В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»
С4 Тренировочной работы №60 А. Ларина
Смотрите также С1(№15) и С3(№17) Т/Р №60.
В 2013 году расширена форма заданий С4. Теперь в задании С4 может встретиться пункт на доказательство какого-либо факта. Рассмотрим одну из задач, так скажем, нового формата.
Продолжение общей хорды АВ двух пересекающихся окружностей радиусов 8 и 2 пересекает их общую касательную в точке С, точка А лежит между В и С, а М и N – точки касания.
а) Докажите, что отношение расстояний от точки С до прямых АМ и AN равно 1:2;
б) Найдите радиус окружности, проходящей через точки А, М и N.
Решение:
a)
По свойству касательной и секущей, проведенных к окружности из одной точки: и
Стало быть,
Значит, – медиана треугольника
. А мы знаем, что медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника (в силу совпадения высот, проведенным к равным сторонам
). Тогда
где
– расстояние от точки
до стороны
,
– расстояние от точки
до стороны
.
Докажем, что , – это и будет означать, что
Пусть – середина основания
равнобедренного треугольника
где
– центр большей окружности.
Тогда из прямоугольного треугольника
Заметим, что , так как оба угла составляют в сумме
с одним и тем же углом
.
Тогда и
Рассуждая аналогичным образом, приходим к тому, что и
С другой стороны, по т. Синусов из треугольника
,
где – радиус окружности, описанной около треугольника
.
Значит, , откуда
и, наконец,
б) Как мы уже говорили, , то есть
, откуда
Ответ: 4.
Добавить комментарий