Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20
Равносторонний треугольник $ABC$ вписан в окружность. На окружности отмечена точка $M$, не совпадающая ни с одной из точек $A$, $B$ и $C$.
а) Докажите, что расстояние от точки $M$ до одной из вершин треугольника равно сумме расстояний до двух других вершин.
б) Найдите периметр четырехугольника с вершинами в точках $A$, $B$, $C$ и $M$, если известно, что его площадь равна $\frac{49\sqrt3}{4}$, а радиус окружности равен $\sqrt{13}$.
Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20
В равнобедренной трапеции $ABCD$ точки $M$ и $N$ – середины оснований $BC$ и $AD$ соответственно. Отрезки $AM$ и $BN$ пересекаются в точке $P$, а отрезки $DM$ и $CN$ пересекаются в точке $K$.
а) Докажите, что площадь четырехугольника $PMKN$ равна сумме площадей треугольников $ABP$ и $DCK$.
б) Найдите площадь четырехугольника $PMKN$, если известно, что $BC=8$, $AD=18$, $AB=CD=13$.
Смотрите также №15, №16, №17, №20
В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны. Кроме того, вокруг него можно описать окружность. Из точек $B$ и $C$ опущены перпендикуляры на прямую $AD$. Они пересекают прямые $AC$ и $BD$ соответственно в точках $E$ и $F$.
а) Докажите, что $BCEF$ – ромб
б) Найдите отношение площади четырехугольника $BCEF$ к площади вписанного в него круга, если $BF:CE=3:4.$
Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20.
В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты $AA_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $O.$
а) Докажите, что треугольники $AOC$ и $C_1OA_1$ подобны.
б) Найдите площадь четырехугольника $ACA_1C_1$, если известно, что угол $ABC$ равен $30^{\circ}$ , а площадь треугольника $ABC$ равна $80.$
Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20
Точка $E$ – середина стороны $AD$ параллелограмма $ABCD$, прямые $BE$ и $AC$ взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке $O$.
а) Докажите, что площади треугольников $AOB$ и $COE$ равны.
б) Найдите площадь параллелограмма $ABCD$, если $AB=3$, $BC=4$.
Две окружности касаются внешним образом в точке $A$. Прямая $l$ касается первой окружности в точке $B$, а второй – в точке $C$.
a) Докажите, что треугольник $ABC$ прямоугольный.
б) Найдите площадь треугольника $ABC$, если радиусы окружностей 8 и 2.
Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20.
В окружность вписан четырехугольник $ABCD$, диагонали которого перпендикулярны и пересекаются в точке $E$. Прямая, проходящая через точку $E$ и перпендикулярная к $AB$, пересекает сторону $CD$ в точке $M$.
а) Докажите, что $EM$ – медиана треугольника $CED$.
б) Найдите длину отрезка $EM$, если $AD=8$, $AB=4$ и угол $CDB$ равен $60^{\circ}$. Читать далее
Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20.
В треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ выбрана точка $K$ так, что $CK:BK=1:2$. Точка $E$ – середина стороны $AB$. Отрезки $CE$ и $AK$ пересекаются в точке $P$.
а) Докажите, что треугольники $BPC$ и $APC$ имеют равные площади.
б) Найдите площадь треугольника $ABP$, если площадь треугольника $ABC$ равна 120. Читать далее
Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20
В треугольнике $ABC$ $AB=20$, $AC=24$. Окружность с центром $O_2$ на стороне $AC$ проходит через вершину $C$, точку пересечения биссектрисы угла $A$ со стороной $BC$ и центр $O_1$ вписанной в треугольник $ABC$ окружности.
а) Докажите, что прямая $O_1O_2$ параллельна прямой $BC$;
б) Найдите радиус описанной около треугольника $ABC$ окружности. Читать далее
Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20
В трапеции $ABCD$ $BC$ и $AD$ – основания. Биссектриса угла $A$ пересекает сторону $CD$ в ее середине – точке $P$.
а) Докажите, что $BP$ – биссектриса угла $ABC$.
б) Найдите площадь трапеции $ABCD$, если известно, что $AP=8$, $BP=6$. Читать далее
Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20
Биссектрисы $AN$ и $BM$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$, причем $BO:OM=4:3$, $CN=18\sqrt{35}.$ В четырехугольник $ONCM$ вписана окружность.
а) Докажите, что треугольник $ABC$ равнобедренный.
б) Найдите радиус окружности.
Смотрите также №15, №16, №17, №20
В равнобедренном треугольнике $ABC$ $AC$ – основание. На продолжении стороны $CB$ за точку $B$ отмечена точка $D$ так, что угол $CAD$ равен углу $ABD$.
а) Докажите, что $AB$ – биссектриса угла $CAD$.
б) Найдите длину отрезка $AD$, если боковая сторона треугольника $ABC$ равна 5, а его основание равно 6. Читать далее
Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность. Точка $X$ лежит на его стороне $AD$, причем $BX||CD$ и $CX||BA$, $AX=\frac{3}{2}$ и $DX=6$.
a) Докажите, что треугольники $ABX$ и $BXC$ подобны;
б) Найдите $BC$. Читать далее
Смотрите также задания 15, 16, 17, 19, 20 Тренировочного варианта №88. А. Ларина.
Прямая $p$, параллельная основаниям $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$, пересекает прямые $AB$, $AC,$ $BD$, $CD$ в точках $E,$ $F$, $G$ и $H$ соответственно, причём $EF=FG$.
а) Докажите, что точки пересечения прямой $p$ с диагоналями $AC$ и $BD$ делят отрезок $EH$ на три равных части;
б) Найдите $EF$, если $BC=3$, $AD=4$. Читать далее
Смотрите также задания №16, №17, №20
Хорда $AB$ стягивает дугу окружности, равную 120°. Точка $C$ лежит на этой дуге, а точка $D$ лежит на хорде $AB$. При этом $AD = 2,$ $BD = 1,$ $DC = \sqrt2$.
а) Докажите, что угол $ADC$ равен $\frac{\pi}{6}.$
б) Найдите площадь треугольника $ABC$. Читать далее
Главная
Справочник
Видеоуроки
ЕГЭ
МГУ
Тесты
Карта сайта
Контакты
