В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»
Из Т/Р №66 А.Ларина.
Площадь треугольника равна 10; площадь треугольника
, где
– точка пересечения высот, равна 8. На прямой
взята такая точка
, что треугольник
– прямоугольный.
а) Докажите,что
б) Найдите площадь треугольника
Решение:
a) Нам следует доказать, что
Пусть – основание перпендикуляра из
на
,
– из
на
.
Распишем формулу, которую требуется доказать:
Тогда после сокращений имеем:
,
что и будем доказывать.
Очевидно, по двум углам (оба – прямоугольные и углы при вершине
– вертикальные).
Но и по двум углам (оба – прямоугольные и углы при вершине
– общие).
Тогда Откуда
Откуда
(1)
При этом из подобия треугольников (по двум углам)
Следует
(2)
Учитывая (1) и (2), получаем
Что и требовалось доказать.
Заметим, если точка лежит вне треугольника
решение –аналогичное.
б) Мы доказали , при этом по условию
Тогда
Ответ:
____________________________________________________________
Если вам не удалось задачу (выше) осилить самостоятельно, то
Полезно порешать:
Высоты треугольника пересекаются в точке
. Известно, что отрезок
.
a) Докажите, что длина есть длина высоты к стороне
, умноженная на
б) Найдите угол .
Ответ: + показать
класс!
Спасибо, Ольга Игоревна! :D
Елена, спасибо за хорошую задачку.Порекомендую обязательно коллегам и детям порешать ее.
Очень красивые у вас решения. Как только до всего этого дойти самому? У меня пока не получается
Наталья, практика! и анализ!