C4, пересекающиеся окружности с общей касательной

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

С4 Тренировочной работы №60 А. Ларина


Смотрите также С1(№15) и С3(№17) Т/Р №60.

В 2013 году расширена форма заданий С4. Теперь в задании С4 может встретиться пункт на доказательство какого-либо факта. Рассмотрим одну из задач, так скажем, нового формата.

Продолжение общей хорды АВ двух пересекающихся окружностей радиусов 8 и 2 пересекает их общую касательную в точке С, точка А лежит между В и С, а М и N – точки касания.
а) Докажите, что отношение расстояний от точки С до прямых АМ и AN равно 1:2;
б) Найдите радиус окружности, проходящей через точки А, М и N.

Решение:

a) 

По свойству касательной и секущей, проведенных  к окружности из одной точки: CM^2=CA\cdot CB и CN^2=CA\cdot CB. Стало быть, CM=CN.

Значит, AC – медиана треугольника AMN. А мы знаем, что медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника (в силу совпадения высот, проведенным к равным сторонам CN,\;CM). Тогда \rho_1\cdot AM=\rho_2\cdot AN, где \rho_1 – расстояние от точки C до стороны AM, \rho_2 – расстояние от точки C до стороны AN.

Докажем, что AM=2AN, – это и будет означать, что \rho_1:\rho_2=1:2.

Пусть K – середина основания AM равнобедренного треугольника AMO_1, где O_1 – центр большей окружности.

Тогда из прямоугольного треугольника O_1MK  sinMO_1K=\frac{MK}{8}=\frac{AM}{16}.

Заметим, что \angle MO_1K=\angle AMN, так как оба угла составляют в сумме 90^{\circ} с одним и тем же углом O_1MK.

Тогда  и sinAMN=\frac{AM}{16}.

Рассуждая аналогичным образом, приходим к тому, что и sinANM=\frac{AN}{4}.

С другой стороны, по т. Синусов из треугольника AMN

\frac{AM}{sinANM}=\frac{AN}{sinAMN}=2R,

где R – радиус окружности, описанной около треугольника AMN.

Значит, \frac{AM}{\frac{AN}{4}}=\frac{AN}{\frac{AM}{16}}, откуда \frac{AM}{AN}=\frac{4AN}{AM} и, наконец, AM=2AN.

б) Как мы уже говорили, \frac{AM}{sinANM}=2R, то есть \frac{AM}{\frac{AM}{8}}=2R, откуда R=4.

Ответ: 4.

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif