Архив по категории: 16 (С4) Планиметр. задачи

Задание №16 Т/Р №168 А. Ларина

2016-10-26

 Смотрите также №13№14№15№17№18№19 Тренировочной работы №168 А. Ларина

16. Окружность ω с центром в точке O касается стороны BC треугольника ABC в точке M и продолжений сторон AB и AC. Вписанная в этот треугольник окружность с центром в точке E касается стороны BC в точке K.
а) Докажите, что BK=CM.
б) Найдите площадь четырехугольника OKEM, если известно, что AC=5,BC=6,AB=4.

Читать далее

Задание №16 Т/Р №167 А. Ларина

2016-10-19

 Смотрите также  №13№14№15№17№18№19 Тренировочной работы №167 А. Ларина

16. В окружность с центром в точке O вписан прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB. На большем катете BC взята точка D так, что AC=BD. Точка E – середина дуги ACB.

а) Докажите, что \angle CED=90^{\circ}.
б) Найдите площадь пятиугольника AODEC, если известно, что AB=13,AC=5.

Читать далее

Задание №16 Т/Р №166 А. Ларина

2016-12-24

 Смотрите также №13№14№15№17№18№19 Тренировочной работы №166 А. Ларина

16. Точка K лежит на диаметре AB окружности с центром O. C и D – точки окружности, расположенные по одну сторону от AB, причем \angle OCK=\angle ODK.

а) Докажите, что \angle CKB=\angle DKA.
б) Найдите площадь четырехугольника с вершинами в точках A,B,C,D, если известно, что OK=3,6, BK=9,6,\angle OCK=\angle ODK=30^{\circ}.

Читать далее

Задание №16 Т/Р №165 А. Ларина

2016-10-13

 Смотрите также  №13№14№15№17№18№19 Тренировочной работы №165 А. Ларина

16. В треугольнике ABC BA=8,BC=7,\angle B=120^{\circ}.

Вписанная в треугольник окружность ω касается стороны AC в точке M.

а) Докажите, что AM=BC.

б) Найдите длину отрезка с концами на сторонах AB и AC, перпендикулярного AB и касающегося окружности  ω.

 

Читать далее

Задание №16 Т/Р №163 А. Ларина

2016-09-21

 Смотрите также №13№14№15; №17№18№19 Тренировочной работы №163 А. Ларина

16. Четырехугольник со взаимно перпендикулярными диагоналями AC и BD вписан в окружность.
а) Докажите, что квадрат диаметра окружности равен сумме квадратов противоположных сторон четырехугольника.
б) Найдите площадь четырехугольника ABCD, если известно, что AB=\sqrt5,BC=\sqrt2,CD=\sqrt7.  Читать далее

Задание №16 Т/Р №162 А. Ларина

2016-10-13

Смотрите также №13; №14; №15№17; №18; №19 Тренировочной работы №162 А. Ларина

16. Высота равнобедренной трапеции ABCD (BC и AD – основания) равна длине её средней линии.
а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.
б) Найдите радиус окружности, касающейся сторон AB, BC и CD трапеции, если известно, что BC=4, AD=6. Читать далее

Задание №16 Т/Р №161 А. Ларина

2016-10-13

Смотрите также №13№14№15№17№18 Тренировочной работы №161 А. Ларина.

16. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AK и BP.

а) Докажите, что углы ABP и AKP равны.

б) Найдите длину отрезка PK, если известно, что AB=5,BC=6,AC=4. Читать далее

Путеводитель по задачам С4 (№16)

2020-07-14
Список всех задач №16, разобранных на сайте 

(список пополняется)

-12. (Реальный ЕГЭ, 2020) На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC отмечены точки C_1 , A_1 и B_1 соответственно, причём AC_1:C_1B= 8: 3, BA_1:A_1C = 1: 2, CB_1:B_1A  = 3 ∶ 1.
Отрезки BB_1 и CC_1 пересекаются в точке D.
а) Докажите, что ADA_1B_1— параллелограмм.
б) Найдите CD, если отрезки AD и BC перпендикулярны, AC=28, BC = 18.

Ответ: 17. Видеорешение


-11. (Демо ЕГЭ, 2020) Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK  пересекает вторую окружность в точке C.

а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

Ответ: 3,2. Видеорешение


-10. (Реальный ЕГЭ, 2019) Около треугольника ABC описана окружность. Прямая BO, где O — центр вписанной окружности, вторично пересекает описанную окружность в точке P.

а) Докажите, что OP=AP.

б) Найдите расстояние от точки P до прямой AC, если \angle ABC=120^{\circ}, а радиус описанной окружности равен 18. Ответ: 27. Решение


-9. (Реальный ЕГЭ, 2019) Около остроугольного треугольника ABC с различными сторонами описана окружность. BN – диаметр. Высота BH повторно пересекает окружность в точке K. Угол BAC равен 35^{\circ}, угол ACB65^{\circ}.
a) Докажите, что  AN=CK.
б) Найдите KN, если радиус окружности равен 12. Ответ: 12. Решение


-8. (Реальный ЕГЭ, 2018) Окружность с центром O_1 касается оснований BC и AD и боковой стороны AB трапеции ABCD. Окружность с центром O_2 касается сторон BC, CD и AD.
Известно, что AB=10,BC=9,CD=30,AD=39.
а) Докажите, что прямая O_1O_2 параллельна основаниям трапеции ABCD.
б) Найдите O_1O_2. Ответ: 4. Решение


-7. (Досрочный резервный ЕГЭ, 2018) В треугольнике ABC угол ABC тупой, H — точка пересечения продолжений высот, угол AHC равен 60°.
а) Докажите, что угол ABC равен 120°.
б) Найдите BH, если AB= 7, BC = 8. Ответ: \frac{13}{\sqrt3}. Решение


-6. (Досрочный ЕГЭ, 2018) В выпуклом четырёхугольнике ABCD известны стороны и диагональ: AB=3,BC=CD=5,AD=8,AC=7.

а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.
б) Найдите BD. Ответ: \frac{55}{7}. Решение


-5. (Реальный ЕГЭ, 2017) Основания трапеции равны 4 и 9, а её диагонали равны 5 и 12.

а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.

б) Найдите высоту трапеции. Ответ: \frac{60}{13}. Решение


-4. (Реальный ЕГЭ, 2017) Две окружности с центрами O_1 и O_2 пересекаются в точках A и B, причём точки O_1 и O_2 лежат по разные стороны от прямой AB. Продолжения диаметра CA первой окружности и хорды CB этой окружности пересекают вторую окружности в точках D и E соответственно.

а) Докажите, что треугольники CBD и O_1AO_2 подобны.

б) Найдите AD, если \angle DAE=\angle BAC,  радиус второй окружности втрое больше радиуса первой и  AB=3. Ответ: 9. Решение


-3. (Реальный ЕГЭ, 2017) Точка E – середина боковой стороны CD трапеции ABCD. На стороне AB отмечена точка K  так, что CK\parallel AE. Прямые CK,BE пересекаются в точке O.

а) Докажите, что CO=OK.

б) Найдите отношение оснований трапеции BC и AD, если площадь треугольника BCK составляет \frac{9}{64} площади трапеции ABCD. Ответ: 3:5. Решение


-2. (Резервный ЕГЭ, 2017) В трапецию ABCD с основаниями AD и BC вписана окружность с центром O.

а) Докажите, что sin AOD=sinBOC.

б) Найдите площадь трапеции, если \angle BAD=90^{\circ}, а основания равны 5 и 7.

Ответ: 35. Решение


-1. (Резервный ЕГЭ, 2017) Окружность, вписанная в трапецию ABCD, касается ее боковых сторон AB и CD в точках M и N соответственно. Известно, что AM=8MB и DN=2CN.

а) Докажите, что AD=4BC.

б) Найдите длину отрезка MN, если радиус окружности равен \sqrt6. Ответ: 4. Решение Читать далее

Задание №18 реального ЕГЭ по математике от 4 июня 2015

2016-04-22

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Разбор задания №18 одного из вариантов

Смотрите также №15№16, №17№19, №20, №21.
Две окружности касаются внутренним образом в точке А, причем меньшая проходит через центр большей. Хода ВС большей окружности касается меньшей в точке Р. Хорды АВ и АС пересекают меньшую окружность в точках К и М соответственно.

а) Докажите, что прямые КМ и ВС параллельны.
б) Пусть L – точка пересечения отрезков КМ и АР. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 10, а ВС=16. Читать далее

Задание №18 Т/Р №120 А. Ларина

2016-09-07

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15№16№17№19№20.

Окружности \omega 1 с центром O_1 и окружность \omega 2 с центром O_2 касаются внешним образом. Из точки O_1 к \omega 2 проведена касательная O_1A, а из точки O_2 к \omega 1 проведена касательная O_2B (A и B – точки касания).
a) Докажите, что углы O_1AB и O_1O_2B равны.
б) Найдите площадь четырехугольника O_1O_2AB, если известно, что точки A и B лежат по одну сторону от прямой O_1O_2, а радиусы окружностей равны соответственно 2 и 3. Читать далее

Задание №18 Т/Р №119 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15№16№17№19№20.
В прямоугольном треугольнике ABC \angle C=90^{\circ} проведены медианы AM и BK. Известно, что около четырехугольника ABMK можно описать окружность.
а) Докажите, что CK=CM.
б) Пусть AB=2. Найдите радиус окружности, описанной около четырехугольника ABMK.

Читать далее

Задание №18 Т/Р №118 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15№16№17№19№20.

Читать далее

Задание №18 Т/Р №116 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15№16№17№19№20.

В треугольнике ABC проведена биссектриса CM. Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке P.
а) Докажите, что BC:AC=CP:AP.
б) Найдите длину отрезка CP, если известно, что AM=5, BM=4.

Читать далее

Задание №18 Т/Р №115 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15№16№17№19№20.
Через вершины A и C прямоугольного треугольника ABC (\angle B=90^{\circ}) проведена окружность с центром в точке O, касающаяся прямой AB и пересекающая продолжение стороны BC в точке E.
а) Докажите, что сумма углов AOE и AOC равна 180^{\circ}.
б) Найдите диаметр окружности, если известно, что BE=5, AC=6.
Читать далее

Задание №18 Т/Р №114 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15, №16№17№19№20.
В четырехугольнике ABCD биссектриса угла C пересекает сторону AD в точке M, а биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке K. Известно, что AKCM – параллелограмм.
а) Докажите, что ABCD – параллелограмм.
б) Найдите площадь четырехугольника ABCD, если BK=3, AM=2, а угол между диагоналями AC и BD равен 60^{\circ}. Читать далее