C4 (№18) нового образца

2023-07-22

Из Т/Р №66 А.Ларина.

Площадь треугольника $ABC$ равна 10; площадь треугольника $AHB$, где $H$ – точка пересечения высот, равна 8. На прямой $CH$ взята такая точка $K$, что треугольник $ABK$ – прямоугольный.

а) Докажите,что $S^2_{ABK}=S_{ABC}\cdot S_{AHB};$
б) Найдите площадь треугольника $ABK.$

Решение:

a) Нам следует доказать, что

$S^2_{ABK}=S_{ABC}\cdot S_{AHB}$

Пусть $T$ – основание перпендикуляра из $C$ на $AB$, $P$ – из $B$ на $AC$.

k

Распишем формулу, которую требуется доказать:

$(\frac{1}{2}\cdot KT\cdot AB)^2=(\frac{1}{2}\cdot CT\cdot AB)\cdot (\frac{1}{2}\cdot HT\cdot AB);$

Тогда после сокращений имеем:

$KT^2=CT\cdot HT$,

что и будем доказывать.

Очевидно, $\Delta BHT\infty \Delta CHP$ по двум углам (оба  – прямоугольные и углы при вершине $H$ – вертикальные).

h

Но и $\Delta CAT\infty \Delta CHP$ по двум углам (оба  – прямоугольные и углы при вершине $C$ – общие).

Тогда $\Delta CAT \infty \Delta BHT.$ Откуда $\frac{AT}{HT}=\frac{CT}{BT}.$

Откуда

$CT\cdot HT=AT\cdot BT$  (1)

При этом из подобия треугольников $ATK,\;KTB$ (по двум углам)

iy

Следует

$\frac{AT}{KT}=\frac{KT}{BT};$

$KT^2=AT\cdot BT$   (2)

Учитывая (1) и (2), получаем $KT^2=CT\cdot HT.$

Что и требовалось доказать.

Заметим, если точка $K$ лежит вне треугольника $ABC,$ решение  –аналогичное.

б)  Мы доказали $S^2_{ABK}=S_{ABC}\cdot S_{AHB}$, при этом по условию $S_{ABC}=10,\;S_{AHB}=8.$

Тогда $S_{ABK}=\sqrt{80}=4\sqrt5.$

Ответ: $4\sqrt5.$

____________________________________________________________

Если вам не удалось задачу (выше) осилить самостоятельно, то

Полезно порешать:

Высоты треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Известно, что отрезок $CH=AB$.  

a) Докажите, что длина $AC$ есть длина высоты к стороне $BC$, умноженная на $\sqrt2.$

б) Найдите угол $ACB$.  

Ответ: + показать

Смотрите также С2, С3 Тренировочной работы №66.

Печать страницы
комментариев 5
  1. egetrener

    класс!

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Спасибо, Ольга Игоревна! :D

      [ Ответить ]
  2. Елена

    Елена, спасибо за хорошую задачку.Порекомендую обязательно коллегам и детям порешать ее.

    [ Ответить ]
  3. Наталья

    Очень красивые у вас решения. Как только до всего этого дойти самому? У меня пока не получается

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Наталья, практика! и анализ!

      [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




5 × 5 =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif