13 (С2) Стереометр. задачи | Подготовка к ЕГЭ по математике- страница 3

Архив по категории: 13 (С2) Стереометр. задачи

22 Дек 2016

Задание №14 Т/Р №176 А. Ларина

Елена Репина 2016-12-22 2016-12-22

Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №176 А. Ларина

14. В правильной четырехугольной пирамиде $PABCD$ сторона основания равна $20$ , а высота пирамиды равна $11,25$ . Через ребро $AB$ под углом $\beta$ к плоскости $ABC$ проведена плоскость α. Известно, что $tg\beta =\frac{3}{4}.$
а) Докажите, что плоскость α делит ребро $PC$ в отношении $1:4$ , считая от точки $P$ .

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью α.

Автор: egeMax | комментариев 8

Категория: 13 (С2) Стереометр. задачиТ/P A. Ларина

01 Дек 2016

Задание №14 Т/Р №173 А. Ларина

Елена Репина 2016-12-01 2016-12-19

Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18 Тренировочной работы №173 А. Ларина

14. В основании приямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ . Точка $K$ – середина ребра $BB_1$ . Плоскость $\alpha$ проходит через середины ребер $AB$ и $BB_1$ параллельно прямой $B_1D$ .
А) Докажите, что сечением призмы плоскостью $\alpha$ является равнобедренная трапеция.

Б) Найдите объем большей части призмы, на которые ее разбивает плоскость $\alpha$ , если известно, что $BC=7,AD=25,AB=15,BB_1=8.$

Автор: egeMax | комментария 2

Категория: 13 (С2) Стереометр. задачиТ/P A. Ларина

17 Ноя 2016

Задание №14 Т/Р №171 А. Ларина

Елена Репина 2016-11-17 2016-11-15

Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №171 А. Ларина

14. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ на ребре $CC_1$

отмечена точка $M$ так, что $CM:C_1M=1:3$ . Плоскость $AEM$ пересекает ребро $BB_1$ в точке $K$ .

а) Докажите, что $BK:B_1K=1:5$ .
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью $AEM$ , если $AB=3,CC_1=8$ .

Автор: egeMax | Нет комментариев

Категория: 13 (С2) Стереометр. задачиТ/P A. Ларина

10 Ноя 2016

Задание №14 Т/Р №170 А. Ларина

Елена Репина 2016-11-10 2016-11-09

Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №170 А. Ларина

14. В правильной пирамиде $PABC$ точки $E,F,K,M,N$ – середины ребер $AC,BC,PA,PB$ и $PC$ соответственно.

а) Докажите, что объем пирамиды $NEFMK$ составляет четверть объема пирамиды $PABC$ .
б) Найдите радиус сферы, проходящей через точки $N, E, F, M, K$ , если известно, что $AB=8, AP=6$ .

Автор: egeMax | Нет комментариев

Категория: 13 (С2) Стереометр. задачиТ/P A. Ларина

27 Окт 2016

Задание №14 Т/Р №168 А. Ларина

Елена Репина 2016-10-27 2017-09-11

Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №168 А. Ларина

14. Дана правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ .

На ребре $AA_1$ отмечена точка $M$ так, что $A_1M:AM=1:3$ . Через точки $M$ и $B_1$ параллельно $AD_1$ проведена плоскость Ω.
а) Докажите, что плоскость Ω проходит через вершину $F_1$ .
б) Найдите расстояние от точки $A$ до плоскости Ω, если $AB=2,AA_1=4.$

Автор: egeMax | комментария 2

Категория: 13 (С2) Стереометр. задачиТ/P A. Ларина

20 Окт 2016

Задание №14 Т/Р №167 А. Ларина

Елена Репина 2016-10-20 2016-10-18

Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №167 А. Ларина

14. Дана правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ . $O$ – точка пересечения $A_1D$ и $AD_1.$
а) Докажите, что плоскости $OB_1C_1$ и $CEE_1$ перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми $B_1C_1$ и $CE_1$ , если известно, что $AB=1,AA_1=3$ .

Автор: egeMax | Нет комментариев

Категория: 13 (С2) Стереометр. задачиТ/P A. Ларина

13 Окт 2016

Задание №14 Т/Р №166 А. Ларина

Елена Репина 2016-10-13 2016-10-22

Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №166 А. Ларина

14. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точка $M$ лежит на ребре $DD_1$ так, что $DM:D_1M=1:2.$ Плоскость, проходящая через точки $A$ и $M$ параллельно $BD_1$ , пересекает ребро $CD$ в точке $P$ .

а) Докажите, что $CP=DP.$

б) Найдите расстояние от точки $D_1$ до плоскости $AMP$ , если известно, что $AB=12,BC=9,AA_1=36.$

Автор: egeMax | комментария 2

Категория: 13 (С2) Стереометр. задачиТ/P A. Ларина

06 Окт 2016

Задание №14 Т/Р №165 А. Ларина

Елена Репина 2016-10-06 2016-10-13

Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №165 А. Ларина

14. В правильной треугольной пирамиде $PABC$ боковое ребро равно $5$ , а сторона основания равна $6$ . На продолжении ребра $PA$ отмечена точка $M$ так, что $MA:MP=9:16.$

а) Докажите, что плоскости $PBC$ и $MBC$ перпендикулярны.

б) Найдите объем пирамиды $MABC$ .

Автор: egeMax | Нет комментариев

Категория: 13 (С2) Стереометр. задачиТ/P A. Ларина

22 Сен 2016

Задание №14 Т/Р №163 А. Ларина

Елена Репина 2016-09-22 2016-10-13

Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №163 А. Ларина

14. Дана правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ . Через

точки $B$ , $D_1$ , $F_1$ проведена плоскость $\alpha$ .
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ пересекает ребро $CC_1$ в такой точке $M$ , что $MC:MC_1=1:2.$
б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые данную призму делит

плоскость $\alpha$ .

Автор: egeMax | Нет комментариев

Категория: 13 (С2) Стереометр. задачиТ/P A. Ларина

15 Сен 2016

Задание №14 Т/Р №162 А. Ларина

Елена Репина 2016-09-15 2016-10-13

Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №162 А. Ларина

14. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ $AB=AA_1=6, BC=4.$ Точка $P$ – середина ребра $AB,$ точка $M$ лежит на ребре $DD_1$ так, что $DM:D_1D=2:3.$

а) Докажите, что прямая $BD_1$ параллельна плоскости $MPC.$

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью $MPC.$
Читать далее

Автор: egeMax | Нет комментариев

Категория: 13 (С2) Стереометр. задачиТ/P A. Ларина

08 Сен 2016

Задание №14 Т/Р №161 А. Ларина

Елена Репина 2016-09-08 2016-10-13

Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18 Тренировочной работы №161 А. Ларина.

14. В правильной треугольной пирамиде $SABC$ сторона основания равна $6$ , а боковое ребро равно $5$ . На ребре $SC$ отмечена точка $M$ так, что $SM:MC=7:18.$

а) Докажите, что плоскости $SBC$ и $ABM$ перпендикулярны.
б) Найдите объем меньшей части пирамиды $SABC$ , на которые ее разбивает плоскость $ABM.$ Читать далее

Автор: egeMax | комментария 3

Категория: 13 (С2) Стереометр. задачиТ/P A. Ларина

11 Мар 2016

Путеводитель по задачам С2 (cтереометрия, часть II)

Елена Репина 2016-03-11 2023-05-05

Список всех задач C2, разобранных на сайте

(список пополняется)

Угол между прямой и плоскостью + показать

Угол между прямыми + показать

Угол между плоскостями + показать

-1. (ДЕМО ЕГЭ, 2020)

Все рёбра правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ имеют длину $6$ . Точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AA_1$ и $A_1C_1$ соответственно.

а) Докажите, что прямые $BM$ и $MN$ перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями $BMN$ и $ABB_1$ .

Ответ: $arcsin \frac{\sqrt 6}{4}.$ Видеорешение

0. (ДОСРОЧНЫЙ ЕГЭ, 2017) Сечением прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $\alpha$ , содержащей прямую $BD_1$ и параллельной прямой $AC,$ является ромб.

а) Докажите, что грань $ABCD$ – квадрат.

б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $BCC_1,$ если $AA_1=6,$ $AB=4.$

Ответ: $arctg \frac{5}{3}.$ Решение

1. (Т/Р А. Ларина) Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно 12. Точка $P$ – середина ребра $CB$ , точка $K$ лежит на ребре $CD$ так, что $KD:KC=1:2$ . Плоскость, проходящая через точки $P$ , $K$ и $A_1$ пересекает ребро $DD_1$ в точке $M$ .
а) Докажите, что $DM:D_1M=1:4$ .
б) Найдите угол между плоскостями $PKA_1$ и $ABC$ .

Ответ: $45$ . Решение

2. (Т/Р А. Ларина) Основанием прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ является равнобедренный
треугольник $ABC$ , в котором $CB=CA=5$ , $BA=6$ . Высота призмы равна 10. Точка $M$ – середина ребра $AA_1$ .
а) Постройте прямую, по которой пересекаются плоскости $MBC_1$ и $ABC$ .
б) Вычислите тангенс угла между плоскостями $MBC_1$ и $ABC$ .

Ответ: $\frac{5\sqrt{97}}{24}.$ Решение

3. (Т/Р А. Ларина) Центры вписанного и описанного шаров правильной четырехугольной пирамиды совпадают. Найдите двугранный угол при стороне основания пирамиды.

Ответ: $arccos(\sqrt2-1).$ Решение

4. (Т/Р А. Ларина) Основанием пирамиды является равнобокая трапеция с основаниями 18 и 8. Каждая боковая грань пирамиды наклонена к основанию под углом $60^{\circ}$ .

а) Докажите, что существует точка $O$ , одинаково удаленная от всех граней пирамиды (центр вписанной сферы).
б) Найдите площадь полной поверхности данной пирамиды.

Ответ: $468$ . Решение

5. (Т/Р А. Ларина) В правильной четырехугольной пирамиде $PABCD$ высота $PO$ равна $\sqrt7$ , а сторона основания равна 6. Из точки $O$ на ребро $PC$ опущен перпендикуляр $OH$ . Докажите, что прямая $PC$ перпендикулярна плоскости $BDH$ . Найдите угол между плоскостями, содержащими две соседние боковые грани $PBC$ и $PCD$ .

Ответ: $arccos\frac{9}{16}.$ Решение

6. (Т/Р А. Ларина) На боковых ребрах $AA_1$ , $BB_1$ и $CC_1$ правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ ( $AA_1|| BB_1|| CC_1$ ) расположены точки $K$ , $L$ , и $M$ соответственно. Известно, что угол между прямыми $KL$ и $AB$ равен $\frac{\pi}{4}$ , а угол между прямыми $KM$ и $AC$ – $\frac{\pi}{3}$ .

а) Постройте плоскость, проходящую через точки $K$ , $L$ и $M$ ;

б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания $ABC.$

Ответ: $arccos\sqrt{\frac{3}{19\pm 4\sqrt3}}.$ Решение

7. (Т/Р А. Ларина) В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит ромб $ABCD$ со стороной $\sqrt{21}$ и углом $A$ , равным 60°. На ребрах $AB,B_1C_1$ и $DC$ взяты соответственно точки $E, F$ и $G$ так, что $AE=EB$ , $B_1F=FC_1$ и $DG=3GC$ . Найдите косинус угла между плоскостями $EFG$ и $ABC$ , если высота призмы равна $4,5$ .

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{13}}.$ Решение

8. (МИОО, 2013) Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равна 108 , а площадь полной поверхности этой пирамиды равна 144. Найдите площадь сечения, проходящего через вершину S этой пирамиды и через диагональ её основания.

Ответ: $36.$ Решение

9. (МИОО, 2013) В правильной четырёхугольной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ стороны основания равны $1$ , а боковые ребра равны $5$ . На ребре $AA_1$ отмечена точка $E$ так, что $AE:EA_1=2:3$ . Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $BED_1$ .

Ответ: $arctg \sqrt{13}.$ Решение

10. (Т/Р А. Ларина) Дана правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ . Через точки $B,D_1, F_1$ проведена плоскость β.
а) Докажите, что плоскость β пересекает ребро $AA_1$ в такой точке $M$ , что $AM:A_1M=1:2$ .

б) Найдите угол, который образует плоскость β с плоскостью основания призмы, если известно, что $AB=1, AA_1=3$ .

Ответ: $arctg2.$ Решение

11. (Т/Р А. Ларина) В правильной треугольной пирамиде $PABC$ ( $P$ – вершина) точка $K$ – середина $AB$ , точка $M$ – середина $BC$ , точка $N$ лежит на ребре $AP$ , причем $AN:NP=1:3$ .

а) Докажите, что сечением пирамиды плоскостью, проходящей через точки $N,K,M$ является равнобедренная трапеция.
б) Найдите угол между плоскостями $NKM$ и $ABC$ , если известно, что $AB=6,AP=8.$

Ответ: $arccos(\frac{15}{\sqrt{381}}).$ Решение

12. (Т/Р А. Ларина) В правильной четырехугольной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ $AB=BC=8,AA_1=6$ .

Через точки $A$ и $C$ перпендикулярно $BD_1$ проведена плоскость Ω.
а) Докажите, что плоскость Ω пересекает ребро $B_1C_1$ в такой точке $M$ , что $MB_1:MC_1=7:9.$

б) Найдите угол между плоскостями Ω и $ACC_1$ .

Ответ: $arctg\frac{3\sqrt2}{8}.$ Решение

13. (Т/Р А. Ларина) Дана прямая призма $ABCA_1B_1C_1.$

а) Докажите, что линия пересечения плоскостей $ABC_1$ и $A_1B_1C$ параллельна основаниям призмы.
б) Найдите угол между плоскостями $ABC_1$ и $A_1B_1C$ , если известно, что $AC=1,BC=2,AB=\sqrt5,CC_1=3.$ Ответ: $arccos\frac{41}{49}.$ Решение

Площадь сечения + показать

0. (Досрочный резервн. ЕГЭ, 2018 ) Дана правильная четырехугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$ . На ребре
$AA_1$ отмечена точка $K$ так, что $AK:KA_1=1:2.$ Плоскость $\alpha$ проходит через точки $B$ и $K$ параллельно прямой $AC$ . Эта плоскость пересекает ребро $DD_1$ в точке $M.$
а) Докажите, что $MD:MD_1=2:1.$
б) Найдите площадь сечения, если $AB=4, AA_1=6.$ Ответ: $8\sqrt6.$ Решение

1. (Т/Р А. Ларина) Дана правильная четырехугольной пирамида $PABCD$ с вершиной в точке $P$ . Через точку $C$ и середину ребра $AB$ перпендикулярно к основанию пирамиды проведена плоскость $\alpha$ .
a) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $BP$ в отношении $2:1$ , считая от точки $B$ .
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью $\alpha$ , если известно, что $PA=10$ , $AC=16$ .

Ответ: $8\sqrt{10}.$ Решение

2. (Т/Р А. Ларина) В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 5. На ребре $CC_1$ взята точка $K$ так, что $CK:KC_1=1:4$ , а на ребре $A_1C_1$ взята торчка $M$ так, что $A_1M:MC_1=1:2$ .
а) Определите, в каком отношении плоскость $BKM$ делит ребро $A_1B_1$ призмы.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью $BKM$ .

Ответ: $\frac{19\sqrt{70}}{7}.$ Решение

3. (Т/Р А. Ларина) В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ $AB=BC=8$ , $BB_1=6$ . Точка $K$ – середина ребра $BB_1$ , точка $P$ – середина ребра $C_1D_1$ . Найдите:
а) площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки $K$ и $P$ параллельно прямой $BD_1$ ;
б) объем большей части параллелепипеда, отсекаемой от него этой плоскостью.

Ответ:а) 40;б) 336. Решение

4. (Т/Р А. Ларина) Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$ равна 6, а высота 4. Точки $K$ , $P$ , $M$ – середины ребер $AB$ , $BC$ , $SD$ .

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки $K$ , $M$ , $P$ .

б) Найдите площадь этого сечения.

Ответ: $6\sqrt{11}.$ Решение

5. (Т/Р А. Ларина) В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ длина высоты, опущенной из вершины $S$ на основание $ABCD$ , равна $6\sqrt2$ . Через точку касания с боковой гранью $SAB$ вписанного в эту пирамиду шара параллельно прямой $AB$ проведена плоскость, проходящая через ближайшую к вершине $S$ точку шара.
а) Постройте сечение пирамиды этой плоскостью.
б) Найдите площадь сечения, если $AB=4\sqrt6.$

Ответ: $9\sqrt3.$ Решение

6. (Т/Р А. Ларина) В правильной четырехугольной пирамиде $PABCD$ боковое ребро $PA=6$ , а сторона основания $AB=3\sqrt2$ . Через вершину $A$ перпендикулярно боковому ребру $PC$ проведена плоскость.
а) Постройте сечение пирамиды этой плоскостью.
б) Найдите площадь полученного сечения.

Ответ: $6\sqrt3.$ Решение

7. (Т/Р А. Ларина) В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точка $K$ – середина ребра $C_1D_1$ , точка $P$ – середина ребра $AD$ , точка $M$ – середина ребра $CC_1$ .
а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки $K$ , $P$ и $M$ .
б) Найдите площадь полученного сечения, если ребро куба равно 6.

Ответ: $\frac{21\sqrt{11}}{2}.$ Решение

8. (Т/Р А. Ларина) Ребро куба $ABCDA_1B_1 C_1 D_1$ равно 4. Через середины ребер $AB$ и $BC$ параллельно прямой $BD_1$ проведена плоскость.
а) Постройте сечение куба этой плоскостью.
б) Найдите площадь полученного сечения.

Ответ: $7\sqrt6.$ Решение

9. (Т/Р А. Ларина) В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с длиной ребра, равной 1, на вертикальном ребре $AA_1$ и на горизонтальном ребре $AB$ взяты точки $M$ и $N$ соответственно, причем $AM=\frac{1}{3},$ $AN=\frac{3}{4}$ . а) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки $M$ и $N$ параллельно диагонали $AC$ нижнего основания куба. б) Найти площадь этого сечения.
Ответ: $\frac{31\sqrt{133}}{288}.$ Решение

10. (Т/Р А. Ларина) В прямую призму $ABCDA_1B_1C_1D_1$ , нижним основанием которой является ромб $ABCD$ , а $AA_1$ , $BB_1$ , $CC_1$ , $DD_1$ – боковые рёбра, вписан шар радиуса 1. а) Постройте плоскость, проходящую через вершины $A$ , $B$ , $C_1$ . б) Найдите площадь сечения призмы этой плоскостью, если известно, что $\angle BAD=\frac{\pi}{3}.$

Ответ: $\frac{8\sqrt6}{3}$ . Решение

11. (Т/Р А. Ларина) В основании пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник со сторонами $AB=6$ и $BC=9.$ Высота пирамиды проходит через точку $O$ пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ основания и равна $\frac{3\sqrt3}{2}.$ Точки $E$ и $F$ лежат не ребрах $AB$ и $AD$ соответственно, причем $AE=4,\;AF=6.$ Найти площадь многоугольника, полученного при пересечении пирамиды с плоскостью, проходящей через точки $E$ и $F$ и параллельной ребру $AS.$

Ответ: $\frac{3\sqrt{183}}{2}.$ Решение

12. (Т/Р А. Ларина) В пирамиде $SABC$ ребра $SC$ , $BC$ и $AC$ равны соответственно $\frac{\sqrt{93}}{6}$ , $3$ и $4$ . Известно, что угол $ABC$ тупой, ребро $SC$ перпендикулярно к плоскости основания $ABC$ , а радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$ равен $\frac{8}{\sqrt{15}}$ . Найти площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через вершину $S$ , точку пересечения медиан треугольника $ABC$ и центр окружности, вписанной в этот треугольник.

Ответ: $\sqrt3.$ Решение

13. (Т/Р А. Ларина) В основании треугольной пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник АВС. Середина D гипотенузы этого треугольника является основанием высоты SD данной пирамиды. Известно, что SD=2, AC=4, BC=3. Через середину высоты SD проведено сечение пирамиды плоскостью, параллельной ребрам AC и SB. Найти площадь этого сечения.

Ответ: $15/8.$ Решение

14. (ДЕМО, 2014) В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известны ребра: $AB=3$ , $AD=2$ , $AA_1=5$ . Точка $O$ принадлежит ребру $BB_1$ и делит его в отношении 2:3, считая от вершины $B$ . Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки $A$ , $O$ и $C_1$ .

Ответ: $\sqrt{133}.$ Решение

15. (ЕГЭ, 2013) В правильной четырехугольной пирамиде МАВСD сторона основания равна 9/2, а боковые ребра равны 12. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку С и середину ребра МА параллельно прямой ВD.

Ответ: $\frac{45\sqrt2}{4}.$ Решение

16. (Т/Р А. Ларина) Дана правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ . Через точки $B,D_1,F_1$ проведена плоскость α.
а) Докажите, что плоскость α перпендикулярна плоскости $DCC_1$ .
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью α , если известно, что $AB=1,$ $AA_1=3$ .

Ответ: $\frac{5\sqrt{15}}{4}.$ Решение

17. (Т/Р А. Ларина) В правильной треугольной пирамиде $PABC$ боковое ребро равно 10, а сторона основания равна $2\sqrt{30}$ . Через точки $B$ и $C$ перпендикулярно ребру $PA$ проведена плоскость α.

а) Докажите, что плоскость α делит пирамиду $PABC$ на два многогранника, объемы которых относятся как $2:3$ .
б) Найдите площадь сечения пирамиды $PABC$ плоскостью α.

Ответ: $18\sqrt5.$ Решение

18. (Т/Р А. Ларина) В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ $AB=8, BC=6, AA_1=12.$ Точка $K$ – середина ребра $AD$ , точка $M$ лежит на ребре $DD_1$ так, что $DM:D_1M=1:2.$

а) Докажите, что прямая $BD_1$ параллельна плоскости $CKM$ .

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью $CKM$ .

Ответ: $2\sqrt{109}.$ Решение

19. (Т/Р А. Ларина) В правильной четырехугольной пирамиде $PABCD$ все ребра равны между собой. На ребре $PC$ отмечена точка $K$ .

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью $ABK$ является трапецией.

б) Найдите угол, который образует плоскость $ABK$ с плоскостью основания пирамиды, если известно, что $PK:KC=3:1.$

Ответ: $arctg\frac{\sqrt2}{7}.$ Решение

20. (Т/Р А. Ларина) Все ребра правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ равны $\sqrt{133}.$

а) Построить сечение призмы плоскостью $AFC_1$ .

б) Найдите площадь этого сечения.

Ответ: $399.$ Решение

21. (Т/Р А. Ларина) Все рёбра куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равны $\sqrt{134}$ .
а) Постройте сечение куба, проходящее через середины рёбер $AB$ , $BC$ , $CC_1$ .

б) Найдите площадь этого сечения.

Ответ: $\frac{201\sqrt3}{2}.$ Решение

22. (Т/Р А. Ларина) В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все ребра равны между собой. Через центр верхнего основания призмы и середины двух ребер нижнего основания проведена плоскость $\beta$ .
А) Найдите угол, который образует плоскость $\beta$ с плоскостью $ABC$ .
Б) Найдите площадь сечения призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью $\beta$ , если известно, что ребро призмы равно $6$ .

Ответ: а) $arctg(4\sqrt3);$ б) $\frac{49\sqrt3}{4}.$ Решение

23. (ДОСРОЧНЫЙ ЕГЭ, 2016) В правильной четырехугольной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ сторона основания равна $6,$ а боковое ребро $AA_1$ равно $4\sqrt3.$ На ребрах $AB,A_1D_1$ и $C_1D_1$ отмечены точки $M,N$ и $K$ соответственно, причем $AM=A_1N=C_1K=1.$

а) Пусть $L$ – точка пересечения плоскости $MNK$ с ребром $BC$ . Докажите, что $MNKL$ – квадрат.

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью $MNK.$

Ответ: $55.$ Решение

24. (Т/Р А. Ларина) В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ $AB=AA_1=6, BC=4.$ Точка $P$ – середина ребра $AB,$ точка $M$ лежит на ребре $DD_1$ так, что $DM:D_1D=2:3.$

а) Докажите, что прямая $BD_1$ параллельна плоскости $MPC.$

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью $MPC.$

Ответ: $3\sqrt{61}.$ Решение

25. (Т/Р А. Ларина) В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ на ребре $CC_1$ отмечена точка $M$ так, что $CM:C_1M=1:3$ . Плоскость $AEM$ пересекает ребро $BB_1$ в точке $K$ .

а) Докажите, что $BK:B_1K=1:5$ .
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью $AEM$ , если $AB=3,CC_1=8$ . Ответ: $\frac{5\sqrt{291}}{4}.$ Решение

26. (Т/Р А. Ларина) В правильной четырехугольной пирамиде $PABCD$ сторона основания равна $20$ , а высота пирамиды равна $11,25$ . Через ребро $AB$ под углом $\beta$ к плоскости $ABC$ проведена плоскость α. Известно, что $tg\beta =\frac{3}{4}.$
а) Докажите, что плоскость α делит ребро $PC$ в отношении $1:4$ , считая от точки $P$ .

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью α. Ответ: $180.$ Решение

27. (Т/Р А. Ларина) В правильной пирамиде $SABC$ ребра $AB=2$ , $SC=3$ . Через среднюю линию $MN$ треугольника $ABC$ , параллельную $AB$ , проведено сечение минимальной площади пирамиды $SABC$ , пересекающее ребро $SC.$
А) Докажите, что это сечение перпендикулярно ребру $SC$ .

Б) Найдите площадь этого сечения.

Ответ: $\frac{\sqrt{23}}{12}.$ Решение

28. (Т/Р, 2017) Точки $P$ и $Q$ — середины рёбер $AD$ и $CC_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ соответственно.

а) Докажите, что прямые $B_1P$ и $QB$ перпендикулярны.
б) Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точку $P$ и

перпендикулярной прямой $BQ$ , если ребро куба равно $4$ .

Ответ: $8\sqrt5.$ Решение

28. (Т/Р А. Ларина) Дана правильная пирамида $PABCD$ с вершиной в точке $P$ . Через точку $B$ перпендикулярно прямой $DP$ проведена плоскость Ω, которая пересекает $DP$ в точке $K$ .

а) Докажите, что прямые $BK$ и $AC$ перпендикулярны.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью Ω, если известно, что сторона основания пирамиды равна $6$ и высота пирамиды равна $6$ .

Ответ: $6\sqrt6.$ Решение

29. (Т/Р А. Ларина) В правильной пирамиде $PABCD$ на ребрах $AB$ и $PD$ взяты точки $M$ и $K$ соответственно, причем $AM:BM=1:3,DK:PK=4:3.$

а) Докажите, что прямая $BP$ параллельна плоскости $MCK$ .
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью $MCK$ , если известно, что все ребра пирамиды равны $4$ .

Ответ: $\frac{57\sqrt{11}}{28}.$ Решение

30. (Т/Р 281 А. Ларина) В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ ребро основания $AB=2$ , высота $AA_1=6$ , точка $M$ – середина $F_1E_1$ , проведено сечение через точки $A$ , $C$ и $M$ .

а) Докажите, что сечение проходит через середину ребра $D_1E_1.$

б) Найдите площадь этого сечения.

Ответ: $\frac{247\sqrt3}{20}.$ Решение

Объемы многогранников + показать

2023

1.1.  (Досрок 2023) Дан тетраэдр ABCD, на ребрах AC, AD, BD, BC отмечены точки K, L, M, N соответственно так, что AK:KC=3:7, а KLMN  — квадрат со стороной 3.
а)  Докажите, что BM:MD=3:7.

б)  Найдите расстояние от точки C до КLМ, если известно, что объем тетраэдра ABCD равен 50.
Ответ: 4,9. Решение

1. 2.  (Досрок 2023) Дан тетраэдр ABCD. На ребре AC выбрана точка K так, что AK:KC=3:7. Также на ребрах AD, BD и BC выбраны точки L, M и N соответственно так, что KLMN  — квадрат со стороной 3.

а)  Докажите, что ребра AB и CD взаимно перпендикулярны.
б)  Найдите расстояние от точки B до плоскости KLMN, если объем тетраэдра ABCD равен 100.

Ответ: $4,9.$

2.1.   (Досрок 2023) На рёбрах AC, AD, BD и BC тетраэдра ABCD отмечены точки K, L, M и N соответственно, причём AK : KC  =  2:3. Четырёхугольник KLMN – квадрат.

а)  Докажите, что AB:CD=2:3.

б)  Найдите объём пирамиды KNMC, если объём тетраэдра ABCD равен 25.

Ответ: б) 3,6. Решение

2.2.   (Досрок 2023) Дан тетраэдр ABCD. Точки K, L, M и N лежат на ребрах AC, AD, DB и BC соответственно, так, что четырехугольник KLMN  — квадрат, и AK : KC  =  3 : 7.
а)  Докажите, что AB:CD=3:7.

б)  Найдите объём пирамиды CKLMN, если объём тетраэдра ABCD равен 100.

Ответ: б) 29,4.

До 2023

-4. (Реальный ЕГЭ, 2021) Дана правильная треугольная пирамида $SABC$ , сторона основания $AB = 16,$ высота $SH = 10,$ точка $K$ — середина $AS.$ Плоскость, проходящая через точку $K$ и параллельная основанию пирамиды, пересекает ребра $SB$ и $SC$ в точках $Q$ и $P$ соответственно.

а) Докажите, что площадь $PQCB$ относится к площади $BSC$ как $3:4.$

б) Найдите объем пирамиды $KBQPC.$

Ответ: $80\sqrt{3}.$ Решение

-3. (Реальный ЕГЭ, 2017) Основанием прямой треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ является прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$ . Диагонали боковых граней $AA_1B_1B$ и $BB_1C_1C$ равны $15$ и $9$ соответственно, $AB=13.$

а) Докажите, что треугольник $BA_1C_1$ прямоугольный.

б) Найдите объем пирамиды $AA_1C_1B.$

Ответ: $20\sqrt{14}.$ Решение

-2. (Реальный ЕГЭ, 2017) Дана пирамида $PABCD$ , в основании которой – трапеция $ABCD$ , причём $\angle BAD+\angle ADC=90^{\circ}.$
Плоскости $(PAB)$ и $(PCD)$ и перпендикулярны плоскости основания пирамиды.

Прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $K$ .
а) Доказать, что $(PAB)\perp (PCD).$
б) Найти $V_{PKBC},$ если $AB=BC=CD=3,$ а высота пирамиды равна $8.$

Ответ: $6$ . Решение

-1. (Реальный ЕГЭ, 2017) На ребрах $AB$ и $BC$ треугольной пирамиды $ABCD$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причем $AM:MB =CN:NB=1:3$ . Точки $P$ и $Q$ – середины рёбер $DA$ и $DC$ соответственно.

а) Докажите, что точки $P,Q,M$ и $N$ лежат в одной плоскости.

б) Найдите, в каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды.

Ответ: $9:23$ . Решение

0. (Резервный ЕГЭ, 2017) В треугольной пирамиде $PABC$ с основанием $ABC$ известно, что $AB=13,PB=15,cosPBA=\frac{48}{65}.$ Основанием высоты этой пирамиды является точка $C$ . Прямые $PA$ и $BC$ перпендикулярны.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ прямоугольный.

б) Найдите объем пирамиды $PABC$ .

Ответ: $90.$ Решение

1. (Т/Р А. Ларина) В правильной треугольной пирамиде $PABC$ ( $ABC$ – основание) $M$ – точка пересечения медиан грани $PBC.$
a) Докажите, что прямая $AM$ делит высоту $PO$ пирамиды в отношении $3:1$ , считая от точки $P$ .
б) Найдите объем многогранника с вершинами в точках $A$ , $B$ , $M$ , $P$ , если известно, что $AB=12$ , $PC=10.$

Ответ: $8\sqrt{39}.$ Решение

2. (Т/Р А. Ларина) В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ $AB=BC=8$ , $BB_1=6.$ Точка $K$ – середина ребра $BB_1$ , точка $P$ – середина ребра $C_1D_1$ . Найдите:
а) площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки $K$ и $P$ параллельно прямой $BD_1$ ;
б) объем большей части параллелепипеда, отсекаемой от него этой плоскостью.

Ответ:а) 40;б) 336. Решение

3. (Т/Р А. Ларина) В треугольной пирамиде два ребра, исходящие из одной вершины, равны по $\sqrt5$ , а все остальные ребра равны по 2. Найдите объём пирамиды.

Ответ: $\frac{\sqrt{39}}{6}.$ Решение

4. (Т/Р А. Ларина) Основанием пирамиды является трапеция с основаниями 25 и 7 и острым углом arccos0,6. Каждое боковое ребро пирамиды наклонено к основанию под углом $60^{\circ}$ .

а) Докажите, что существует точка M, одинаково удаленная от всех вершин пирамиды (центр описанной сферы).
б) Найдите объем данной пирамиды.

Ответ: $800\sqrt3.$ Решение

5. (Т/Р А. Ларина) В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $AB=8$ , $BC=6$ , косинус угла между прямыми $BD$ и $AC_1$ равен $0,14.$
а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки $B$ и $D$ параллельно прямой $AC_1$ .
б) Найдите объем пирамиды, отсекаемой от параллелепипеда этой плоскостью.

Ответ: $40\sqrt3.$ Решение

6. (Т/Р А. Ларина) Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ .

а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки $A$ и $C$ параллельно прямой $BD_1$ .
б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые делит параллелепипед эта плоскость. Ответ: $11:1.$ Решение

7. (Т/Р А. Ларина) Плоскость пересекает боковые ребра $SA$ и $SB$ треугольной пирамиды $SABC$ в точках $K$ и $L$ соответственно и делит объем пирамиды пополам
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, если $SK:SA=2:3$ , $SL:SB=4:5.$
б) В каком отношении эта плоскость делит медиану $SN$ грани $SBC$ ?

Ответ: $\frac{120}{19}.$ Решение

8. (Т/Р А. Ларина) Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна $\sqrt6$ , боковое ребро составляет с высотой угол $30^{\circ}$ . Плоскость $\alpha$ , проходящая через вершину основания пирамиды, перпендикулярна противолежащему боковому ребру и разбивает пирамиду на две части. а) Постройте сечение пирамиды плоскостью α;
б) Определите объём прилегающей к вершине части пирамиды.

Ответ: $2.$ Решение

9. (Т/Р А. Ларина) В пирамиде $SLMN$ даны ребра $LM=5$ , $MN=9$ , $NL=10.$ Сфера радиуса $\frac{5\sqrt{14}}{4}$ касается плоскости основания $LMN$ и боковых ребер пирамиды. Точки касания делят эти ребра в равных отношениях, считая от вершины $S$ . Найти объем пирамиды. Ответ: $\frac{15750}{29}.$ Решение

10. (Т/Р А. Ларина) Дана пирамида SABC, точки D и E лежат на ребрах SA и SB, причем SD:DA=1:2 и SE:EB=1:2. Через точки D и E проведена плоскость, параллельная ребру SC. В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды?

Ответ: $20:7.$ Решение

11. (Т/Р А. Ларина) На ребрах $AA_1$ и $CC_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отмечены соответственно точки $E$ и $F$ такие, что $AE=2A_1E$ , $CF=2C_1F$ . Через точки $B$ , $E$ и $F$ проведена плоскость, делящая куб на две части. Найдите отношение объема части, содержащей точку $B_1$ , к объему всего куба.

Ответ: $25:72.$ Решение

12. (МГУ, 2013) Вершины $P$ и $Q$ правильного тетраэдра $MNPQ$ лежат на диагонали $A_1C$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ( $AA_1,\; BB_1,\; CC_1,\;DD_1$ ) с ребром единичной длины, при этом вершина $P$ лежит между $Q$ и $C$ , а вершины $M$ и $N$ – на диагонали $BD$ грани $ABCD$ . Найдите объем пирамиды $CMNP$ .

Ответ: $\frac{\sqrt6}{216}.$ Решение

13. (Т/Р А. Ларина) В основании пирамиды $PABCD$ лежит равнобедренная трапеция с острым углом $45^{\circ}$ . Боковые грани $PAB$ и $PCD$ перпендикулярны основанию пирамиды.
a) Докажите, что плоскости $PAB$ и $PCD$ перпендикулярны.
б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если известно, что $BC=6,AD=12$ , а объем пирамиды равен $27$ .

Ответ: $18(\sqrt2+\sqrt{5}).$ Решение

14. (Т/Р А. Ларина) Через ребро $BC$ правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ под углом $60^{\circ}$ к плоскости $ABC$ проведена плоскость $\alpha$ . Известно, что площадь сечения призмы плоскостью $\alpha$ равна $14\sqrt3$ , а высота призмы равна $3$ .
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $A_1B_1$ в отношении $1:3$ , считая от точки $B_1$ .
б) Найдите объем меньшей части, отсекаемой от призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью $\alpha$ .

Ответ: $11\sqrt3$ . Решение

15. (Т/Р А. Ларина) Треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$ с нижним основанием $ABC$ и боковыми ребрами $AA_1,BB_1,CC_1$ рассечена плоскостью, проходящей через точки $E,F,C$ , где точка $E$ является серединой ребра $AA_1$ , точка $F$ лежит на ребре $BB_1$ , причем $BF:FB_1=1:2.$
а) Докажите, что объем части призмы $ABCA_1B_1C_1$ , заключенный между секущей плоскостью и нижним основанием этой призмы составляет $\frac{5}{18}$ объема призмы.

б) Найдите угол между нижним основанием призмы и плоскостью сечения, если призма $ABCA_1B_1C_1$ ‐ правильная и все ее ребра равны между собой.

Ответ: $arctg\frac{\sqrt{21}}{9}.$ Решение

16. (Т/Р А. Ларина) Основанием пирамиды $SABCD$ является трапеция $ABCD$ , у которой $AD\parallel BC$ . На ребре $SC$ выбрана точка $K$ так, что $CK:KS=2:5$ . Плоскость, проходящая через точки $A,B$ и $K$ , пересекает ребро $SD$ в точке $L$ . Известно, что объемы пирамид $SABKL$ и $SABCD$ относятся, как $95:189$ .

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью $ABK$ .

б) Найдите отношение длин оснований трапеции $ABCD$ .

Ответ: $2.$ Решение

17. (СтатГрад, 2016) В одном основании прямого кругового цилиндра с высотой $12$ и радиусом основания $6$ проведена хорда $AB,$ равная радиусу основания, а в другом его основании проведен диаметр $CD,$ перпендикулярный $AB.$ Построено сечение $ABNM,$ проходящее через прямую $AB$ перпендикулярно прямой $CD$ так, что точка $C$ и центр основания цилиндра, в котором проведен диаметр $CD,$ лежат с одной стороны от сечения.

а) Докажите, что диагонали этого сечения равны между собой.

б) Найдите объем пирамиды $CABNM.$

Ответ: $144+72\sqrt3.$ Решение

18. (Т/Р А. Ларина) В правильной треугольной пирамиде $SABC$ сторона основания равна $6$ , а боковое ребро равно $5$ . На ребре $SC$ отмечена точка $M$ так, что $SM:MC=7:18.$

а) Докажите, что плоскости $SBC$ и $ABM$ перпендикулярны.
б) Найдите объем меньшей части пирамиды $SABC$ , на которые ее разбивает плоскость $ABM.$ Ответ: $\frac{21\sqrt{39}}{25}.$ Решение

19. (Т/Р А. Ларина) Дана правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ . Через

плоскость $\alpha$ . Ответ: $19:35.$ Решение

20. (Т/Р А. Ларина) В правильной треугольной пирамиде $PABC$ боковое ребро равно $5$ , а сторона основания равна $6$ . На продолжении ребра $PA$ отмечена точка $M$ так, что $MA:MP=9:16.$

а) Докажите, что плоскости $PBC$ и $MBC$ перпендикулярны.

б) Найдите объем пирамиды $MABC$ . Ответ: $\frac{27\sqrt{39}}{7}.$ Решение

21. (Т/Р А. Ларина) В правильной пирамиде $PABC$ точки $E,F,K,M,N$ – середины ребер $AC,BC,PA,PB$ и $PC$ соответственно.

Ответ: $2,5$ . Решение

22. (Т/Р А. Ларина) В основании приямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ . Точка $K$ – середина ребра $BB_1$ . Плоскость $\alpha$ проходит через середины ребер $AB$ и $BB_1$ параллельно прямой $B_1D$ .
А) Докажите, что сечением призмы плоскостью $\alpha$ является равнобедренная трапеция.

Б) Найдите объем большей части призмы, на которые ее разбивает плоскость $\alpha$ , если известно, что $BC=7,AD=25,AB=15,BB_1=8.$ Ответ: $1416.$ Решение

23. (Т/Р А. Ларина) В правильной треугольной пирамиде $SABC$ , точки $P$ , $Q$ , $R$ лежат на боковых ребрах $AS$ , $CS$ и $BS$ , причем $\frac{SP}{AP}=\frac{CQ}{QS}=\frac{SR}{RB}=2.$

а) Доказать, что объемы пирамид $SPRQ$ и $SABC$ относятся как $4:27$ .

б) Найти объем пирамиды $CPQR$ , если $AB=2$ и $SA=3$ . Ответ: $\frac{8\sqrt{23}}{81}.$ Решение

24. (Т/Р А. Ларина) В основании пирамиды $SABC$ лежит равнобедренный треугольник $ABC$ , в котором $AB=4,\angle BAC=120^{\circ}$ . Известно, что боковая грань $SBC$ перпендикулярна

основанию $ABC$ , $SB=SC$ , а высота пирамиды, проведенная из точки $S$ , равна $2\sqrt{11}$ . На ребрах $SB$ и $SC$ отмечены соответственно точки $K$ и $P$ так, что $BK:SK=CP=SP=1:3.$
а) Докажите, что сечением пирамиды плоскостью $APK$ является прямоугольный треугольник.

25. (Т/Р А. Ларина) В основании треугольной пирамиды $ABCD$ лежит правильный треугольник $ABC$ . Боковая грань пирамиды $BCD$ перпендикулярна основанию, $BD=DC.$

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через ребро $BC$ перпендикулярно ребру $AD$ .

б) Найдите объём пирамиды $BCPD$ , где $M$ – точка пересечения ребра $AD$ и плоскости сечения, если сторона основания пирамиды $ABCD$ равна $8\sqrt3$ , а боковое ребро $AD$ наклонено к плоскости основания под углом $60^{\circ}.$ Ответ: $432.$ Решение

26. (Т/Р А. Ларина) На боковых ребрах $DB$ и $DC$ треугольной пирамиды $ABCD$ расположены точки $M$ и $N$ так, что $BM=MD$ и $CN:ND=2:3.$ Через вершину $A$ основания пирамиды и точки $M$ и $N$ проведена плоскость $\alpha,$ пересекающая медианы боковых граней, проведенных из вершины $D,$ в точках $K,R$ и $T.$
а) Докажите, что площадь треугольника $KTR$ составляет $\frac{5}{22}$ от площади сечения пирамиды плоскость $\alpha.$

б) Найти отношение объемов пирамид $KRTC$ и $ABCD.$ Ответ: $1:22.$ Решение

27. (Т/Р А. Ларина) В основании пирамиды $TABCD$ лежит трапеция $ABCD,$ в которой $BC\parallel AD$ и $AD:BC=2.$ Через вершину $T$ пирамиды проведена плоскость, параллельная прямой $BC$ и пересекающая отрезок $AB$ в точке $M$ такой, что $AM:MB=2.$ Площадь получившегося сечения равна $10,$ а расстояние от ребра $BC$ до плоскости сечения равно $4.$

а) Докажите, что плоскость сечения делит объем пирамиды в отношении $7:20.$

б) Найдите объем пирамиды. Ответ: $90.$ Решение

28. (Т/Р №280 А. Ларина) Плоскость $\alpha$ пендикулярна основанию правильной треугольной пирамиды $SABC$ и делит стороны $AB$ и $BC$ основания пополам.

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит боковое ребро в отношении $1:3$ , считая от вершины $S$ .

б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые плоскость $\alpha$ разбивает пирамиду.

Ответ: $13:3$ . Решение

Расстояние от точки до прямой/плоскости + показать

Расстояние между скрещивающимися прямыми + показать

Тела вращения. Комбинации тел + показать

Другие задачи + показать

Автор: egeMax | Нет комментариев

Категория: 13 (С2) Стереометр. задачи

09 Июн 2015

Задание №16 реального ЕГЭ по математике от 4 июня 2015

Елена Репина 2015-06-09 2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»

Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20, №21.

Разбор задания №16 одного из вариантов

В основании четырехугольной пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB=\sqrt5$ и $BC=2$ .
Длины боковых ребер пирамиды $SA=\sqrt7,SB=2\sqrt3,SD=\sqrt{11}.$
а) Докажите, что $SA$ – высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямой $SC$ и плоскостью $ASB.$
Читать далее

Автор: egeMax | комментария 24

Категория: 13 (С2) Стереометр. задачиЕГЭ (диагностич. работы)Стереометрия

02 Июн 2015

Задание №16 Тренировочной работы №120+ А. Ларина

Елена Репина 2015-06-02 2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»

Дмитрий для тренировок купил три одинаковых футбольных мяча радиусом 12 каждый, а еще один маленький мячик ему дали в подарок. Придя домой, Дмитрий выложил все мячи на пол и неожиданно обнаружил, что когда футбольные мячи попарно касаются друг друга, то маленький мячик касается всех трех футбольных. Найдите радиус маленького мячика.

Автор: egeMax | комментариев 6

Категория: 13 (С2) Стереометр. задачиТ/P A. Ларина

01 Июн 2015

Задание №16 Т/Р №120 А. Ларина

Елена Репина 2015-06-01 2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»

Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20.

В правильной треугольной пирамиде $PABC$ ( $ABC$ – основание) $M$ – точка пересечения медиан грани $PBC$ .
a) Докажите, что прямая $AM$ делит высоту $PO$ пирамиды в отношении $3:1$ , считая от точки $P$ .
б) Найдите объем многогранника с вершинами в точках $A$ , $B$ , $M$ , $P$ , если известно, что $AB=12$ , $PC=10$ . Читать далее

Автор: egeMax | комментариев 7

Категория: 13 (С2) Стереометр. задачиСтереометрияТ/P A. Ларина

« Назад 1 2 3 4 5 6 7 Вперед »