19 (С7) Числа, Их Свойства | Подготовка к ЕГЭ по математике

Архив по категории: 19 (С7) Числа, их свойства

24 Май 2016

Путеводитель по задачам №19 (С7)

Елена Репина 2016-05-24 2018-09-10

Список всех задач №19, разобранных на сайте

(список пополняется)

-6. (Реальный ЕГЭ, 2018) В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере два учащихся, а суммарно тест писал $51$ учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл был целым числом. После этого, один из учащихся, писавших тест, перешел из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.
а) Мог ли средний балл в школе №1 вырасти в два раза?
б) Средний балл в школе №1 вырос на $10$ %, средний балл в школе №2 также вырос на $10$ %. Мог ли первоначальный балл в школе №2 равняться $1$ ?
в) Средний балл в школе №1 вырос на $10$ %, средний балл в школе №2 также вырос на $10$ %. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.

Ответ: а) нет; б) нет; в) $3.$ Решение

-5. (Досрочный ЕГЭ, резервный, 2018) На доске написано $n$ чисел $a_i$ ( $i = 1, 2, ..., n$ ). Каждое из них не меньше $50$ и не больше $150$ . Каждое из этих чисел уменьшают на $r_i$ %. При этом либо $r_i = 2$ %, либо число $a_i$ уменьшается на $2$ , то есть становится равным $a_i - 2$ . (Какие-то числа уменьшились на число $2$ , а какие-то — на $2$ процента).
а) Может ли среднее арифметическое чисел $r_1, r_2, ..., r_n$ быть равным $5$ ?
б) Могло ли так получиться, что среднее арифметическое чисел $r_1, r_2, ..., r_n$ больше $2$ , при этом сумма чисел $a_1, a_2 ... a_n$ уменьшилась более чем на $2n$ ?
в) Пусть всего чисел $30$ , а после выполнения описанной операции их сумма уменьшилась на $40$ . Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел $r_1, r_2, ..., r_n$ . Ответ: а) нет; б) да; в) $\frac{8}{3}.$ Решение

-4. (Досрочный ЕГЭ, 2018) а) Существуют ли двузначные натуральные числа $m$ и $n$ такие, что

$|\frac{m}{n}-\sqrt{2}|\leq \frac{1}{100}?$

б) Существуют ли двузначные натуральные числа $m$ и $n$ такие, что

$|\frac{m^2}{n^2}-2|\leq \frac{1}{10000}?$

в) Найдите все возможные значения натурального числа $n,$ при каждом из которых значение выражения $|\frac{n+10}{n}-\sqrt2|$ будет наименьшим.

Ответ: а) $95$ и $67$ ; б) нет; в) $24.$ Решение

-3. (Резервный ЕГЭ, 2017) Последовательность $a_1,a_2,...,a_6$ состоит из неотрицательных однозначных чисел. Пусть $M_k$ — среднее арифметическое всех членов этой последовательности, кроме $k$ -го. Известно, что $M_1=7,M_2=6.$

а) Приведите пример такой последовательности, для которой $M_3=6,4.$

б) Существует ли такая последовательность, для которой $M_3=5$ ?

в) Найдите наименьшее возможное значение $M_3.$

Ответ: а) $1;6;4;9;9;7$ ; б) нет; в) $5,2.$ Решение

-2. (Резервный ЕГЭ, 2017) С натуральным числом проводят следующую операцию: между каждыми двумя его соседними цифрами записывают сумму этих цифр (например, из числа $1923$ получается число $110911253$ ).

а) Приведите пример числа, из которого получается $2108124117$ .

б) Может ли из какого-нибудь числа получиться число $374944128$ ?

в) Какое наибольшее число, кратное $11$ , может получиться из трехзначного числа?

Ответ: а) $2847$ ; б) нет; в) $9167169.$ Решение

-1. (ЕГЭ, 2017) На доске написано $30$ различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру $2$ , или на цифру $6$ . Сумма написанных чисел равна $2454$ .

а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на $2$ и на $6$ .

б) Может ли ровно одно число на доске оканчивается на $6$ ?

в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на $6$ , может быть записано на доске?

Ответ: а) нет; б) нет; в) $11.$ Решение

0. (Досрочн., 2017) На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше $40$ и меньше $100$ .

а) Может ли на доске быть $5$ чисел?
б) Может ли на доске быть $6$ чисел?

в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

Ответ: а) да; б) нет; в) $35.$ Решение

1. (ЕГЭ, 2015) Ученики одной школы писали тест. Результатом каждого ученика является целое неотрицательное число баллов. Ученик считается сдавшим тест, если он набрал не менее 63 баллов. Из‐за того, что задания оказались слишком трудными, было принято решение всем участникам теста добавить по 4 балла, благодаря чему количество сдавших тест увеличилось.
а) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, не сдавших тест, понизился?
б) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, сдавших тест, понизился, и средний балл участников, не сдавших тест, тоже понизился?
в) Известно, что первоначально средний балл участников теста составил 70, средний балл участников, сдавших тест, составил 80, а средний балл участников, не сдавших тест, составил 55. После добавления баллов средний балл участников, сдавших тест, стал равен 82, а не сдавших тест – 58. При каком наименьшем числе участников теста возможна такая ситуация? Ответ: а) да; б) да; в) 15. Решение

2. (ЕГЭ ДЕМО, 2015) На доске написано более 40, но меее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно -3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое отрицательных из них равно -8.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них? Ответ: а) 44; б) отрицательных больше; в) 17. Решение

3. (ЕГЭ резервн., 2016) На доске написано $30$ чисел: десять « $5$ », десять « $4$ » и десять « $3$ ». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно $A$ , среднее арифметическое чисел во второй группе равно $B$ . (Для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу).

а) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше $\frac{A+B}{2}.$

б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по $15$ чисел, то среднее

арифметическое всех чисел будет равно $\frac{A+B}{2}.$
в) Найдите наибольшее возможное значение выражения $\frac{A+B}{2}.$

Ответ: а) все пятерки в одной группе, остальные числа – в другой; в) $4\frac{14}{29}.$ Решение Читать далее

Автор: egeMax | Нет комментариев

Категория: 19 (С7) Числа, их свойства

07 Сен 2018

Задание №19. Реальный ЕГЭ 2018 от 1 июня

Елена Репина 2018-09-07 2018-09-07

Условия заданий 1-19 здесь, ответы здесь,

а также вариант 2 (13-19) и ответы к нему

Разбор заданий №13; №14; №15; №16; №17; №18

19. В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере два учащихся, а суммарно тест писал $51$ учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл был целым числом. После этого, один из учащихся, писавших тест, перешел из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.
а) Мог ли средний балл в школе №1 вырасти в два раза?
б) Средний балл в школе №1 вырос на $10$ %, средний балл в школе №2 также вырос на $10$ %. Мог ли первоначальный балл в школе №2 равняться $1$ ?
в) Средний балл в школе №1 вырос на $10$ %, средний балл в школе №2 также вырос на $10$ %. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.

Подготовка к ЕГЭ по математике

Список всех задач №19, разобранных на сайте

Разбор заданий резервного дня сдачи досрочного ЕГЭ 2018