16 (С4) Планиметр. задачи | Подготовка к ЕГЭ по математике- страница 3

Архив по категории: 16 (С4) Планиметр. задачи

27 Окт 2016

Задание №16 Т/Р №168 А. Ларина

Елена Репина 2016-10-27 2016-10-26

Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №168 А. Ларина

16. Окружность ω с центром в точке $O$ касается стороны $BC$ треугольника $ABC$ в точке $M$ и продолжений сторон $AB$ и $AC$ . Вписанная в этот треугольник окружность с центром в точке $E$ касается стороны $BC$ в точке $K$ .
а) Докажите, что $BK=CM$ .
б) Найдите площадь четырехугольника $OKEM$ , если известно, что $AC=5,BC=6,AB=4.$

Автор: egeMax | Нет комментариев

Категория: 16 (С4) Планиметр. задачиТ/P A. Ларина

20 Окт 2016

Задание №16 Т/Р №167 А. Ларина

Елена Репина 2016-10-20 2016-10-19

Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №167 А. Ларина

16. В окружность с центром в точке $O$ вписан прямоугольный треугольник $ABC$ с гипотенузой $AB$ . На большем катете $BC$ взята точка $D$ так, что $AC=BD$ . Точка $E$ – середина дуги $ACB$ .

а) Докажите, что $\angle CED=90^{\circ}.$
б) Найдите площадь пятиугольника $AODEC$ , если известно, что $AB=13,AC=5.$

Автор: egeMax | Нет комментариев

Категория: 16 (С4) Планиметр. задачиТ/P A. Ларина

13 Окт 2016

Задание №16 Т/Р №166 А. Ларина

Елена Репина 2016-10-13 2016-12-24

Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №166 А. Ларина

16. Точка $K$ лежит на диаметре $AB$ окружности с центром $O$ . $C$ и $D$ – точки окружности, расположенные по одну сторону от $AB$ , причем $\angle OCK=\angle ODK.$

а) Докажите, что $\angle CKB=\angle DKA.$
б) Найдите площадь четырехугольника с вершинами в точках $A,B,C,D$ , если известно, что $OK=3,6, BK=9,6,\angle OCK=\angle ODK=30^{\circ}$ .

Автор: egeMax | Нет комментариев

Категория: 16 (С4) Планиметр. задачиТ/P A. Ларина

06 Окт 2016

Задание №16 Т/Р №165 А. Ларина

Елена Репина 2016-10-06 2016-10-13

Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №165 А. Ларина

16. В треугольнике $ABC$ $BA=8,BC=7,\angle B=120^{\circ}.$

Вписанная в треугольник окружность ω касается стороны $AC$ в точке $M$ .

а) Докажите, что $AM=BC.$

б) Найдите длину отрезка с концами на сторонах $AB$ и $AC$ , перпендикулярного $AB$ и касающегося окружности ω.

Автор: egeMax | Нет комментариев

Категория: 16 (С4) Планиметр. задачиТ/P A. Ларина

22 Сен 2016

Задание №16 Т/Р №163 А. Ларина

Елена Репина 2016-09-22 2016-09-21

Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №163 А. Ларина

16. Четырехугольник со взаимно перпендикулярными диагоналями $AC$ и $BD$ вписан в окружность.
а) Докажите, что квадрат диаметра окружности равен сумме квадратов противоположных сторон четырехугольника.
б) Найдите площадь четырехугольника $ABCD$ , если известно, что $AB=\sqrt5,BC=\sqrt2,CD=\sqrt7.$ Читать далее

Автор: egeMax | комментария 4

Категория: 16 (С4) Планиметр. задачи

15 Сен 2016

Задание №16 Т/Р №162 А. Ларина

Елена Репина 2016-09-15 2016-10-13

Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №162 А. Ларина

16. Высота равнобедренной трапеции $ABCD$ ( $BC$ и $AD$ – основания) равна длине её средней линии.
а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.
б) Найдите радиус окружности, касающейся сторон $AB$ , $BC$ и $CD$ трапеции, если известно, что $BC=4$ , $AD=6$ . Читать далее

Автор: egeMax | Нет комментариев

Категория: 16 (С4) Планиметр. задачиТ/P A. Ларина

08 Сен 2016

Задание №16 Т/Р №161 А. Ларина

Елена Репина 2016-09-08 2016-10-13

Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18 Тренировочной работы №161 А. Ларина.

16. В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AK$ и $BP.$

а) Докажите, что углы $ABP$ и $AKP$ равны.

б) Найдите длину отрезка $PK$ , если известно, что $AB=5,BC=6,AC=4.$ Читать далее

Автор: egeMax | Нет комментариев

Категория: 16 (С4) Планиметр. задачиТ/P A. Ларина

07 Сен 2016

Путеводитель по задачам С4 (№16)

Елена Репина 2016-09-07 2021-06-13

Список всех задач №16, разобранных на сайте

(список пополняется)

-14. (Реальный ЕГЭ, 2021) Дан параллелограмм $ABCD$ с острым углом $A$ . На продолжении стороны $AD$ за точку $D$ взята точка $N$ такая, что $CN = CD$ , а на продолжении стороны $CD$ за точку $D$ взята такая точка $M$ , что $AD = AM.$

а) Докажите, что $BM = BN$ .

б) Найдите $MN,$ если $AC = 4,$ $sin\angle BAD=\frac{8}{17}.$

Ответ: $\frac{120}{17}.$ Решение

-13. (Реальный ЕГЭ, 2021)

Трапеция $ABCD$ с большим основанием $AD$ и высотой $BH$ вписана в окружность. Прямая $BH$ вторично пересекает эту окружность в точке $K$ .

а) Докажите, что прямые $AC$ и $AK$ перпендикулярны.

б) Прямые $CK$ и $AD$ пересекаются в точке $N$ . Найдите $AD$ , если радиус окружности равен $12$ , а площадь четырёхугольника $BCNH$ в $8$ раз больше площади треугольника $KNH$ .

Ответ: $4\sqrt{33}.$ Решение

-12. (Реальный ЕГЭ, 2020) На сторонах $AB, BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $C_1$ , $A_1$ и $B_1$ соответственно, причём $AC_1:C_1B= 8: 3$ , $BA_1:A_1C = 1: 2$ , $CB_1:B_1A = 3 ∶ 1$ .
Отрезки $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $D$ .
а) Докажите, что $ADA_1B_1$ — параллелограмм.
б) Найдите $CD$ , если отрезки $AD$ и $BC$ перпендикулярны, $AC=28, BC = 18$ .

Ответ: 17. Видеорешение

-11. (Демо ЕГЭ, 2020) Две окружности касаются внешним образом в точке $K.$ Прямая $AB$ касается первой окружности в точке $A$ , а второй — в точке $B$ . Прямая $BK$ пересекает первую окружность в точке $D$ , прямая $AK$ пересекает вторую окружность в точке $C$ .

а) Докажите, что прямые $AD$ и $BC$ параллельны.

б) Найдите площадь треугольника $AKB$ , если известно, что радиусы окружностей равны $4$ и $1$ .

Ответ: $3,2.$ Видеорешение

-10. (Реальный ЕГЭ, 2019) Около треугольника $ABC$ описана окружность. Прямая $BO$ , где $O$ — центр вписанной окружности, вторично пересекает описанную окружность в точке $P$ .

а) Докажите, что $OP=AP.$

б) Найдите расстояние от точки $P$ до прямой $AC$ , если $\angle ABC=120^{\circ},$ а радиус описанной окружности равен $18$ . Ответ: $27.$ Решение

-9. (Реальный ЕГЭ, 2019) Около остроугольного треугольника $ABC$ с различными сторонами описана окружность. $BN$ – диаметр. Высота $BH$ повторно пересекает окружность в точке $K$ . Угол $BAC$ равен $35^{\circ}$ , угол $ACB$ – $65^{\circ}.$
a) Докажите, что $AN=CK$ .
б) Найдите $KN$ , если радиус окружности равен $12$ . Ответ: $12.$ Решение

-8. (Реальный ЕГЭ, 2018) Окружность с центром $O_1$ касается оснований $BC$ и $AD$ и боковой стороны $AB$ трапеции $ABCD$ . Окружность с центром $O_2$ касается сторон $BC$ , $CD$ и $AD$ .
Известно, что $AB=10,BC=9,CD=30,AD=39.$
а) Докажите, что прямая $O_1O_2$ параллельна основаниям трапеции $ABCD.$
б) Найдите $O_1O_2$ . Ответ: $4.$ Решение

-7. (Досрочный резервный ЕГЭ, 2018) В треугольнике $ABC$ угол $ABC$ тупой, $H$ — точка пересечения продолжений высот, угол $AHC$ равен $60$ °.
а) Докажите, что угол $ABC$ равен $120$ °.
б) Найдите $BH$ , если $AB= 7, BC = 8.$ Ответ: $\frac{13}{\sqrt3}.$ Решение

-6. (Досрочный ЕГЭ, 2018) В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известны стороны и диагональ: $AB=3,BC=CD=5,AD=8,AC=7.$

а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.
б) Найдите $BD.$ Ответ: $\frac{55}{7}.$ Решение

-5. (Реальный ЕГЭ, 2017) Основания трапеции равны $4$ и $9$ , а её диагонали равны $5$ и $12$ .

а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.

б) Найдите высоту трапеции. Ответ: $\frac{60}{13}.$ Решение

-4. (Реальный ЕГЭ, 2017) Две окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$ , причём точки $O_1$ и $O_2$ лежат по разные стороны от прямой $AB$ . Продолжения диаметра $CA$ первой окружности и хорды $CB$ этой окружности пересекают вторую окружности в точках $D$ и $E$ соответственно.

а) Докажите, что треугольники $CBD$ и $O_1AO_2$ подобны.

б) Найдите $AD$ , если $\angle DAE=\angle BAC,$ радиус второй окружности втрое больше радиуса первой и $AB=3$ . Ответ: $9.$ Решение

-3. (Реальный ЕГЭ, 2017) Точка $E$ – середина боковой стороны $CD$ трапеции $ABCD.$ На стороне $AB$ отмечена точка $K$ так, что $CK\parallel AE.$ Прямые $CK,BE$ пересекаются в точке $O.$

а) Докажите, что $CO=OK.$

б) Найдите отношение оснований трапеции $BC$ и $AD,$ если площадь треугольника $BCK$ составляет $\frac{9}{64}$ площади трапеции $ABCD.$ Ответ: $3:5.$ Решение

-2. (Резервный ЕГЭ, 2017) В трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ вписана окружность с центром $O$ .

а) Докажите, что $sin AOD=sinBOC.$

б) Найдите площадь трапеции, если $\angle BAD=90^{\circ}$ , а основания равны $5$ и $7$ .

Ответ: $35.$ Решение

-1. (Резервный ЕГЭ, 2017) Окружность, вписанная в трапецию $ABCD$ , касается ее боковых сторон $AB$ и $CD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Известно, что $AM=8MB$ и $DN=2CN.$

а) Докажите, что $AD=4BC.$

б) Найдите длину отрезка $MN$ , если радиус окружности равен $\sqrt6$ . Ответ: $4.$ Решение Читать далее

Автор: egeMax | Нет комментариев

Категория: 16 (С4) Планиметр. задачи

09 Июн 2015

Задание №18 реального ЕГЭ по математике от 4 июня 2015

Елена Репина 2015-06-09 2016-04-22

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Разбор задания №18 одного из вариантов

Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20, №21.
Две окружности касаются внутренним образом в точке А, причем меньшая проходит через центр большей. Хода ВС большей окружности касается меньшей в точке Р. Хорды АВ и АС пересекают меньшую окружность в точках К и М соответственно.

а) Докажите, что прямые КМ и ВС параллельны.
б) Пусть L – точка пересечения отрезков КМ и АР. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 10, а ВС=16. Читать далее

Автор: egeMax | комментариев 27

Категория: 16 (С4) Планиметр. задачиЕГЭ (диагностич. работы)

01 Июн 2015

Задание №18 Т/Р №120 А. Ларина

Елена Репина 2015-06-01 2016-09-07

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20.

Окружности $\omega 1$ с центром $O_1$ и окружность $\omega 2$ с центром $O_2$ касаются внешним образом. Из точки $O_1$ к $\omega 2$ проведена касательная $O_1A$ , а из точки $O_2$ к $\omega 1$ проведена касательная $O_2B$ ( $A$ и $B$ – точки касания).
a) Докажите, что углы $O_1AB$ и $O_1O_2B$ равны.
б) Найдите площадь четырехугольника $O_1O_2AB$ , если известно, что точки $A$ и $B$ лежат по одну сторону от прямой $O_1O_2$ , а радиусы окружностей равны соответственно $2$ и $3$ . Читать далее

Автор: egeMax | Нет комментариев

Категория: 16 (С4) Планиметр. задачиПланиметрияТ/P A. Ларина

28 Май 2015

Задание №18 Т/Р №119 А. Ларина

Елена Репина 2015-05-28 2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20.
В прямоугольном треугольнике $ABC$ $\angle C=90^{\circ}$ проведены медианы $AM$ и $BK$ . Известно, что около четырехугольника $ABMK$ можно описать окружность.
а) Докажите, что $CK=CM$ .
б) Пусть $AB=2$ . Найдите радиус окружности, описанной около четырехугольника $ABMK$ .

Автор: egeMax | комментариев 5

Категория: 16 (С4) Планиметр. задачиПланиметрияТ/P A. Ларина

21 Май 2015

Задание №18 Т/Р №118 А. Ларина

Елена Репина 2015-05-21 2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20.

Автор: egeMax | комментариев 7

Категория: 16 (С4) Планиметр. задачиПланиметрияТ/P A. Ларина

07 Май 2015

Задание №18 Т/Р №116 А. Ларина

Елена Репина 2015-05-07 2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20.

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $CM$ . Касательная к описанной окружности треугольника $ABC$ , проходящая через точку $C$ , пересекает прямую $AB$ в точке $P$ .

а) Докажите, что $BC:AC=CP:AP$ .
б) Найдите длину отрезка $CP$ , если известно, что $AM=5, BM=4.$

Автор: egeMax | комментариев 6

Категория: 16 (С4) Планиметр. задачиПланиметрияТ/P A. Ларина

30 Апр 2015

Задание №18 Т/Р №115 А. Ларина

Елена Репина 2015-04-30 2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20.
Через вершины $A$ и $C$ прямоугольного треугольника $ABC$ ( $\angle B=90^{\circ}$ ) проведена окружность с центром в точке $O$ , касающаяся прямой $AB$ и пересекающая продолжение стороны $BC$ в точке $E$ .
а) Докажите, что сумма углов $AOE$ и $AOC$ равна $180^{\circ}$ .
б) Найдите диаметр окружности, если известно, что $BE=5$ , $AC=6$ . Читать далее

Автор: egeMax | комментария 3

Категория: 16 (С4) Планиметр. задачиТ/P A. Ларина

23 Апр 2015

Задание №18 Т/Р №114 А. Ларина

Елена Репина 2015-04-23 2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20.
В четырехугольнике $ABCD$ биссектриса угла $C$ пересекает сторону $AD$ в точке $M$ , а биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$ . Известно, что $AKCM$ – параллелограмм.
а) Докажите, что $ABCD$ – параллелограмм.
б) Найдите площадь четырехугольника $ABCD$ , если $BK=3$ , $AM=2$ , а угол между диагоналями $AC$ и $BD$ равен $60^{\circ}$ . Читать далее

Автор: egeMax | Нет комментариев

Категория: 16 (С4) Планиметр. задачиПланиметрияТ/P A. Ларина

« Назад 1 2 3 4 5 6 Вперед »