C3 Т/Р №66 Ларина

2016-08-26

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №15»

Решите систему неравенств:

\begin{cases} log_2(5-x)(2-x)>log_4(x-2)^2,& &\frac{2^x-2^{2-x}-3}{2^x-2}\geq 0; \end{cases}

Решение:

Рассмотрим первое неравенство системы:

log_2(5-x)(2-x)>log_4(x-2)^2;

Заметим, что log_4(x-2)^2=2log_{2^2}|x-2|=log_2|x-2|.

Тогда неравенство

log_2(5-x)(2-x)>log_2|x-2|

будем решать путем рассмотрения двух случаев: x>2 и x<2.

Выходим на совокупность двух систем:

\left[\begin{gathered} \begin{cases} x>2,& &log_2(x-5)(x-2)>log_2(x-2); \end{cases}& \begin{cases} x<2,& &log_2(5-x)(2-x)>log_2(2-x); \end{cases} \end{gathered}\right&

Обратите внимание, мы не случайно указали во второй строке первой системы log_2(x-5)(x-2) вместо log_2(5-x)(2-x). Нам предстоит «расклейка» логарифмов, мы ведем подготовительную работу.

\left[\begin{gathered} \begin{cases} x>2,& &log_2(x-5)+log_2(x-2)>log_2(x-2); \end{cases}& \begin{cases} x<2,& &log_2(5-x)+log_2(2-x)>log_2(2-x); \end{cases} \end{gathered}\right&

\left[\begin{gathered} \begin{cases} x>2,& &log_2(x-5)>0; \end{cases}& \begin{cases} x<2,& &log_2(5-x)>0; \end{cases} \end{gathered}\right&

\left[\begin{gathered} \begin{cases} x>2,& &x-5>1; \end{cases}& \begin{cases} x<2,& &5-x>1; \end{cases} \end{gathered}\right&

\left[\begin{gathered} \begin{cases} x>2,& &x>6; \end{cases}& \begin{cases} x<2,& &x<4; \end{cases} \end{gathered}\right&

\left[\begin{gathered} x>6, &x<2; \end{gathered}\right&

Рассмотрим второе неравенство системы:

\frac{2^x-2^{2-x}-3}{2^x-2}\geq 0;

\frac{2^x-4\cdot 2^{-x}-3}{2^x-2}\geq 0;

Так как 2^x>0 по определению, то домножим обе части неравенства на 2^x:

\frac{(2^x)^2-4\cdot 2^{-x}\cdot 2^x-3\cdot 2^x}{2^x-2}\geq 0;

\frac{(2^x)^2-3\cdot 2^x-4}{2^x-2}\geq 0;

В числителе – квадратный трехчлен относительно 2^x. Найдем его корни через дискриминант и разобьем его на множители:

\frac{(2^x-4)(2^x+1)}{2^x-2}\geq 0;

Имеем:

\left[\begin{gathered} 2^x<2, &2^x\geq4; \end{gathered}\right&

\left[\begin{gathered} x<1, &x\geq 2; \end{gathered}\right&

Наконец, пересекаем решения неравенств исходной системы:

Ответ: (-\infty;1)\cup(6;+\infty).

Смотрите также C2(№16), C4(№18) Тренировочной работы №66.

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif