Подготовка к ЕГЭ по математике

 Смотрите также №14 Т/Р №280

16. В треугольнике $ABC$ провели высоты $AA_1$ и $BB_1$. Окружность, описанная вокруг треугольника $ANA_1$, где точка $N$ – середина стороны $AB$, пересекла прямую $A_1B_1$ в точке $K$.
а) Докажите, что прямая $AK$ касается окружности, описанной около треугольника $ABC$.
б) Найдите отношение площадей четырехугольника $ABA_1B_1$ и треугольника $CA_1B_1$, если $\angle ABC=45^{\circ}$, $AB_1=BN=1$.

Решение: 

Ответ: $7+4\sqrt3.$

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20.

Окружности $\omega 1$ с центром $O_1$ и окружность $\omega 2$ с центром $O_2$ касаются внешним образом. Из точки $O_1$ к $\omega 2$ проведена касательная $O_1A$, а из точки $O_2$ к $\omega 1$ проведена касательная $O_2B$ ($A$ и $B$ – точки касания).
a) Докажите, что углы $O_1AB$ и $O_1O_2B$ равны.
б) Найдите площадь четырехугольника $O_1O_2AB$, если известно, что точки $A$ и $B$ лежат по одну сторону от прямой $O_1O_2$, а радиусы окружностей равны соответственно $2$ и $3$. Читать далее

Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20.
В прямоугольном треугольнике $ABC$ $\angle C=90^{\circ}$ проведены медианы $AM$ и $BK$. Известно, что около четырехугольника $ABMK$ можно описать окружность.
а) Докажите, что $CK=CM$.
б) Пусть $AB=2$. Найдите радиус окружности, описанной около четырехугольника $ABMK$.

Читать далее

Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20.

Читать далее

Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20.

Читать далее

Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20.
В четырехугольнике $ABCD$ биссектриса угла $C$ пересекает сторону $AD$ в точке $M$, а биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Известно, что $AKCM$ – параллелограмм.
а) Докажите, что $ABCD$ – параллелограмм.
б) Найдите площадь четырехугольника $ABCD$, если $BK=3$, $AM=2$, а угол между диагоналями $AC$ и $BD$ равен $60^{\circ}$. Читать далее

Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20.

На диаметре $AB$ окружности $\omega$ выбрана точка $C$. На отрезках $AC$ и $BC$ как на диаметрах построены окружности $\omega1$ и $\omega2$ соответственно. Прямая $l$ пересекает окружность $\omega$ в точках $A$ и $D$, окружность $\omega1$ – в точках $A$ и $E$, а окружность $\omega2$ – в точках $M$ и $N$.

а) Докажите, что $MD=NE$.
б) Найдите радиус круга, касающегося окружностей $\omega$, $\omega1$ и $\omega2$, если известно, что $AC=10$, $BC=6$.
Читать далее

Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AM$ и $CN$.
а) Докажите, что углы $ACB$ и $MNB$ равны.
б) Вычислите длину стороны $AC$, если известно, что периметр треугольника $ABC$ равен $25$ см, периметр треугольника $BMN$ равен $15$ см, а радиус окружности, описанной около треугольника $BMN$ равен $3$ см. Читать далее

Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20
Площадь треугольника $ABC$ равна 72, а сумма длин сторон $AC$ и $BC$ равна 24.
а) Докажите, что треугольник $ABC$ прямоугольный.
б) Найдите сторону квадрата, вписанного в треугольник $ABC$, если известно, что две вершины этого квадрата лежат на стороне $AB$. Читать далее

В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=BC$) проведены биссектрисы $AK$, $BM$, $CP$.

a) Докажите, что треугольник $KMP$ – равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника $KMP$, если известно, что площадь треугольника $ABC$ равна 64, а косинус угла $BAC$ равен 0,3.
Читать далее

Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20
$O$ – точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника $ABCD$. Периметры треугольников $AOB$, $BOC$, $COD$ и $DOA$ равны между собой.

а) Докажите, что в четырехугольник $ABCD$ можно вписать окружность.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $DOA$, если радиусы окружностей, вписанных в треугольники $AOB$, $BOC$ и $COD$ равны соответственно 3, 4 и 6. Читать далее

Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20

В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=BC$) проведены высоты $AK$, $BM$ и $CP$.

a) Докажите, что треугольник $KMP$ – равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника $ABC$, если известно, что площадь треугольника $KMP$ равна 12, а косинус угла $ABC$ равен 0,6.

Читать далее

Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20

Окружность касается стороны $AB$ параллелограмма $ABCD$, пересекает стороны $AD$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно и проходит через вершины $C$ и $D$.
а) Докажите, что $DN=CM$.
б) Найдите $DN$, зная, что $AM=9$, $BN=16$, $ВС=18.$
Читать далее