Разбор заданий №13; №15; №16; №17; №18; №19
14. В правильной треугольной пирамиде $SABC$ точка $P$ делит сторону $AB$ в отношении $2:3,$ считая от вершины $A$, точка $K$ делит сторону $BC$ в отношении $2:3,$ считая от вершины $C$. Через точки $P$ и $K$ параллельно $SB$ проведена плоскость $\gamma$.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскотью $\gamma$ является прямоугольником.
б) Найдите расстояние от точки $S$ до плоскости $\gamma$, если известно, что $SC=5,AC=6.$
Разбор заданий №13; №15; №16; №17; №18; №19
14. В правильной треугольной пирамиде $SABC$ точка $K$ делит сторону $SC$ в отношении $1:2$, считая от вершины $S$, точка $N$ делит сторону $SB$ в отношении $1:2$, считая от вершины $S$. Через точки $N$ и $K$ параллельно $SA$ проведена плоскость $\gamma$.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскотью $\gamma$ параллельно прямой $BC$.
б) Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $\gamma$, если известно, что $SA=9,AB=6.$
Условия заданий 1-19 здесь, ответы здесь,
а также вариант 2 (13-19) и ответы к нему
Разбор заданий №13; №15; №16; №17; №18; №19
14. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ и $B$, а на окружности другого основания — точки $B_1$ и $C_1$, причем $BB_1$ — образующая цилиндра, а отрезок $AC_1$ пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол $ABC_1$ прямой.
б) Найдите угол между прямыми $BB_1$ и $AC_1$, если $AB=6, BB_1=15, B_1C_1=8.$
Смотрите также задания №1-12; №13; №15; №16; №17; №18; №19
14. Дана правильная четырехугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. На ребре
$AA_1$ отмечена точка $K$ так, что $AK:KA_1=1:2.$ Плоскость $\alpha $ проходит через точки $B$ и $K$ параллельно прямой $AC$. Эта плоскость пересекает ребро $DD_1$ в точке $M.$
а) Докажите, что $MD:MD_1=2:1.$
б) Найдите площадь сечения, если $AB=4, AA_1=6.$
Смотрите также задания №13; №15; №16; №17; №18; №19
14. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все рёбра равны $2$. Точка $M$ — середина ребра $AA_1$.
а) Докажите, что прямые $MB$ и $B_1C$ перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми $MB$ и $B_1C$.
Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №224 А. Ларина.
14. В основании пирамиды $TABCD$ лежит трапеция $ABCD,$ в которой $BC\parallel AD$ и $AD:BC=2.$ Через вершину $T$ пирамиды проведена плоскость, параллельная прямой $BC$ и пересекающая отрезок $AB$ в точке $M$ такой, что $AM:MB=2.$ Площадь получившегося сечения равна $10,$ а расстояние от ребра $BC$ до плоскости сечения равно $4.$
а) Докажите, что плоскость сечения делит объем пирамиды в отношении $7:20.$
б) Найдите объем пирамиды.
[latexpage]Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №223 А. Ларина.
14. На боковых ребрах $DB$ и $DC$ треугольной пирамиды $ABCD$ расположены точки $M$ и $N$ так, что $BM=MD$ и $CN:ND=2:3.$ Через вершину $A$ основания пирамиды и точки $M$ и $N$ проведена плоскость $\alpha,$ пересекающая медианы боковых граней, проведенных из вершины $D,$ в точках $K,R$ и $T.$
а) Докажите, что площадь треугольника $KTR$ составляет $\frac{5}{22}$ от площади сечения пирамиды плоскость $\alpha.$
б) Найти отношение объемов пирамид $KRTC$ и $ABCD.$
[
Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №220 А. Ларина.
14. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точка $O_1$ – центр квадрата $ABCD$, точка $O_2$ – центр квадрата $CC_1D_1D$.
а) Докажите, что прямые $A_1O_1$ и $B_1O_2$ – скрещивающиеся.
б) Найдите расстояние между прямыми $A_1O_1$ и $B_1O_2$, если ребро куба равно $2$.
Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №215 А. Ларина.
14. В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точка $K$ – середина ребра $AB$.
а) Докажите, что плоскость $CKD_1$ делит объем параллелепипеда в отношении $7:17$.
б) Найдите расстояние от точки $D$ до плоскости $CKD_1$, если известно, что ребра $AB,AD,AA_1$ попарно перпендикулярны и равны соответственно $6$, $4$ и $6$.
Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №213 А. Ларина.
14. В правильной треугольной пирамиде $SABC$ точка $K$ – середина ребра $AB$. На ребре $SC$ взята точка $M$ так, что $SM:CM=1:3.$
а) Докажите, что прямая $MK$ пересекает высоту $SO$ пирамиды в её середине.
б) Найдите расстояние между прямыми $MK$ и $AC$, если известно, что $AB=6,SA=4.$
Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №212 А. Ларина.
14. В правильной пирамиде $PABCD$ на ребрах $AB$ и $PD$ взяты точки $M$ и $K$ соответственно, причем $AM:BM=1:3,DK:PK=4:3.$
а) Докажите, что прямая $BP$ параллельна плоскости $MCK$.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью $MCK$, если известно, что все ребра пирамиды равны $4$.
Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №210 А. Ларина.
14. Основанием пирамиды $SABC$ является равносторонний треугольник $ABC$, длина
стороны которого равна $4\sqrt2$. Боковое ребро $SC$ перпендикулярно плоскости основания и имеет длину $2$.
а) Докажите, что угол между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку $S$ и середину ребра $BC$, а другая проходит через точку $C$ и середину ребра $AB$ равен $45^{\circ}$.
б) Найдите расстояние между этими скрещивающимися прямыми.
Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №209 А. Ларина.
14. Внутри куба расположены два равных шара, касающихся друга. При этом один шар касается трех граней куба, имеющих общую вершину, а другой касается трех оставшихся граней.
а) Докажите, что центры шаров принадлежат диагонали куба, исходящей из общей для граней вершины.
б) Найдите радиусы этих шаров, если ребро куба равно $13$.
Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №207 А. Ларина.
14. В основании треугольной пирамиды $ABCD$ лежит правильный треугольник $ABC$. Боковая грань пирамиды $BCD$ перпендикулярна основанию, $BD=DC.$
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через ребро $BC$ перпендикулярно ребру $AD$.
б) Найдите объём пирамиды $BCPD$, где $M$ – точка пересечения ребра $AD$ и плоскости сечения, если сторона основания пирамиды $ABCD$ равна $8\sqrt3$ , а боковое ребро $AD$ наклонено к плоскости основания под углом $60^{\circ}.$
Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №205 А. Ларина.
14. Дана правильная пирамида $PABCD$ с вершиной в точке $P$. Через точку $B$ перпендикулярно прямой $DP$ проведена плоскость Ω, которая пересекает $DP$ в точке $K$.
а) Докажите, что прямые $BK$ и $AC$ перпендикулярны.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью Ω, если известно, что сторона основания пирамиды равна $6$ и высота пирамиды равна $6$.
Главная
Справочник
Видеоуроки
ЕГЭ
МГУ
Тесты
Карта сайта
Контакты
