16. На сторонах $AB, BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $C_1$ , $A_1$ и $B_1$ соответственно, причём $AC_1:C_1B= 8: 3$, $BA_1:A_1C = 1: 2$, $CB_1:B_1A = 3 ∶ 1$.
Отрезки $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $D$.
а) Докажите, что $ADA_1B_1$— параллелограмм.
б) Найдите $CD$, если отрезки $AD$ и $BC$ перпендикулярны, $AC=28, BC = 18$.
Задание №16. Реальный ЕГЭ от 10 июля 2020
Елена Репина 2020-07-14 2023-06-13№16 Тренировочного варианта 280 А. Ларина
Елена Репина 2019-09-25 2023-06-13Смотрите также №14 Т/Р №280
16. В треугольнике $ABC$ провели высоты $AA_1$ и $BB_1$. Окружность, описанная вокруг треугольника $ANA_1$, где точка $N$ – середина стороны $AB$, пересекла прямую $A_1B_1$ в точке $K$.
а) Докажите, что прямая $AK$ касается окружности, описанной около треугольника $ABC$.
б) Найдите отношение площадей четырехугольника $ABA_1B_1$ и треугольника $CA_1B_1$, если $\angle ABC=45^{\circ}$, $AB_1=BN=1$.
Решение:
Ответ: $7+4\sqrt3.$
Теорема о длине внешней общей касательной к окружностям
Елена Репина 2019-09-06 2019-09-08Данное утверждение может быть очень полезно при решении задач на внешне касающиеся окружности.
Теорема Если две окружности касаются внешним образом, то длина отрезка общей внешней касательной равна удвоенному среднему пропорциональному их радиусов. Читать далее
Задание №18 Т/Р №120 А. Ларина
Елена Репина 2015-06-01 2023-07-05В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»
Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20.
Окружности $\omega 1$ с центром $O_1$ и окружность $\omega 2$ с центром $O_2$ касаются внешним образом. Из точки $O_1$ к $\omega 2$ проведена касательная $O_1A$, а из точки $O_2$ к $\omega 1$ проведена касательная $O_2B$ ($A$ и $B$ – точки касания).
a) Докажите, что углы $O_1AB$ и $O_1O_2B$ равны.
б) Найдите площадь четырехугольника $O_1O_2AB$, если известно, что точки $A$ и $B$ лежат по одну сторону от прямой $O_1O_2$, а радиусы окружностей равны соответственно $2$ и $3$. Читать далее
Задание №18 Т/Р №119 А. Ларина
Елена Репина 2015-05-28 2023-06-15
Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20.
В прямоугольном треугольнике $ABC$ $\angle C=90^{\circ}$ проведены медианы $AM$ и $BK$. Известно, что около четырехугольника $ABMK$ можно описать окружность.
а) Докажите, что $CK=CM$.
б) Пусть $AB=2$. Найдите радиус окружности, описанной около четырехугольника $ABMK$.
Задание №18 Т/Р №118 А. Ларина
Елена Репина 2015-05-21 2023-06-15Задание №18 Т/Р №116 А. Ларина
Елена Репина 2015-05-07 2023-06-15Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20.
б) Найдите длину отрезка $CP$, если известно, что $AM=5, BM=4.$
Задание №18 Т/Р №114 А. Ларина
Елена Репина 2015-04-23 2023-07-07
Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20.
В четырехугольнике $ABCD$ биссектриса угла $C$ пересекает сторону $AD$ в точке $M$, а биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Известно, что $AKCM$ – параллелограмм.
а) Докажите, что $ABCD$ – параллелограмм.
б) Найдите площадь четырехугольника $ABCD$, если $BK=3$, $AM=2$, а угол между диагоналями $AC$ и $BD$ равен $60^{\circ}$. Читать далее
Задание №18 Т/Р №111 А. Ларина
Елена Репина 2015-04-02 2023-07-09
Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20.
На диаметре $AB$ окружности $\omega$ выбрана точка $C$. На отрезках $AC$ и $BC$ как на диаметрах построены окружности $\omega1$ и $\omega2$ соответственно. Прямая $l$ пересекает окружность $\omega$ в точках $A$ и $D$, окружность $\omega1$ – в точках $A$ и $E$, а окружность $\omega2$ – в точках $M$ и $N$.
а) Докажите, что $MD=NE$.
б) Найдите радиус круга, касающегося окружностей $\omega$, $\omega1$ и $\omega2$, если известно, что $AC=10$, $BC=6$.
Читать далее
Задание №18 Т/Р №110 А. Ларина
Елена Репина 2015-03-26 2023-07-09
Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AM$ и $CN$.
а) Докажите, что углы $ACB$ и $MNB$ равны.
б) Вычислите длину стороны $AC$, если известно, что периметр треугольника $ABC$ равен $25$ см, периметр треугольника $BMN$ равен $15$ см, а радиус окружности, описанной около треугольника $BMN$ равен $3$ см. Читать далее
Задание №18 Т/Р №109 А. Ларина
Елена Репина 2015-03-19 2023-07-09
Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20
Площадь треугольника $ABC$ равна 72, а сумма длин сторон $AC$ и $BC$ равна 24.
а) Докажите, что треугольник $ABC$ прямоугольный.
б) Найдите сторону квадрата, вписанного в треугольник $ABC$, если известно, что две вершины этого квадрата лежат на стороне $AB$. Читать далее
Задание №18 Т/Р №108 А. Ларина
Елена Репина 2015-03-12 2023-07-09В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=BC$) проведены биссектрисы $AK$, $BM$, $CP$.
a) Докажите, что треугольник $KMP$ – равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника $KMP$, если известно, что площадь треугольника $ABC$ равна 64, а косинус угла $BAC$ равен 0,3.
Читать далее
Задание №18 Т/Р №107 А. Ларина
Елена Репина 2015-03-05 2023-07-09
Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20
$O$ – точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника $ABCD$. Периметры треугольников $AOB$, $BOC$, $COD$ и $DOA$ равны между собой.
а) Докажите, что в четырехугольник $ABCD$ можно вписать окружность.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $DOA$, если радиусы окружностей, вписанных в треугольники $AOB$, $BOC$ и $COD$ равны соответственно 3, 4 и 6. Читать далее
Задание №18 Т/Р №106 А. Ларина
Елена Репина 2015-02-26 2023-07-11
Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20
В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=BC$) проведены высоты $AK$, $BM$ и $CP$.
a) Докажите, что треугольник $KMP$ – равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника $ABC$, если известно, что площадь треугольника $KMP$ равна 12, а косинус угла $ABC$ равен 0,6.
Задание №18 Т/Р №105 А. Ларина
Елена Репина 2015-02-19 2023-07-11
Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20
Окружность касается стороны $AB$ параллелограмма $ABCD$, пересекает стороны $AD$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно и проходит через вершины $C$ и $D$.
а) Докажите, что $DN=CM$.
б) Найдите $DN$, зная, что $AM=9$, $BN=16$, $ВС=18.$
Читать далее