Архив по категории: Планиметрия

Теорема о длине внешней общей касательной к окружностям

2019-09-08

Данное утверждение  может быть очень полезно при решении задач на внешне касающиеся окружности.

Теорема Если две окружности касаются внешним образом, то длина отрезка общей внешней касательной равна удвоенному среднему пропорциональному их радиусов. Читать далее

Задание №18 Т/Р №120 А. Ларина

2016-09-07

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15№16№17№19№20.

Окружности \omega 1 с центром O_1 и окружность \omega 2 с центром O_2 касаются внешним образом. Из точки O_1 к \omega 2 проведена касательная O_1A, а из точки O_2 к \omega 1 проведена касательная O_2B (A и B – точки касания).
a) Докажите, что углы O_1AB и O_1O_2B равны.
б) Найдите площадь четырехугольника O_1O_2AB, если известно, что точки A и B лежат по одну сторону от прямой O_1O_2, а радиусы окружностей равны соответственно 2 и 3. Читать далее

Задание №18 Т/Р №119 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15№16№17№19№20.
В прямоугольном треугольнике ABC \angle C=90^{\circ} проведены медианы AM и BK. Известно, что около четырехугольника ABMK можно описать окружность.
а) Докажите, что CK=CM.
б) Пусть AB=2. Найдите радиус окружности, описанной около четырехугольника ABMK.

Читать далее

Задание №18 Т/Р №118 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15№16№17№19№20.

Читать далее

Задание №18 Т/Р №116 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15№16№17№19№20.

В треугольнике ABC проведена биссектриса CM. Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке P.
а) Докажите, что BC:AC=CP:AP.
б) Найдите длину отрезка CP, если известно, что AM=5, BM=4.

Читать далее

Задание №18 Т/Р №114 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15, №16№17№19№20.
В четырехугольнике ABCD биссектриса угла C пересекает сторону AD в точке M, а биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке K. Известно, что AKCM – параллелограмм.
а) Докажите, что ABCD – параллелограмм.
б) Найдите площадь четырехугольника ABCD, если BK=3, AM=2, а угол между диагоналями AC и BD равен 60^{\circ}. Читать далее

Задание №18 Т/Р №111 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15№16№17№19№20.

На диаметре AB окружности \omega выбрана точка C. На отрезках AC и BC как на диаметрах построены окружности \omega1 и \omega2 соответственно. Прямая l пересекает окружность \omega в точках A и D, окружность \omega1 – в точках A и E, а окружность \omega2 – в точках M и N.

а) Докажите, что MD=NE.
б) Найдите радиус круга, касающегося окружностей \omega, \omega1 и \omega2, если известно, что AC=10, BC=6.
Читать далее

Задание №18 Т/Р №110 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15№16№17, №19№20.
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AM и CN.
а) Докажите, что углы ACB и MNB равны.
б) Вычислите длину стороны AC, если известно, что периметр треугольника ABC равен 25 см, периметр треугольника BMN равен 15 см, а радиус окружности, описанной около треугольника BMN равен 3 см. Читать далее

Задание №18 Т/Р №109 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15№16№17№19№20.
Площадь треугольника ABC равна 72, а сумма длин сторон AC и BC равна 24.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите сторону квадрата, вписанного в треугольник ABC, если известно, что две вершины этого квадрата лежат на стороне AB.
Читать далее

Задание №18 Т/Р №108 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC) проведены биссектрисы AK, BM, CP.
a) Докажите, что треугольник KMP – равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника KMP, если известно, что площадь треугольника ABC равна 64, а косинус угла BAC равен 0,3.
Читать далее

Задание №18 Т/Р №107 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15№16№17№19№20.
O – точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника ABCD. Периметры треугольников AOB, BOC, COD и DOA равны между собой.

а) Докажите, что в четырехугольник ABCD можно вписать окружность.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник DOA, если радиусы окружностей, вписанных в треугольники AOB, BOC и COD равны соответственно 3, 4 и 6. Читать далее

Задание №18 Т/Р №106 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15№16№17№19№20.

В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC) проведены высоты AK, BM и CP.

a) Докажите, что треугольник KMP – равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что площадь треугольника KMP равна 12, а косинус угла ABC равен 0,6.

Читать далее

Задание №18 Т/Р №105 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15№16№17№19№20.

Окружность касается стороны AB параллелограмма ABCD, пересекает стороны AD и BC в точках M и N соответственно и проходит через вершины C и D.
а) Докажите, что DN=CM.
б) Найдите DN, зная, что AM=9, BN=16, ВС=18.
Читать далее

Задание №18 Т/Р №104 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15№16№17№19№20.

Равносторонний треугольник ABC вписан в окружность. На окружности отмечена точка M, не совпадающая ни с одной из точек A, B и C.

а) Докажите, что расстояние от точки M до одной из вершин треугольника равно сумме расстояний до двух других вершин.

б) Найдите периметр четырехугольника с вершинами в точках A, B, C и M, если известно, что его площадь равна  \frac{49\sqrt3}{4}, а радиус окружности равен \sqrt{13}.

Читать далее

Задание №18 Т/Р №103 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15№16№17№19№20.

В равнобедренной трапеции ABCD точки M и N – середины оснований BC и AD соответственно. Отрезки AM и BN пересекаются в точке P, а отрезки DM и CN пересекаются в точке K.

а) Докажите, что площадь четырехугольника PMKN равна сумме площадей треугольников ABP и DCK.

б) Найдите площадь четырехугольника PMKN, если известно, что BC=8, AD=18, AB=CD=13.

Читать далее