C4, пересекающиеся окружности с общей касательной

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

С4 Тренировочной работы №60 А. Ларина

Смотрите также С1(№15) и С3(№17) Т/Р №60.

В 2013 году расширена форма заданий С4. Теперь в задании С4 может встретиться пункт на доказательство какого-либо факта. Рассмотрим одну из задач, так скажем, нового формата.

Продолжение общей хорды АВ двух пересекающихся окружностей радиусов 8 и 2 пересекает их общую касательную в точке С, точка А лежит между В и С, а М и N – точки касания.
а) Докажите, что отношение расстояний от точки С до прямых АМ и AN равно 1:2;
б) Найдите радиус окружности, проходящей через точки А, М и N.

Решение:

a) 

По свойству касательной и секущей, проведенных  к окружности из одной точки: и Стало быть,

Значит, – медиана треугольника . А мы знаем, что медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника (в силу совпадения высот, проведенным к равным сторонам ). Тогда где – расстояние от точки до стороны ,  – расстояние от точки до стороны .

Докажем, что , – это и будет означать, что

Пусть – середина основания равнобедренного треугольника где – центр большей окружности.

Тогда из прямоугольного треугольника  

Заметим, что , так как оба угла составляют в сумме с одним и тем же углом .

Тогда  и

Рассуждая аналогичным образом, приходим к тому, что и

С другой стороны, по т. Синусов из треугольника

,

где – радиус окружности, описанной около треугольника .

Значит, , откуда и, наконец,

б) Как мы уже говорили, , то есть , откуда

Ответ: 4.