Архив по категории: 19 (С7) Числа, их свойства

Путеводитель по задачам №19 (С7)

2018-09-10
Список всех задач №19, разобранных на сайте 

(список пополняется)


-6. (Реальный ЕГЭ, 2018) В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере два учащихся, а суммарно тест писал 51 учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл был целым числом. После этого, один из учащихся, писавших тест, перешел из школы №1 в школу  №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.
а) Мог ли средний балл в школе №1 вырасти в два раза?
б) Средний балл в школе №1 вырос на 10%, средний балл в школе №2 также вырос на 10%. Мог ли первоначальный балл в школе №2 равняться 1?
в) Средний балл в школе №1 вырос на 10%, средний балл в школе №2 также вырос на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.

Ответ: а) нет; б) нет; в) 3. Решение


-5. (Досрочный ЕГЭ, резервный, 2018) На доске написано n чисел a_i (i = 1, 2, ..., n). Каждое из них не меньше 50 и не больше 150. Каждое из этих чисел уменьшают на r_i%. При этом либо r_i = 2%, либо число a_i уменьшается на 2, то есть становится равным a_i - 2. (Какие-то числа уменьшились на число 2, а какие-то — на 2 процента).
а) Может ли среднее арифметическое чисел r_1, r_2, ..., r_n быть равным 5?
б) Могло ли так получиться, что среднее арифметическое чисел r_1, r_2, ..., r_n больше 2, при этом сумма чисел a_1, a_2 ... a_n уменьшилась более чем на 2n?
в) Пусть всего чисел 30, а после выполнения описанной операции их сумма уменьшилась на 40. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел r_1, r_2, ..., r_n. Ответ: а) нет; б) да; в) \frac{8}{3}. Решение


-4. (Досрочный ЕГЭ, 2018) а) Существуют ли двузначные натуральные числа m и n такие, что

|\frac{m}{n}-\sqrt{2}|\leq \frac{1}{100}?

б) Существуют ли двузначные натуральные числа m и n такие, что

|\frac{m^2}{n^2}-2|\leq \frac{1}{10000}?

в) Найдите все возможные значения натурального числа n, при каждом из которых значение выражения |\frac{n+10}{n}-\sqrt2| будет наименьшим.

Ответ: а) 95 и 67; б) нет; в) 24. Решение


-3. (Резервный ЕГЭ, 2017) Последовательность a_1,a_2,...,a_6 состоит из неотрицательных однозначных чисел. Пусть M_k — среднее арифметическое всех членов этой последовательности, кроме k-го. Известно, что M_1=7,M_2=6.

а) Приведите пример такой последовательности, для которой M_3=6,4.

б) Существует ли такая последовательность, для которой M_3=5?

в) Найдите наименьшее возможное значение M_3.

Ответ: а) 1;6;4;9;9;7; б) нет; в) 5,2. Решение


-2. (Резервный ЕГЭ, 2017) С натуральным числом проводят следующую операцию: между каждыми двумя его соседними цифрами записывают сумму этих цифр (например, из числа 1923 получается число 110911253).

а) Приведите пример числа, из которого получается 2108124117.

б) Может ли из какого-нибудь числа получиться число 374944128?

в) Какое наибольшее число, кратное 11, может получиться из трехзначного числа?

Ответ: а) 2847; б) нет; в) 9167169. Решение


-1. (ЕГЭ, 2017) На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 2, или на цифру 6. Сумма написанных чисел равна 2454.

а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 2 и на 6.

б) Может ли ровно одно число на доске оканчивается на 6?

в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 6, может быть записано на доске?

Ответ: а) нет; б) нет; в) 11. Решение


0. (Досрочн., 2017)  На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 40 и меньше 100.

а) Может ли на доске быть 5 чисел?
б) Может ли на доске быть 6 чисел?

в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

Ответ: а) да; б) нет; в) 35. Решение


1. (ЕГЭ, 2015) Ученики одной школы писали тест. Результатом каждого ученика является целое неотрицательное число баллов. Ученик считается сдавшим тест, если он набрал не менее 63 баллов. Из‐за того, что задания оказались слишком трудными, было принято решение всем участникам теста добавить по 4 балла, благодаря чему количество сдавших тест увеличилось.
а) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, не сдавших тест, понизился?
б) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, сдавших тест, понизился, и средний балл участников, не сдавших тест, тоже понизился?
в) Известно, что первоначально средний балл участников теста составил 70, средний балл участников, сдавших тест, составил 80, а средний балл участников, не сдавших тест, составил 55. После добавления баллов средний балл участников, сдавших тест, стал равен 82, а не сдавших тест – 58. При каком наименьшем числе участников теста возможна такая ситуация? Ответ: а) да; б) да; в) 15. Решение


2. (ЕГЭ ДЕМО, 2015) На доске написано более 40, но меее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно -3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое отрицательных из них равно -8.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них? Ответ: а) 44; б) отрицательных больше; в) 17. Решение


3. (ЕГЭ резервн., 2016)  На доске написано 30 чисел: десять «5», десять «4» и десять «3». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно A, среднее арифметическое чисел во второй группе равно B. (Для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу).

а) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше \frac{A+B}{2}.

б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 15 чисел, то среднее

арифметическое всех чисел будет равно \frac{A+B}{2}.
в) Найдите наибольшее возможное значение выражения \frac{A+B}{2}.

Ответ: а) все пятерки в одной группе, остальные числа – в другой; в) 4\frac{14}{29}. Решение Читать далее

Задание №19. Реальный ЕГЭ 2018 от 1 июня

2018-09-07

Условия заданий 1-19 здесь, ответы здесь,

а также вариант 2 (13-19) и  ответы к нему

Разбор заданий №13; №14; №15№16; №17№18

19. В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере два учащихся, а суммарно тест писал 51 учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл был целым числом. После этого, один из учащихся, писавших тест, перешел из школы №1 в школу  №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.
а) Мог ли средний балл в школе №1 вырасти в два раза?
б) Средний балл в школе №1 вырос на 10%, средний балл в школе №2 также вырос на 10%. Мог ли первоначальный балл в школе №2 равняться 1?
в) Средний балл в школе №1 вырос на 10%, средний балл в школе №2 также вырос на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.

Читать далее

Задание №19. Досрочный ЕГЭ 2018

2018-05-08

Смотрите также задания №1-12№13; №14; №15№16; №17№18

19. На доске написано n чисел a_i (i = 1, 2, ..., n). Каждое из них не меньше 50 и не больше 150. Каждое из этих чисел уменьшают на r_i%. При этом либо r_i = 2%, либо число a_i уменьшается на 2, то есть становится равным a_i - 2. (Какие-то числа уменьшились на число 2, а какие-то — на 2 процента).
а) Может ли среднее арифметическое чисел r_1, r_2, ..., r_n быть равным 5?
б) Могло ли так получиться, что среднее арифметическое чисел r_1, r_2, ..., r_n больше 2, при этом сумма чисел a_1, a_2 ... a_n уменьшилась более чем на 2n?
в) Пусть всего чисел 30, а после выполнения описанной операции их сумма уменьшилась на 40. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел r_1, r_2, ..., r_n.

Читать далее

Задание №19. Досрочная волна 2018. Резервный день

2018-05-03
Разбор заданий резервного дня сдачи досрочного ЕГЭ 2018

Смотрите также задания №13; №14; №15№16; №17№18 

19. а) Существуют ли двузначные натуральные числа m и n такие, что

|\frac{m}{n}-\sqrt{2}|\leq \frac{1}{100}?

б) Существуют ли двузначные натуральные числа m и n такие, что

|\frac{m^2}{n^2}-2|\leq \frac{1}{10000}?

в) Найдите все возможные значения натурального числа n, при каждом из которых значение выражения |\frac{n+10}{n}-\sqrt2| будет наименьшим.

Читать далее

Задание №19 Т/Р №223 А. Ларина

2018-02-12

Смотрите также №13; №14; №15№16; №17№18 Тренировочной работы №224 А. Ларина.

19. а) Можно ли записать точный квадрат, использовав по 10 раз цифры 1,2,3?

б) Можно ли записать точный квадрат, использовав по 10 раз цифры 2,3,6?
в) Может ли сумма цифр точного квадрата равняться 1970?

Читать далее

Задание №19 Т/Р №223 А. Ларина

2018-02-07

Смотрите также №13; №14; №15№16; №17№18 Тренировочной работы №223 А. Ларина.

19. Дано трехзначное натуральное число, не кратное 100.

а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 89?

б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 86?
в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?

Читать далее

Задание №19 Т/Р №220 А. Ларина

2018-01-24

Смотрите также №13; №14; №15№16; №17№18 Тренировочной работы №220 А. Ларина.

19. а) Могут ли выполняться равенства a_1+a_2+a_3+a_4=a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot a_4=30, где a_1,a_2,a_3,a_4 – целые числа?

б) Могут ли выполняться равенства a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7=a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot a_4\cdot a_5\cdot a_6\cdot a_7=60, где a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7 – целые числа?
в) При каком наименьшем номере  n\geq 2 могут выполняться равенства

a_1+a_2+...+a_n=a_1\cdot a_2\cdot ...\cdot a_n=2018, где a_1,a_2,...,a_n – целые числа?

Читать далее

Задание №19 Т/Р №215 А. Ларина

2018-01-15

Смотрите также №13; №14; №15№16; №17№18 Тренировочной работы №215 А. Ларина.

19. Подковывая лошадь, кузнец тратит на одну подкову 5 минут.

а) Смогут ли два кузнеца за полчаса подковать трёх лошадей?

б) Смогут ли четыре кузнеца за 15 минут подковать трёх лошадей?
в) За какое наименьшее время 48 кузнецов смогут подковать 60 лошадей?
(Известно, что лошадь не может стоять на двух ногах, поэтому два кузнеца не могут одновременно работать с одной лошадью).

Читать далее

Задание №19 Т/Р №213 А. Ларина

2017-12-13

Смотрите также №13; №14; №15№16; №17№18 Тренировочной работы №213 А. Ларина.

19. Пусть S(N) – сумма цифр натурального числа N.

а) Может ли N+S(N) равняться 96?

б) Может ли N+S(N) равняться 97?
в) Найдите все N, для которых N+S(N) = 2017.

Читать далее

Задание №19 Т/Р №212 А. Ларина

2017-11-21

Смотрите также №13; №14; №15№16; №17№18 Тренировочной работы №212 А. Ларина.

19. Даны n ( n\geq 3 ) различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию.
а) Может ли сумма всех данных чисел равняться 22?
б) Может ли сумма всех данных чисел равняться 23?

в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 48.

Читать далее

Задание №19 Т/Р №210 А. Ларина

2018-01-11

Смотрите также №13№14№15№16; №17№18 Тренировочной работы №210 А. Ларина.

19. На листочке написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 1485. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 23 заменили на число 32).

а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 3 раза меньше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 9 раза меньше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Читать далее

Задание №19 Т/Р №209 А. Ларина

2017-11-01

Смотрите также №13; №14№15№16; №17№18 Тренировочной работы №209 А. Ларина.

19. Натуральные числа от 1 до 12 разбивают на четыре группы, в каждой из которых есть по крайней мере два числа. Для каждой группы находят сумму чисел этой группы. Для каждой пары групп находят модуль разности полученных сумм и полученные 6 чисел складывают.

а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Какое наименьшее возможное значение полученного результата?

Читать далее

Задание №19 Т/Р №207 А. Ларина

2017-10-18

Смотрите также №13№14№15№16; №17№18 Тренировочной работы №207 А. Ларина.

19. Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию (n>3).

а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 14?
б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 900?

в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 123.

Читать далее

Задание №19 Т/Р №205 А. Ларина

2017-10-05

Смотрите также №13; №14№15№16; №17№18 Тренировочной работы №205 А. Ларина.

19. Четырехзначное число A содержит в своей десятичной записи попарно различные цифры, отличные от нуля. Число B записано теми же цифрами, но в обратном порядке.

а) Найдите наибольшее значение выражения A-B.

б) Найдите наименьшее значение выражения A-B.

в) Найдите числа A и B, для которых значение выражения \frac{A}{B} будет наименьшим.

Читать далее

Задание №19 Т/Р №204 А. Ларина

2017-09-28

Смотрите также №13; №14№15№16; №17№18 Тренировочной работы №204 А. Ларина.

19. Дано двузначное натуральное число.

а) Оказалось, что частное этого числа и суммы его цифр, равно 7. Найдите все такие числа.

б) Какие натуральные значения может принимать частное данного числа и суммы его цифр?
в) Какое наименьшее значение может принимать частное данного числа и суммы его цифр?

Читать далее

Задание №19 Т/Р №202 А. Ларина

2017-09-14

Смотрите также №13; №14№15№16; №17№18 Тренировочной работы №202 А. Ларина.

19. На доске записаны 20 чисел: пять единиц, пять двоек, пять троек и пять четверок. Эти числа разбивают на две группы (в каждой группе не менее одного числа). Пусть среднее арифметическое чисел в первой группе равно A, а среднее арифметическое чисел во второй группе равно B.

а) Может ли среднее арифметическое всех 20 чисел оказаться равным \frac{A+B}{2}?
б) Может ли среднее арифметическое всех 20 чисел оказаться меньше, чем \frac{A+B}{2}?

в) Найдите наименьшее возможное значение выражения \frac{A+B}{2}.

Читать далее