C4 (№18) нового образца

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Из Т/Р №66 А.Ларина.

Площадь треугольника равна 10; площадь треугольника , где – точка пересечения высот, равна 8. На прямой взята такая точка , что треугольник – прямоугольный.

а) Докажите,что
б) Найдите площадь треугольника

Решение:

a) Нам следует доказать, что

Пусть – основание перпендикуляра из на , – из на .

Распишем формулу, которую требуется доказать:

Тогда после сокращений имеем:

,

что и будем доказывать.

Очевидно, по двум углам (оба  – прямоугольные и углы при вершине – вертикальные).

Но и по двум углам (оба  – прямоугольные и углы при вершине – общие).

Тогда Откуда

Откуда

 (1)

При этом из подобия треугольников (по двум углам)

Следует

  (2)

Учитывая (1) и (2), получаем

Что и требовалось доказать.

Заметим, если точка лежит вне треугольника решение  –аналогичное.

б)  Мы доказали , при этом по условию

Тогда

Ответ:

____________________________________________________________

Если вам не удалось задачу (выше) осилить самостоятельно, то

Полезно порешать:

Высоты треугольника пересекаются в точке . Известно, что отрезок .  

a) Докажите, что длина есть длина высоты к стороне , умноженная на

б) Найдите угол .  

Ответ: + показать

Смотрите также С2, С3 Тренировочной работы №66.