Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №184 А. Ларина
16. В остроугольном треугольнике $ABC$ из вершин $A$ и $C$ опущены высоты $AP$ и $CQ$ на стороны $BC$ и $AB.$ Известно, что площадь треугольника $ABC$ равна $18$, площадь треугольника $BPQ$ равна $2$, а длина отрезка $PQ$ равна $2\sqrt2.$
а) Доказать, что треугольники $QBP$ и $CBA$ подобны.
б) Вычислить радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$.
Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №183 А. Ларина
16. Окружность касается прямых $AB$ и $BC$ соответственно в точках $D$ и $E$. Точка $A$ лежит между $B$ и $D$, а тока $C$ – между $B$ и $E$. Точки $A$, $D$, $E$, $C$ лежат на одной окружности.
a) Доказать, что треугольники $ABC$ и $DBE$ подобны.
б) Найти площадь $ABC$, если $AC=8$ и радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$, равен $1$.
Разбор заданий части С
(разбор заданий 1-12, также №13; №14; №15; №17; №18; №19)
16. Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Диагональ $BD$ разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями $AD$ и $CD$.
а) Докажите, что луч $AC$ — биссектриса угла $BAD$.
б) Найдите $CD$, если известны диагонали трапеции: $AC=12,BD=6,5.$
Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №181 А. Ларина
16. В треугольнике $ABC$ стороны $AB:BC:AC=3:4:5$. Первая окружность вписана в треугольник $ABC$, а вторая касается $AB$ и продолжения сторон $BC$ и $AC$.
А) Доказать, что отношение радиусов окружностей равно $2:1$.
Б) Найти расстояние между точками касания окружностей стороны $AB$, если $AC=15$.
Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №176 А. Ларина
16. Первая окружность, вписанная в равнобедренный треугольник $ABC$, касается основания $AC$ в точке $M$. Вторая окружность касается основания $AC $ и продолжений боковых сторон.
А) Докажите, что длина основания треугольника является средним геометрическим диаметров первой и второй окружностей.
Б) Найдите радиус второй окружности, если радиус первой равен $3$, а $BM=8$.
Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18 Тренировочной работы №173 А. Ларина
16. Хорда $AB$ окружности параллельна касательной, проходящей через точку $C$, лежащую на окружности. Прямая, проходящая через точку $C$ и центр окружности, вторично пересекает окружность в точке $P$.
А) Докажите, что треугольник $ABP$ равнобедренный.
Б) Найдите отношение, в котором хорда $AB$ делит диаметр $CP$, если известно, что $\angle APB=150^{\circ}.$
Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №171 А. Ларина
16. На диагонали $AC$ параллелограмма $ABCD$ отмечены точки $E$ и $P$, причем $AE:EP:PC=1:2:1$. Прямые $DE$ и $DP$ пересекают стороны $AB$ и $BC$ в точках $K$ и $M$
соответственно.
a) Докажите, что $KM\parallel AC.$
б) Найдите площадь параллелограмма $ABCD$, если известно, что площадь пятиугольника $BKEPM$ равна $30$.
Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №170 А. Ларина
16. Дан квадрат $ABCD$. Точки $K,L,M$ – середины сторон $AB,BC$ и $CD$ соответственно. $AL$ пересекает $DK$ в точке $P$; $DL$ пересекает $AM$ в точке $T$; $AM$ пересекает $DK$ в точке $O$.
А) Докажите, что точки $P,L,T,O$ лежат на одной окружности;
Б) Найдите радиус окружности, вписанной в четырехугольник $PLTO$, если $AB=4.$
Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №168 А. Ларина
16. Окружность ω с центром в точке $O$ касается стороны $BC$ треугольника $ABC$ в точке $M$ и продолжений сторон $AB$ и $AC$. Вписанная в этот треугольник окружность с центром в точке $E$ касается стороны $BC$ в точке $K$.
а) Докажите, что $BK=CM$.
б) Найдите площадь четырехугольника $OKEM$, если известно, что $AC=5,BC=6,AB=4.$
Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №167 А. Ларина
16. В окружность с центром в точке $O$ вписан прямоугольный треугольник $ABC$ с гипотенузой $AB$. На большем катете $BC$ взята точка $D$ так, что $AC=BD$. Точка $E$ – середина дуги $ACB$.
а) Докажите, что $\angle CED=90^{\circ}.$
б) Найдите площадь пятиугольника $AODEC$, если известно, что $AB=13,AC=5.$
Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №166 А. Ларина
16. Точка $K$ лежит на диаметре $AB$ окружности с центром $O$. $C$ и $D$ – точки окружности, расположенные по одну сторону от $AB$, причем $\angle OCK=\angle ODK.$
а) Докажите, что $\angle CKB=\angle DKA.$
б) Найдите площадь четырехугольника с вершинами в точках $A,B,C,D$, если известно, что $OK=3,6, BK=9,6,\angle OCK=\angle ODK=30^{\circ}.$
Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №165 А. Ларина
16. В треугольнике $ABC$ $BA=8,BC=7,\angle B=120^{\circ}.$
Вписанная в треугольник окружность ω касается стороны $AC$ в точке $M$.
а) Докажите, что $AM=BC.$
б) Найдите длину отрезка с концами на сторонах $AB$ и $AC$, перпендикулярного $AB$ и касающегося окружности ω.
Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №163 А. Ларина
16. Четырехугольник со взаимно перпендикулярными диагоналями $AC$ и $BD$ вписан в окружность.
а) Докажите, что квадрат диаметра окружности равен сумме квадратов противоположных сторон четырехугольника.
б) Найдите площадь четырехугольника $ABCD$, если известно, что $AB=\sqrt5,BC=\sqrt2,CD=\sqrt7.$ Читать далее
Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №162 А. Ларина
16. Высота равнобедренной трапеции $ABCD$ ($BC$ и $AD$ – основания) равна длине её средней линии.
а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.
б) Найдите радиус окружности, касающейся сторон $AB$, $BC$ и $CD$ трапеции, если известно, что $BC=4$, $AD=6$. Читать далее
Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18 Тренировочной работы №161 А. Ларина.
16. В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AK$ и $BP.$
а) Докажите, что углы $ABP$ и $AKP$ равны.
б) Найдите длину отрезка $PK$, если известно, что $AB=5,BC=6,AC=4.$ Читать далее
Главная
Справочник
Видеоуроки
ЕГЭ
МГУ
Тесты
Карта сайта
Контакты
