Архив по категории: 19 Числа, их свойства

Тренировочная работа от 26.01.2017. Часть С, №19

2023-06-18

Разбор заданий части С
(разбор заданий 1-12, также №13№14№15; №16; №17№18)

19. Конечная возрастающая последовательность $a_1;a_2;…;a_n$ состоит из $n\geq 3$ различных натуральных чисел, причём при всех натуральных $k\leq n-2$ выполнено равенство $4a_{k+2}=7a_{k+1}-3a_{k}$.

а) Приведите пример такой последовательности при $n=5$.
б) Может ли в такой последовательности при некотором $n\geq 3$ выполняться равенство $a_{n}=4a_{2}-3a_{1}$?

в) Какое наименьшее значение может принимать $a_1$, если $a_n = 527$? Читать далее

Задание №19 Т/Р №181 А. Ларина

2023-06-18

Смотрите также №13№14№15№16№17№18 Тренировочной работы №181 А. Ларина 

19. a) Найти натуральное число $n$ такое, чтобы сумма $1+2+3+…+n$ равнялась трехзначному числу, все цифры которого одинаковы.

б) Сумма четырех чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равна $1$, а сумма кубов этих чисел равна $0,1$. Найти эти числа.

Читать далее

Задание №19 Т/Р №176 А. Ларина

2023-06-18

Смотрите также №13№14№15№16№17№18  Тренировочной работы №176 А. Ларина 

19. Дан клетчатый квадрат размером 6х6.

а) Можно ли этот квадрат разрезать на десять попарно различных клетчатых многоугольников?
б) Можно ли этот квадрат разрезать на одиннадцать попарно различных клетчатых многоугольников?
в) На какое наибольшее число попарно различных клетчатых прямоугольников можно разрезать этот квадрат?

Читать далее

Задание №19 Т/Р №171 А. Ларина

2023-06-18

Смотрите также №13№14№15№16№17№18  Тренировочной работы №171 А. Ларина 

19. а) Может ли разность квадратов двух натуральных чисел равняться кубу натурального числа?

б) Может ли разность кубов двух натуральных чисел равняться квадрату натурального числа?
в) Найдите все простые числа, каждое из которых равно разности кубов двух простых чисел.

Читать далее

Задание №19 Т/Р №170 А. Ларина

2023-06-18

Смотрите также  №13№14№15№16№17№18 Тренировочной работы №170 А. Ларина 

19. Про натуральное пятизначное число N известно, что оно делится на 12, и сумма его цифр делится на 12.

А) Могут ли все пять цифр в записи числа N быть различными?
Б) Найдите наименьшее возможное число N;
В) Найдите наибольшее возможное число N;
Г) Какое наибольшее количество одинаковых цифр может содержаться в записи числа N? Сколько всего таких чисел N (содержащих в своей записи наибольшее количество одинаковых цифр)?

Читать далее

Задание №19 Т/Р №168 А. Ларина

2023-06-18

Смотрите также  №13№14№15№16№17№18 Тренировочной работы №168 А. Ларина 

19. Имеется пять палочек с длинами $2, 3, 4, 5, 6$.
а) Можно ли, используя все палочки, сложить равнобедренный треугольник?

б) Можно ли, используя все палочки, сложить прямоугольный треугольник?

в) Какой наименьшей площади можно сложить треугольник, используя все палочки? (Разламывать, палочки нельзя)

Читать далее

Задание №19 Т/Р №167 А. Ларина

2023-06-18

Смотрите также  №13№14№15№16№17№18 Тренировочной работы №167 А. Ларина

19. Целые числа $x,y$ и $z$ в указанном порядке образуют геометрическую прогрессию.

а) Могут ли числа $x+3$, $y^2$ и $z+5$ образовывать в указанном порядке арифметическую прогрессию?

б) Могут ли числа $5x$, $y$ и $3z$ образовывать в указанном порядке арифметическую прогрессию?

в) Найдите все $x,y$ и $z$, при которых числа $5x+3,y^2$  и  $3z+5$ будут образовывать в указанном порядке арифметическую прогрессию.

Читать далее

Задание №19 Т/Р №166 А. Ларина

2023-06-18

Смотрите также  №13№14№15№16№17№18 Тренировочной работы №166 А. Ларина

На доске записаны два натуральных числа: 672 и 560. За один ход разрешается любое из этих чисел заменить модулем их разности либо уменьшить вдвое (если число чётное).
а) Может ли через несколько ходов на доске оказаться два одинаковых числа?
б) Может ли через несколько ходов на доске оказаться число 2?
в) Найдите наименьшее натуральное число, которое может оказаться на доске в результате выполнения таких ходов.

Читать далее

Задание №19 Т/Р №165 А. Ларина

2023-06-18

Смотрите также  №13№14№15№16№17№18 Тренировочной работы №165 А. Ларина

19. Многозначное число 123456789101112…9991000 получено в результате последовательной записи без пробелов тысячи первых натуральных чисел.

а) Какое наибольшее количество одинаковых цифр, стоящих рядом, содержится в записи этого числа?
б) Сколько всего цифр содержится в записи данного числа?
в) Какая цифра в записи этого числа стоит на 2016‐м месте?

Читать далее

Задание №19 Т/Р №163 А. Ларина

2023-06-18

Смотрите также №13№14№15№16№17№18 Тренировочной работы №163 А. Ларина

19. Решите в целых числах уравнение

а) $2x^2+5y^2=7;$

б) $2x^2-5y^2=7;$

в) $2x^2+5y^2=7xy.$ Читать далее

Задание №19 Т/Р №162 А. Ларина

2023-06-20

Смотрите также №13№14№15№16№17; №18 Тренировочной работы №162 А. Ларина

19. Рассматриваются дроби вида $\frac{n}{n+1},$ где $n\in N.$

а) Может ли сумма нескольких попарно различных дробей вида $\frac{n}{n+1}$ быть целым числом?

б) Может ли сумма двух различных дробей вида $\frac{n}{n+1}$ равняться дроби вида $\frac{n}{n+1}$?

в) Найдите наименьшее количество попарно различных дробей вида $\frac{n}{n+1},$ сумма которых больше $10.$ Читать далее

Путеводитель по задачам №18 (С7)

2024-01-01
2024

1.1. (Пробник 2023) В кошельке у Коли было $n$ монет достоинством $2, 5$ или $10$ рублей. Коля сделал несколько покупок, расплатился за каждую покупку отдельно и без сдачи только этими монетами, потратив при этом все монеты из кошелька.

a) Могли ли покупками быть альбом за $56$ рублей и кисточка за $29$ рублей, если $n=14$?

б) Могли ли покупками быть тетрадь за $10$ рублей, линейка за $15$ рублей и карандаш за $20$ рублей, если $n=19$?

в) Какое наименьшее количество пятирублевых монет могло быть в кошельке, если Коля купил только набор фломастеров за 85 рублей, а $n=24?$

Решение Ответ: а) да; б) нет; в) $7.$

1.2. (Пробник 2023) В кошельке у Ильи было $n$ монет достоинством 2, 5 или 10 рублей. Илья сделал несколько покупок, расплатился за каждую покупку отдельно и без сдачи только этими монетами, потратив при этом все монеты из кошелька.

a) Могли ли покупками быть шоколад за 64 рубля и сок за 31 рубль, если $n=16?$

б) Могли ли покупками быть чашка кофе за 15 рублей, молочный ломтик за 20 рублей и сэндвич за 25 рублей, если $n=26?$

в) Какое наименьшее количество пятирублёвых монет могло быть в кошельке, если Илья купил только мармелад за 96 рублей, а $n=19?$

Ответ: а) да; б) нет; в) $6.$


2023

1.1. (ЕГЭ 2023) В классе больше 10, но не больше 26 учащихся, а доля девочек не превышает 21%.

а)  Может ли в этом классе быть 5 девочек?

б)  Может ли доля девочек составить 30%, если в этот класс придёт новая девочка?

в)  В этот класс пришла новая девочка. Доля девочек в классе составила целое число процентов. Какое наибольшее число процентов может составить доля девочек в классе?

Решение Ответ: а) да; б) нет; в) 25.

1.2. (ЕГЭ 2023) В классе больше 10, но не больше 26 учащихся, а доля девочек не превышает 36%.

а)  Может ли в этом классе быть 7 девочек?

б)  Может ли доля девочек составить 45%, если в этот класс придёт новая девочка?

в)  В этот класс пришла новая девочка. Доля девочек в классе составила целое число процентов. Какое наибольшее число процентов может составить доля девочек в классе?

Ответ: а) да; б) нет; в) 40.


2.1. (ЕГЭ 2023) Даны числа A и B. Из них можно сделать числа A + 2 и B − 1 или B + 2 и A − 1, только если следующая пара этих чисел будет натуральной. Известно, что A  =  7, B  =  11.

а)  Можно ли за 20 ходов создать пару, где одно из чисел равно 50?

б)  За сколько ходов можно сделать пару, где сумма чисел будет равна 600?

в)  Какое наибольшее число ходов можно сделать, чтобы оба числа не превышали 50?

Решение Ответ: а) нет; б) 582; в) 81.

2.2. (ЕГЭ 2023) Даны числа A и B. Из них можно сделать числа A + 2 и B − 1 или B + 2 и A − 1, только если следующая пара этих чисел будет натуральной. Известно, что A  =  4, B  =  5.

a) Можно ли получить число 200 за 100 ходов?
б) Сколько нужно сделать ходов, чтобы получить сумму равную 300.

в) Сколько нужно сделать ходов, чтобы получить максимальную сумму, при этом ни одно число не превышает 200.

Ответ: а) нет; б) 291; в) 390.



3.1.
(ЕГЭ 2023)
На доске написано трёхзначное число A. Серёжа зачёркивает одну цифру и получает двузначное число B, затем Коля записывает число A и зачеркивает одну цифру (возможно ту же, что Серёжа) и получает число C.

а)  Может ли быть верным уравнение A=B•C, если A>140

б)  Может ли быть верным уравнение A=B•C, если 440$\leq $A<500

в)  Найдите наибольшее число A до 900 для которого выполняется A=B•C.

Решение Ответ: а) да; б) нет; в) 810.

3.2. (ЕГЭ 2023) Есть трёхзначное число A, которое написал Петя. Костя и Ваня вычёркивают по одной цифре в числе, получаются двухзначные числа B и C, причём и Костя и Ваня могут вычеркнуть одинаковые цифры.

а)  Может ли быть верно равенство A=B•C, если A>130.

б)  Может ли быть верно равенство  A=B•C, если 540<A$\leq$ 600.

в)  Какое максимальное A соответствует условию A=B•C.

Ответ: а) да; б) нет; в) 910.


4.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) Дано натуральное число. К этому числу можно либо прибавить утроенную сумму его цифр, либо вычесть утроенную сумму его цифр. После прибавления или вычитания суммы цифр, число должно остаться натуральным.

а)  Можно ли получить из числа $128$ число $29$?

б)  Можно ли получить из числа $128$ число $31$?

в)  Какое наименьшее число можно было получить из числа $128$?

Решение Ответ: а) да; б) нет; в) 2.

4.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) Дано натуральное число. На каждом ходе из него либо вычитают утроенную сумму цифр, либо прибавляют утроенную сумму цифр, так, что полученное число остается натуральным.

a)  Могло ли из числа  $65$ получиться число $41$?

б)  Могло ли из числа $65$ получиться число $43$?

в)  Какое наименьшее двузначное число можно получить из $65$?

Ответ: а) да; б) нет; в) $11.$


5.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) Трёхзначное натуральное число, в десятичной записи которого нет нулей, разделили на произведение его цифр.

а)  Может ли получившееся частное быть равным $5$?

6)  Может ли получившееся частное быть равным $1$?

в)  Какое наименьшее значение может принимать это частное?

Решение Ответ: а)  да; б)  нет; в)  $\frac{37}{27}.$

5.2. (ЕГЭ 2016) Рассмотрим частное трёхзначного числа, в записи которого нет нулей, и произведения его цифр.
а) Приведите пример числа, для которого это частное равно $\frac{113}{27}.$
б) Может ли это частное равняться $\frac{125}{27}$?
в) Какое наибольшее значение может принимать это частное, если оно равно несократимой дроби со знаменателем $27$?

 Ответ: а) $339$; б) нет; в) $\frac{931}{27}.$


6.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) Бесконечная геометрическая прогрессия $b_1, b_2, …, b_n, …$ состоит из различных натуральных чисел. Пусть $S_1  =  b_1$ и $S_n=  b_1 + b_2+ … + b_n$ при всех натуральных $n\geq 2.$

а)  Существует ли такая прогрессия, среди чисел $S_1, S_2, S_3, S_4$ которой ровно два числа делятся на $60$?

б)  Существует ли такая прогрессия, среди чисел  $S_1, S_2, S_3, S_4$ которой ровно три числа делятся на $60?$

в)  Какое наибольшее количество чисел среди  $S_1, S_2, S_3, …, S_{12}$  может делиться на $60,$ если известно, что $S_1$ на $60$ не делится?

Решение Ответ: а)  да; б)  нет; в)  $6.$

6.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) Бесконечная геометрическая прогрессия $b_1, b_2, …, b_n, …$ состоит из различных натуральных чисел. Пусть $S_1  =  b_1$ и $S_n=  b_1 + b_2+ … + b_n$ при всех натуральных $n\geq 2.$

а)  Существует ли такая прогрессия, среди чисел $S_1, S_2, S_3, S_4$  которой ровно два числа делятся на $40$?

б)  Существует ли такая прогрессия, среди чисел $S_1, S_2, S_3, S_4$  которой ровно три числа делятся на $40$?

в)  Какое наибольшее количество чисел среди $S_1, S_2, S_3, …, S_{8}$ может делиться на $40,$ если известно, что $S_1$ на $40$ не делится?

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  $4.$


7.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) Егор делит линейку на части. За одно действие он может отрезать от любого количества линеек равные части, имеющие целую длину.

а)  Может ли Егор за $4$ хода разделить линейку длиной в $16$ см на части по $1$ см?

б)  Может ли Егор за $5$ ходов разделить линейку длиной в $100$ см на части по $1$ см?

в)  За какое наименьшее количество ходов Егор может разделить линейку длиной в $300$ см на части по $1$ см?

Решение Ответ: а) да; б) нет; в) $9.$

7.2. (ЕГЭ 2023, Досрок) Егор делит линейку на части. За одно действие он может отрезать от любого количества линеек равные части, имеющие целую длину.

а)  Может ли Егор за $5$ ходов разделить линейку длиной в $32$ см на части по $1$ см?

б)  Может ли Егор за $4$ хода разделить линейку длиной в $50$ см на части по $1$ см?

в)  За какое наименьшее количество ходов Егор может разделить линейку длиной в $200$ см на части по $1$ см?

Ответ: а) да; б) нет; в) $8.$


8.1. (ЕГЭ 2023, Досрок) У Пети есть монеты номиналом $1, 2, 5$ и $10$ рублей. Каждого вида монет у него по $100$ штук. Цена пирожного в рублях выражается целым числом. Петя хочет купить пирожное без сдачи, но до покупки не знает сколько оно стоит.

а)  Может ли Петя выбрать дома $16$ монет так, чтобы купить пирожное стоимостью не более $100$  рублей?

б)  Может ли Петя выбрать дома $5$ монет так, чтобы купить пирожное стоимостью не более $25$  рублей?

в)  Какое наименьшее количество монет нужно взять Пете, если известно, что пирожное стоит не более $100$  рублей?

Решение Ответ: а) да; б) нет; в) $13.$


10.1. (ЕГЭ 2023, резерв) Квадратное уравнение $x^2-px+q=0$  с натуральными коэффициентами p и q имеет два натуральных корня.

а)  Найдите все возможные значения p, если q  =  5.

б)  Могут ли одновременно выполняться неравенства p  <  10 и q  >  30?

в)  Найдите наименьшее значение p при q  >  30.

Решение Ответ: а) 6; б) нет; в) 12.

10.2. (ЕГЭ 2023, резерв) Квадратное уравнение $x^2-px+q=0$  с натуральными коэффициентами p и q имеет два натуральных корня.

а)  Найдите все возможные значения p, если q  =  13.

б)  Могут ли одновременно выполняться неравенства p < 8  и q > 20?

в)  Найдите наименьшее значение p при  q > 20.

Ответ: а) 14; б) нет; в) 10.


11. (ЕГЭ 2023) Дана правильная несократимая дробь $\frac{a}{b}.$ За один ход можно увеличить числитель на знаменатель, а знаменатель на два числителя, т. е. получить несократимую дробь $\frac{a+b}{b+2a}.$

а)  Можно ли из дроби $\frac{2}{3}$ получить дробь $\frac{29}{41}$?

б)  Можно ли из некоторой дроби получить дробь $\frac{6}{7}$ за 2 хода.

в)  Дробь  $\frac{c}{d}$ больше  $\frac{7}{10}.$ Найдите минимальную дробь $\frac{c}{d},$ которую нельзя получить из другой правильной несокращаемой дроби за 2 хода.

Решение Ответ: а) да; б) нет; в) 5/7.


12.1. (ЕГЭ 2023, резерв) Есть контейнеры массой 7 тонн и массой 2 тонны и корабли грузоподъемностью 10 тонн.

а)  Можно ли увезти за один раз 11 контейнеров массой 7 тонн и 22 контейнера массой 2 тонны на 14 кораблях?

б)  Можно ли увезти за один раз 11 контейнеров массой 7 тонн и 22 контейнера массой 2 тонны на 12 кораблях?

в)  На каком наименьшем количестве кораблей можно увести за один раз 11 контейнеров массой 7 тонн и 77 контейнеров массой 2 тонны?

Решение Ответ: а)  да; б)  нет; в)  25.

12.2. (ЕГЭ 2023, резерв) Есть контейнеры массой 7 тонн и массой 2 тонны и корабли грузоподъемностью 10 тонн.

а)  Можно ли увезти за один раз 12 контейнеров массой 7 тонн и 24 контейнера массой 2 тонны на 15 кораблях?

б)  Можно ли увезти за один раз 12 контейнеров массой 7 тонн и 18 контейнера массой 2 тонны на 13 кораблях?

в)  На каком наименьшем количестве кораблей можно увести за один раз 12 контейнеров массой 7 тонн и 45 контейнеров массой 2 тонны?

Ответ: а) да; б) нет; в) 19.

Читать далее

Задание №21 из реального ЕГЭ по математике от 4 июня 2015

2023-07-05

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №19»

Смотрите также №15, №16, №17, №18, №19, №20.

Ученики одной школы писали тест. Результатом каждого ученика является целое неотрицательное число баллов. Ученик считается сдавшим тест, если он набрал не менее 63 баллов. Из‐за того, что задания оказались слишком трудными, было принято решение всем участникам теста добавить по 4 балла, благодаря чему количество сдавших тест увеличилось.
а) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, не сдавших тест, понизился?
б) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, сдавших тест, понизился, и средний балл участников, не сдавших тест, тоже понизился?
в) Известно, что первоначально средний балл участников теста составил 70, средний балл участников, сдавших тест, составил 80, а средний балл участников, не сдавших тест, составил 55. После добавления баллов средний балл участников, сдавших тест, стал равен 82, а не сдавших тест – 58. При каком наименьшем числе участников теста возможна такая ситуация? Читать далее