frac{1-4m+4m^2-(1-4m^2)}{m}<0 при условии, что 1-4m^2\geq 0 .

Ну или что тоже самое, что и  m(1-4m+4m^2-1+4m^2)<0,\;1-4m^2\geq 0.

Итак, перед нами система:

\begin{cases} & m(-4m+8m^2)<0, & & 1-4m^2\geq 0; \end{cases}

Откуда

\begin{cases} & 4m^2(2m-1)<0, & & (1-2m)(1+2m)\geq 0; \end{cases}

Решение первого неравенства системы:

Обратите внимание, что при переходе через точку «0»,  – не произошла смена знаков, так как «0» – корень четной кратности.

На этой же координатной оси отмечаем решение второго неравенства системы:

В пересечении имеем: m\in [-\frac{1}{2};0)\cup(0;\frac{1}{2}).

 

Осталось лишь сделать обратную замену:

-0.5\leq log_8x<0  или 0<log_8x<0.5

8^{-0.5}\leq x<8^0 или 8^0<x<8^{0.5}

\frac{\sqrt2}{4}\leq x<1 или 1<x<2\sqrt2.

Ответ: [\frac{\sqrt2}{4}; 1)\cup(1;2\sqrt2)

Вы заметили, что мы решили  быстрее неравенство (использую метод рационализации) по сравнению с предыдущим случаем?
Тогда «вооружайтесь» этим методом, и на экзамене у вас будет больше времени на обдумывание остальных заданий.

Третий способ решения (через обобщеннный метод интервалов) смотрите здесь.

 

 

 

 

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif