C4 (№18) нового образца

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Из Т/Р №66 А.Ларина.

Площадь треугольника ABC равна 10; площадь треугольника AHB, где H – точка пересечения высот, равна 8. На прямой CH взята такая точка K, что треугольник ABK – прямоугольный.

а) Докажите,что S^2_{ABK}=S_{ABC}\cdot S_{AHB};
б) Найдите площадь треугольника ABK.

Решение:

a) Нам следует доказать, что

S^2_{ABK}=S_{ABC}\cdot S_{AHB}

Пусть T – основание перпендикуляра из C на AB, P – из B на AC.

Распишем формулу, которую требуется доказать:

(\frac{1}{2}\cdot KT\cdot AB)^2=(\frac{1}{2}\cdot CT\cdot AB)\cdot (\frac{1}{2}\cdot HT\cdot AB);

Тогда после сокращений имеем:

KT^2=CT\cdot HT,

что и будем доказывать.

Очевидно, \Delta BHT\infty \Delta CHP по двум углам (оба  – прямоугольные и углы при вершине H – вертикальные).

Но и \Delta CAT\infty \Delta CHP по двум углам (оба  – прямоугольные и углы при вершине C – общие).

Тогда \Delta CAT \infty \Delta BHT. Откуда \frac{AT}{HT}=\frac{CT}{BT}.

Откуда

CT\cdot HT=AT\cdot BT  (1)

При этом из подобия треугольников ATK,\;KTB (по двум углам)

Следует

\frac{AT}{KT}=\frac{KT}{BT};

KT^2=AT\cdot BT   (2)

Учитывая (1) и (2), получаем KT^2=CT\cdot HT.

Что и требовалось доказать.

Заметим, если точка K лежит вне треугольника ABC, решение  –аналогичное.

б)  Мы доказали S^2_{ABK}=S_{ABC}\cdot S_{AHB}, при этом по условию S_{ABC}=10,\;S_{AHB}=8.

Тогда S_{ABK}=\sqrt{80}=4\sqrt5.

Ответ: 4\sqrt5.

____________________________________________________________

Если вам не удалось задачу (выше) осилить самостоятельно, то

Полезно порешать:

Высоты треугольника ABC пересекаются в точке H. Известно, что отрезок CH=AB.  

a) Докажите, что длина AC есть длина высоты к стороне BC, умноженная на \sqrt2.

б) Найдите угол ACB.  

Ответ: + показать

Смотрите также С2, С3 Тренировочной работы №66.

Печать страницы
Комментариев: 5
  1. egetrener

    класс!

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Спасибо, Ольга Игоревна! :D

      [ Ответить ]
  2. Елена

    Елена, спасибо за хорошую задачку.Порекомендую обязательно коллегам и детям порешать ее.

    [ Ответить ]
  3. Наталья

    Очень красивые у вас решения. Как только до всего этого дойти самому? У меня пока не получается

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Наталья, практика! и анализ!

      [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif