Архив по категории: Планиметрия

Задание №18 Т/Р №120 А. Ларина

2016-09-07

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15№16№17№19№20.

Окружности \omega 1 с центром O_1 и окружность \omega 2 с центром O_2 касаются внешним образом. Из точки O_1 к \omega 2 проведена касательная O_1A, а из точки O_2 к \omega 1 проведена касательная O_2B (A и B – точки касания).
a) Докажите, что углы O_1AB и O_1O_2B равны.
б) Найдите площадь четырехугольника O_1O_2AB, если известно, что точки A и B лежат по одну сторону от прямой O_1O_2, а радиусы окружностей равны соответственно 2 и 3. Читать далее

Задание №18 Т/Р №119 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15№16№17№19№20.
В прямоугольном треугольнике ABC \angle C=90^{\circ} проведены медианы AM и BK. Известно, что около четырехугольника ABMK можно описать окружность.
а) Докажите, что CK=CM.
б) Пусть AB=2. Найдите радиус окружности, описанной около четырехугольника ABMK.

Читать далее

Задание №18 Т/Р №118 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15№16№17№19№20.

Читать далее

Задание №18 Т/Р №116 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15№16№17№19№20.

В треугольнике ABC проведена биссектриса CM. Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке P.
а) Докажите, что BC:AC=CP:AP.
б) Найдите длину отрезка CP, если известно, что AM=5, BM=4.

Читать далее

Задание №18 Т/Р №114 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15, №16№17№19№20.
В четырехугольнике ABCD биссектриса угла C пересекает сторону AD в точке M, а биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке K. Известно, что AKCM – параллелограмм.
а) Докажите, что ABCD – параллелограмм.
б) Найдите площадь четырехугольника ABCD, если BK=3, AM=2, а угол между диагоналями AC и BD равен 60^{\circ}. Читать далее

Задание №18 Т/Р №111 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15№16№17№19№20.

На диаметре AB окружности \omega выбрана точка C. На отрезках AC и BC как на диаметрах построены окружности \omega1 и \omega2 соответственно. Прямая l пересекает окружность \omega в точках A и D, окружность \omega1 – в точках A и E, а окружность \omega2 – в точках M и N.

а) Докажите, что MD=NE.
б) Найдите радиус круга, касающегося окружностей \omega, \omega1 и \omega2, если известно, что AC=10, BC=6.
Читать далее

Задание №18 Т/Р №110 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15№16№17, №19№20.
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AM и CN.
а) Докажите, что углы ACB и MNB равны.
б) Вычислите длину стороны AC, если известно, что периметр треугольника ABC равен 25 см, периметр треугольника BMN равен 15 см, а радиус окружности, описанной около треугольника BMN равен 3 см. Читать далее

Задание №18 Т/Р №109 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15№16№17№19№20.
Площадь треугольника ABC равна 72, а сумма длин сторон AC и BC равна 24.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите сторону квадрата, вписанного в треугольник ABC, если известно, что две вершины этого квадрата лежат на стороне AB.
Читать далее

Задание №18 Т/Р №108 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC) проведены биссектрисы AK, BM, CP.
a) Докажите, что треугольник KMP – равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника KMP, если известно, что площадь треугольника ABC равна 64, а косинус угла BAC равен 0,3.
Читать далее

Задание №18 Т/Р №107 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15№16№17№19№20.
O – точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника ABCD. Периметры треугольников AOB, BOC, COD и DOA равны между собой.

а) Докажите, что в четырехугольник ABCD можно вписать окружность.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник DOA, если радиусы окружностей, вписанных в треугольники AOB, BOC и COD равны соответственно 3, 4 и 6. Читать далее

Задание №18 Т/Р №106 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15№16№17№19№20.

В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC) проведены высоты AK, BM и CP.

a) Докажите, что треугольник KMP – равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что площадь треугольника KMP равна 12, а косинус угла ABC равен 0,6.

Читать далее

Задание №18 Т/Р №105 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15№16№17№19№20.

Окружность касается стороны AB параллелограмма ABCD, пересекает стороны AD и BC в точках M и N соответственно и проходит через вершины C и D.
а) Докажите, что DN=CM.
б) Найдите DN, зная, что AM=9, BN=16, ВС=18.
Читать далее

Задание №18 Т/Р №104 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15№16№17№19№20.

Равносторонний треугольник ABC вписан в окружность. На окружности отмечена точка M, не совпадающая ни с одной из точек A, B и C.

а) Докажите, что расстояние от точки M до одной из вершин треугольника равно сумме расстояний до двух других вершин.

б) Найдите периметр четырехугольника с вершинами в точках A, B, C и M, если известно, что его площадь равна  \frac{49\sqrt3}{4}, а радиус окружности равен \sqrt{13}.

Читать далее

Задание №18 Т/Р №103 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15№16№17№19№20.

В равнобедренной трапеции ABCD точки M и N – середины оснований BC и AD соответственно. Отрезки AM и BN пересекаются в точке P, а отрезки DM и CN пересекаются в точке K.

а) Докажите, что площадь четырехугольника PMKN равна сумме площадей треугольников ABP и DCK.

б) Найдите площадь четырехугольника PMKN, если известно, что BC=8, AD=18, AB=CD=13.

Читать далее

Задание №18 Т/Р №100 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также  №15№16№17№20.

В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны. Кроме того, вокруг него можно описать окружность. Из точек B и C опущены перпендикуляры на прямую AD. Они пересекают прямые AC и BD соответственно в точках E и F.

а) Докажите, что BCEF – ромб
б) Найдите отношение площади четырехугольника BCEF к площади вписанного в него круга, если BF:CE=3:4.

Читать далее