Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №170 А. Ларина
14. В правильной пирамиде $PABC$ точки $E,F,K,M,N$ – середины ребер $AC,BC,PA,PB$ и $PC$ соответственно.
а) Докажите, что объем пирамиды $NEFMK$ составляет четверть объема пирамиды $PABC$.
б) Найдите радиус сферы, проходящей через точки $N, E, F, M, K$, если известно, что $AB=8, AP=6$.
Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №168 А. Ларина
14. Дана правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
На ребре $AA_1$ отмечена точка $M$ так, что $A_1M:AM=1:3$. Через точки $M$ и $B_1$ параллельно $AD_1$ проведена плоскость Ω.
а) Докажите, что плоскость Ω проходит через вершину $F_1$.
б) Найдите расстояние от точки $A$ до плоскости Ω, если $AB=2,AA_1=4.$
Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №167 А. Ларина
14. Дана правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$. $O$ – точка пересечения $A_1D$ и $AD_1.$
а) Докажите, что плоскости $OB_1C_1$ и $CEE_1$ перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми $B_1C_1$ и $CE_1$, если известно, что $AB=1,AA_1=3$.
Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №166 А. Ларина
14. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точка $M$ лежит на ребре $DD_1$ так, что $DM:D_1M=1:2.$ Плоскость, проходящая через точки $A$ и $M$ параллельно $BD_1$, пересекает ребро $CD$ в точке $P$.
а) Докажите, что $CP=DP.$
б) Найдите расстояние от точки $D_1$ до плоскости $AMP$, если известно, что $AB=12,BC=9,AA_1=36.$
Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №165 А. Ларина
14. В правильной треугольной пирамиде $PABC$ боковое ребро равно $5$, а сторона основания равна $6$. На продолжении ребра $PA$ отмечена точка $M$ так, что $MA:MP=9:16.$
а) Докажите, что плоскости $PBC$ и $MBC$ перпендикулярны.
б) Найдите объем пирамиды $MABC$.
Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №163 А. Ларина
14. Дана правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Через
точки $B$, $D_1$, $F_1$ проведена плоскость $\alpha $.
а) Докажите, что плоскость $\alpha $ пересекает ребро $CC_1$ в такой точке $M$, что $MC:MC_1=1:2.$
б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые данную призму делит
плоскость $\alpha $.
Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №162 А. Ларина
14. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ $AB=AA_1=6, BC=4.$ Точка $P$ – середина ребра $AB,$ точка $M$ лежит на ребре $DD_1$ так, что $DM:D_1D=2:3.$
а) Докажите, что прямая $BD_1$ параллельна плоскости $MPC.$
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью $MPC.$
Читать далее
Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18 Тренировочной работы №161 А. Ларина.
14. В правильной треугольной пирамиде $SABC$ сторона основания равна $6$, а боковое ребро равно $5$. На ребре $SC$ отмечена точка $M$ так, что $SM:MC=7:18.$
а) Докажите, что плоскости $SBC$ и $ABM$ перпендикулярны.
б) Найдите объем меньшей части пирамиды $SABC$, на которые ее разбивает плоскость $ABM.$ Читать далее
В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»
Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20, №21.
В основании четырехугольной пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB=\sqrt5$ и $BC=2$.
Длины боковых ребер пирамиды $SA=\sqrt7,SB=2\sqrt3,SD=\sqrt{11}.$
а) Докажите, что $SA$ – высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямой $SC$ и плоскостью $ASB.$
Читать далее
В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»
Дмитрий для тренировок купил три одинаковых футбольных мяча радиусом 12 каждый, а еще один маленький мячик ему дали в подарок. Придя домой, Дмитрий выложил все мячи на пол и неожиданно обнаружил, что когда футбольные мячи попарно касаются друг друга, то маленький мячик касается всех трех футбольных. Найдите радиус маленького мячика.
В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»
Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20.
В правильной треугольной пирамиде $PABC$ ($ABC$ – основание) $M$– точка пересечения медиан грани $PBC$.
a) Докажите, что прямая $AM$ делит высоту $PO$ пирамиды в отношении $3:1$, считая от точки $P$.
б) Найдите объем многогранника с вершинами в точках $A$, $B$, $M$, $P$, если известно, что $AB=12$, $PC=10$. Читать далее
Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20.
Дана правильная четырехугольной пирамида $PABCD$ с вершиной в точке $P$. Через точку $C$ и середину ребра $AB$ перпендикулярно к основанию пирамиды проведена плоскость $\alpha$.
a) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $BP$ в отношении $2:1$, считая от точки $B$.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью $\alpha$, если известно, что $PA=10$, $AC=16$.
Читать далее
Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20.
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ $AB=BC=8$, $BB_1=6$. Точка $K$ – середина ребра $BB_1$, точка $P$ – середина ребра $C_1D_1$. Найдите:
а) площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки $K$ и $P$ параллельно прямой $BD_1$;
б) объем большей части параллелепипеда, отсекаемой от него этой плоскостью. Читать далее
Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20.
Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно 12. Точка $P$ – середина ребра $CB$, точка $K$ лежит на ребре $CD$ так, что $KD:KC=1:2$. Плоскость, проходящая через точки $P$, $K$ и $A_1$ пересекает ребро $DD_1$ в точке $M$.
а) Докажите, что$ DM:D_1M=1:4$.
б) Найдите угол между плоскостями $PKA_1$ и $ABC$.
Читать далее
Главная
Справочник
Видеоуроки
ЕГЭ
МГУ
Тесты
Карта сайта
Контакты
