Подготовка к ЕГЭ по математике

2024

1.1. (Пробник 2023) В кошельке у Коли было $n$ монет достоинством $2, 5$ или $10$ рублей. Коля сделал несколько покупок, расплатился за каждую покупку отдельно и без сдачи только этими монетами, потратив при этом все монеты из кошелька.

a) Могли ли покупками быть альбом за $56$ рублей и кисточка за $29$ рублей, если $n=14$?

б) Могли ли покупками быть тетрадь за $10$ рублей, линейка за $15$ рублей и карандаш за $20$ рублей, если $n=19$?

в) Какое наименьшее количество пятирублевых монет могло быть в кошельке, если Коля купил только набор фломастеров за 85 рублей, а $n=24?$

Решение Ответ: а) да; б) нет; в) $7.$

1.2. (Пробник 2023) В кошельке у Ильи было $n$ монет достоинством 2, 5 или 10 рублей. Илья сделал несколько покупок, расплатился за каждую покупку отдельно и без сдачи только этими монетами, потратив при этом все монеты из кошелька.

a) Могли ли покупками быть шоколад за 64 рубля и сок за 31 рубль, если $n=16?$

б) Могли ли покупками быть чашка кофе за 15 рублей, молочный ломтик за 20 рублей и сэндвич за 25 рублей, если $n=26?$

в) Какое наименьшее количество пятирублёвых монет могло быть в кошельке, если Илья купил только мармелад за 96 рублей, а $n=19?$

Ответ: а) да; б) нет; в) $6.$

2023

1.1. (ЕГЭ 2023) В классе больше 10, но не больше 26 учащихся, а доля девочек не превышает 21%.

а)  Может ли в этом классе быть 5 девочек?

б)  Может ли доля девочек составить 30%, если в этот класс придёт новая девочка?

в)  В этот класс пришла новая девочка. Доля девочек в классе составила целое число процентов. Какое наибольшее число процентов может составить доля девочек в классе?

Решение Ответ: а) да; б) нет; в) 25.

1.2. (ЕГЭ 2023) В классе больше 10, но не больше 26 учащихся, а доля девочек не превышает 36%.

а)  Может ли в этом классе быть 7 девочек?

б)  Может ли доля девочек составить 45%, если в этот класс придёт новая девочка?

в)  В этот класс пришла новая девочка. Доля девочек в классе составила целое число процентов. Какое наибольшее число процентов может составить доля девочек в классе?

Ответ: а) да; б) нет; в) 40.

2.1. (ЕГЭ 2023) Даны числа A и B. Из них можно сделать числа A + 2 и B − 1 или B + 2 и A − 1, только если следующая пара этих чисел будет натуральной. Известно, что A  =  7, B  =  11.

а)  Можно ли за 20 ходов создать пару, где одно из чисел равно 50?

б)  За сколько ходов можно сделать пару, где сумма чисел будет равна 600?

в)  Какое наибольшее число ходов можно сделать, чтобы оба числа не превышали 50?

Решение Ответ: а) нет; б) 582; в) 81.

2.2. (ЕГЭ 2023) Даны числа A и B. Из них можно сделать числа A + 2 и B − 1 или B + 2 и A − 1, только если следующая пара этих чисел будет натуральной. Известно, что A  =  4, B  =  5.

a) Можно ли получить число 200 за 100 ходов?
б) Сколько нужно сделать ходов, чтобы получить сумму равную 300.

в) Сколько нужно сделать ходов, чтобы получить максимальную сумму, при этом ни одно число не превышает 200.

Ответ: а) нет; б) 291; в) 390.

3.1. (ЕГЭ 2023) На доске написано трёхзначное число A. Серёжа зачёркивает одну цифру и получает двузначное число B, затем Коля записывает число A и зачеркивает одну цифру (возможно ту же, что Серёжа) и получает число C.

а)  Может ли быть верным уравнение A=B•C, если A>140

б)  Может ли быть верным уравнение A=B•C, если 440$\leq $A<500. 

в)  Найдите наибольшее число A до 900 для которого выполняется A=B•C.

Решение Ответ: а) да; б) нет; в) 810.

3.2. (ЕГЭ 2023) Есть трёхзначное число A, которое написал Петя. Костя и Ваня вычёркивают по одной цифре в числе, получаются двухзначные числа B и C, причём и Костя и Ваня могут вычеркнуть одинаковые цифры.

а)  Может ли быть верно равенство A=B•C, если A>130.

б)  Может ли быть верно равенство  A=B•C, если 540<A$\leq$ 600.

в)  Какое максимальное A соответствует условию A=B•C.

Ответ: а) да; б) нет; в) 910.

4.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) Дано натуральное число. К этому числу можно либо прибавить утроенную сумму его цифр, либо вычесть утроенную сумму его цифр. После прибавления или вычитания суммы цифр, число должно остаться натуральным.

а)  Можно ли получить из числа $128$ число $29$?

б)  Можно ли получить из числа $128$ число $31$?

в)  Какое наименьшее число можно было получить из числа $128$?

Решение Ответ: а) да; б) нет; в) 2.

4.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) Дано натуральное число. На каждом ходе из него либо вычитают утроенную сумму цифр, либо прибавляют утроенную сумму цифр, так, что полученное число остается натуральным.

a)  Могло ли из числа  $65$ получиться число $41$?

б)  Могло ли из числа $65$ получиться число $43$?

в)  Какое наименьшее двузначное число можно получить из $65$?

Ответ: а) да; б) нет; в) $11.$

5.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) Трёхзначное натуральное число, в десятичной записи которого нет нулей, разделили на произведение его цифр.

а)  Может ли получившееся частное быть равным $5$?

6)  Может ли получившееся частное быть равным $1$?

в)  Какое наименьшее значение может принимать это частное?

Решение Ответ: а)  да; б)  нет; в)  $\frac{37}{27}.$

5.2. (ЕГЭ 2016) Рассмотрим частное трёхзначного числа, в записи которого нет нулей, и произведения его цифр.
а) Приведите пример числа, для которого это частное равно $\frac{113}{27}.$
б) Может ли это частное равняться $\frac{125}{27}$?
в) Какое наибольшее значение может принимать это частное, если оно равно несократимой дроби со знаменателем $27$?

 Ответ: а) $339$; б) нет; в) $\frac{931}{27}.$

6.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) Бесконечная геометрическая прогрессия $b_1, b_2, …, b_n, …$ состоит из различных натуральных чисел. Пусть $S_1  =  b_1$ и $S_n=  b_1 + b_2+ … + b_n$ при всех натуральных $n\geq 2.$

а)  Существует ли такая прогрессия, среди чисел $S_1, S_2, S_3, S_4$ которой ровно два числа делятся на $60$?

б)  Существует ли такая прогрессия, среди чисел  $S_1, S_2, S_3, S_4$ которой ровно три числа делятся на $60?$

в)  Какое наибольшее количество чисел среди  $S_1, S_2, S_3, …, S_{12}$  может делиться на $60,$ если известно, что $S_1$ на $60$ не делится?

Решение Ответ: а)  да; б)  нет; в)  $6.$

6.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) Бесконечная геометрическая прогрессия $b_1, b_2, …, b_n, …$ состоит из различных натуральных чисел. Пусть $S_1  =  b_1$ и $S_n=  b_1 + b_2+ … + b_n$ при всех натуральных $n\geq 2.$

а)  Существует ли такая прогрессия, среди чисел $S_1, S_2, S_3, S_4$  которой ровно два числа делятся на $40$?

б)  Существует ли такая прогрессия, среди чисел $S_1, S_2, S_3, S_4$  которой ровно три числа делятся на $40$?

в)  Какое наибольшее количество чисел среди $S_1, S_2, S_3, …, S_{8}$ может делиться на $40,$ если известно, что $S_1$ на $40$ не делится?

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  $4.$

7.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) Егор делит линейку на части. За одно действие он может отрезать от любого количества линеек равные части, имеющие целую длину.

а)  Может ли Егор за $4$ хода разделить линейку длиной в $16$ см на части по $1$ см?

б)  Может ли Егор за $5$ ходов разделить линейку длиной в $100$ см на части по $1$ см?

в)  За какое наименьшее количество ходов Егор может разделить линейку длиной в $300$ см на части по $1$ см?

Решение Ответ: а) да; б) нет; в) $9.$

7.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) Егор делит линейку на части. За одно действие он может отрезать от любого количества линеек равные части, имеющие целую длину.

а)  Может ли Егор за $5$ ходов разделить линейку длиной в $32$ см на части по $1$ см?

б)  Может ли Егор за $4$ хода разделить линейку длиной в $50$ см на части по $1$ см?

в)  За какое наименьшее количество ходов Егор может разделить линейку длиной в $200$ см на части по $1$ см?

Ответ: а) да; б) нет; в) $8.$

8.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) У Пети есть монеты номиналом $1, 2, 5$ и $10$ рублей. Каждого вида монет у него по $100$ штук. Цена пирожного в рублях выражается целым числом. Петя хочет купить пирожное без сдачи, но до покупки не знает сколько оно стоит.

а)  Может ли Петя выбрать дома $16$ монет так, чтобы купить пирожное стоимостью не более $100$  рублей?

б)  Может ли Петя выбрать дома $5$ монет так, чтобы купить пирожное стоимостью не более $25$  рублей?

в)  Какое наименьшее количество монет нужно взять Пете, если известно, что пирожное стоит не более $100$  рублей?

Решение Ответ: а) да; б) нет; в) $13.$

10.1. (ЕГЭ 2023, резерв) Квадратное уравнение $x^2-px+q=0$  с натуральными коэффициентами p и q имеет два натуральных корня.

а)  Найдите все возможные значения p, если q  =  5.

б)  Могут ли одновременно выполняться неравенства p  <  10 и q  >  30?

в)  Найдите наименьшее значение p при q  >  30.

Решение Ответ: а) 6; б) нет; в) 12.

10.2. (ЕГЭ 2023, резерв) Квадратное уравнение $x^2-px+q=0$  с натуральными коэффициентами p и q имеет два натуральных корня.

а)  Найдите все возможные значения p, если q  =  13.

б)  Могут ли одновременно выполняться неравенства p < 8  и q > 20?

в)  Найдите наименьшее значение p при  q > 20.

Ответ: а) 14; б) нет; в) 10.

11. (ЕГЭ 2023) Дана правильная несократимая дробь $\frac{a}{b}.$ За один ход можно увеличить числитель на знаменатель, а знаменатель на два числителя, т. е. получить несократимую дробь $\frac{a+b}{b+2a}.$

а)  Можно ли из дроби $\frac{2}{3}$ получить дробь $\frac{29}{41}$?

б)  Можно ли из некоторой дроби получить дробь $\frac{6}{7}$ за 2 хода.

в)  Дробь  $\frac{c}{d}$ больше  $\frac{7}{10}.$ Найдите минимальную дробь $\frac{c}{d},$ которую нельзя получить из другой правильной несокращаемой дроби за 2 хода.

Решение Ответ: а) да; б) нет; в) 5/7.

12.1. (ЕГЭ 2023, резерв) Есть контейнеры массой 7 тонн и массой 2 тонны и корабли грузоподъемностью 10 тонн.

а)  Можно ли увезти за один раз 11 контейнеров массой 7 тонн и 22 контейнера массой 2 тонны на 14 кораблях?

б)  Можно ли увезти за один раз 11 контейнеров массой 7 тонн и 22 контейнера массой 2 тонны на 12 кораблях?

в)  На каком наименьшем количестве кораблей можно увести за один раз 11 контейнеров массой 7 тонн и 77 контейнеров массой 2 тонны?

Решение Ответ: а)  да; б)  нет; в)  25.

12.2. (ЕГЭ 2023, резерв) Есть контейнеры массой 7 тонн и массой 2 тонны и корабли грузоподъемностью 10 тонн.

а)  Можно ли увезти за один раз 12 контейнеров массой 7 тонн и 24 контейнера массой 2 тонны на 15 кораблях?

б)  Можно ли увезти за один раз 12 контейнеров массой 7 тонн и 18 контейнера массой 2 тонны на 13 кораблях?

в)  На каком наименьшем количестве кораблей можно увести за один раз 12 контейнеров массой 7 тонн и 45 контейнеров массой 2 тонны?

Ответ: а) да; б) нет; в) 19.