05 Мар 2014

Категория: 15 (С3) НеравенстваЛогарифмыПоказательные выражения, уравнения и неравенстваТ/P A. Ларина

C3 Т/Р №66 Ларина

Елена Репина 2014-03-05 2016-08-26

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №15»

Решите систему неравенств:

$\begin{cases} log_2(5-x)(2-x)>log_4(x-2)^2,& &\frac{2^x-2^{2-x}-3}{2^x-2}\geq 0; \end{cases}$

Решение:

Рассмотрим первое неравенство системы:

$log_2(5-x)(2-x)>log_4(x-2)^2;$

Заметим, что $log_4(x-2)^2=2log_{2^2}|x-2|=log_2|x-2|.$

Тогда неравенство

$log_2(5-x)(2-x)>log_2|x-2|$

будем решать путем рассмотрения двух случаев: $x>2$ и $x<2.$

Выходим на совокупность двух систем:

$\left[\begin{gathered} \begin{cases} x>2,& &log_2(x-5)(x-2)>log_2(x-2); \end{cases}& \begin{cases} x<2,& &log_2(5-x)(2-x)>log_2(2-x); \end{cases} \end{gathered}\right&$

Обратите внимание, мы не случайно указали во второй строке первой системы $log_2(x-5)(x-2)$ вместо $log_2(5-x)(2-x)$ . Нам предстоит «расклейка» логарифмов, мы ведем подготовительную работу.

$\left[\begin{gathered} \begin{cases} x>2,& &log_2(x-5)+log_2(x-2)>log_2(x-2); \end{cases}& \begin{cases} x<2,& &log_2(5-x)+log_2(2-x)>log_2(2-x); \end{cases} \end{gathered}\right&$