Архив по категории: Метод рационализации

Задание №17 Т/Р №119 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №15»

Смотрите также №15№16№18№19№20.

Решите неравенство \frac{log_{(-36x)}6^{x+2}}{log_{36}6^{x+2}}\leq log_{x^2}36. Читать далее

Задание №17 Т/Р №118 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №15»

Смотрите также №15№16№18№19№20.

log^2_2\frac{x-5}{x+2}-log_2(x-5)^2\cdot log_{(x-5)^2}\frac{x-5}{x+2}\geq 0;

Читать далее

Задание №17 Т/Р №104 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №15»

Смотрите также №15№16№18№19№20.

Решите неравенство

log_x(3-x)log_x(4-x)-log_x(x^2-7x+12)+1\geq 0. Читать далее

Задание №17 Т/Р №103 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №15»

Смотрите также №15№16№18№19№20.

Решите неравенство

\frac{\sqrt{6+x-x^2}}{log_2(5-2x)}\leq \frac{\sqrt{6+x-x^2}}{log_2(x+4)}. Читать далее

Задание №17 Т/Р №100 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №15»

Смотрите также №15,  №16№18№20.

Решите неравенство

log_x(\frac{100}{x})\leq \sqrt{log_x(100x^5)}.

Читать далее

Задание №17 Т/Р №101 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №15»

Смотрите также №15,  №16№18№19№20.

Решите неравенство

log_{2x^2-x}(3x-1)\cdot log_{2x-x^2}(3-2x)\geq 0. Читать далее

Задание №17 Т/Р № 99 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №15»

Смотрите также №15№16№18№19№20.

Решите неравенство

log_{2x}(x-4)log_{x-1}(6-x)<0. Читать далее

Задание №17 (С3) Т/Р №95 А. Ларина

2016-02-10

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №15»

Смотрите также №15№16№18№19, №20.

Решите неравенство: log_xlog_2(3-4^{x-1})\leq 1. Читать далее

Задание №17 (С3) Т/Р №94 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №15»

Смотрите также №15, №16№18№19№20.

Решите неравенство:

\frac{log_5(x^2-4x-11)^2-log_{11}(x^2-4x-11)^3}{2-5x-3x^2}\geq 0. Читать далее

Задание №17 (С3) Т/Р №92 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №15»

Смотрите также №15№16№18№19№20.

Решите неравенство log_x(1-2x)\leq 3-log _{\frac{1}{x}-2}x.

Читать далее

Задание №17 (С3) из Т/Р №91 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №15»

Смотрите также №15, №16, №18, №20.

Решите неравенство: log_2(5-x)\cdot log_{x+1}\frac{1}{8}\geq -6. Читать далее

Задание №17 (C3) T/P №89 А.Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №15»

Решите неравенство:

\frac{log_712}{log_7(x^2-9)}\geq \frac{log_5(x^2+8x+12)}{log_5(x^2-9)}.

Читать далее

Диагностическая работа (декабрь 2013). Задание С3

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №15»

Рассмотрим С3 из Д/Р (без производной) от 12 декабря 2013 года. Читать далее

Логарифмическое неравенство из пробного экзамена в МГУ

2015-04-12

Сегодня предлагаю разобрать решение логарифмического неравенства (задание №5), которое предлагалось абитуриентам, поступающим в МГУ (экономический факультет) 20 июня 2013г.

Также смотрите остальные задания этого же экзамена здесь: №1, №2, №3, №4, №6, №7, №8.
Читать далее

Метод рационализации. Часть 3. Примеры

2019-08-08

Рассмотрим несколько примеров категории С3 (№15). Решать будем, используя метод рационализации.

 

Пример 1. 

Решить неравенство \frac{\sqrt{x^2+5x+6}-\sqrt{28-3x-x^2}}{x^2-x-6}<0

Решение:

Находим ОДЗ неравенства:

\begin{cases} &x^2+5x+6\geq 0,& &28-3x-x^2\geq 0,& &x^2-x-6\neq 0;& \end{cases}

\begin{cases} &(x+2)(x+3)\geq 0,& &(x+7)(x-4)\leq 0,& &(x-3)(x+2)\neq 0;& \end{cases}

x\in[-7;-3]\cup(-2;3)\cup(3;4].

Исходное неравенство будет иметь тоже решение, что и  неравенство

\frac{x^2+5x+6-28+3x+x^2}{x^2-x-6}<0 на ОДЗ! согласно методу рационализации.

или

(x^2+5x+6-28+3x+x^2)(x^2-x-6)<0 (на ОДЗ)

2(x^2+4x-11)(x-3)(x+2)<0 (на ОДЗ)

2(x-(-2+\sqrt{15}))(x-(-2-\sqrt{15}))(x-3)(x+2)<0 (на ОДЗ)

И, наконец, с учетом ОДЗ:

Ответ: (-2-\sqrt{15};-3]\cup(-2+\sqrt{15};3).

Пример 3.

Решить неравенство \log_{\frac{x}{3}}(\log_x\sqrt{3-x})\geq 0

 Решение:

ОДЗ данного неравенства:

\begin{cases} &\frac{x}{3}> 0,& &\frac{x}{3}\neq 1,& &\log_x\sqrt{3-x}>0,& &x>0,& &x\neq 1,& &\sqrt{3-x}>0;& \end{cases}

Производим преобразования, – они совсем несложные. А вот к третьей строке применяем метод замены множителей:

\begin{cases} &x> 0,& &x\neq 3,& &(x-1)(\sqrt{3-x}-1)>0,& &x\neq 1;& \end{cases}

И далее применяем рационализацию ко второй скобке в третьей строке:

\begin{cases} &x> 0,& &x\neq 3,& &(x-1)(3-x-1)>0,& &x\neq 1;& \end{cases}

\begin{cases} &x> 0,& &x\neq 3,& &(x-1)(2-x)>0,& &x\neq 1;& \end{cases}

Возвращаемся к исходному неравенству

 \log_{\frac{x}{3}}(\log_x\sqrt{3-x})\geq 0,

производим замену множителей:

(\frac{x}{3}-1)(\log_x\sqrt{3-x}-1)\geq 0

И снова применяем метод замены множителей ко второму множителю:

(\frac{x}{3}-1)(x-1)(\sqrt{3-x}-x)\geq 0

К третьей скобке вновь применяем рационализацию.

Заметим, вообще говоря, \sqrt{x^2}=|x|, но так как в нашем случае (ОДЗ) x>0, то \sqrt{x^2}=x, то есть \sqrt{3-x}-x=\sqrt{3-x}-\sqrt{x^2}.

(\frac{x}{3}-1)(x-1)(3-x-x^2)\geq 0

-(\frac{x}{3}-1)(x-1)(x-\frac{-1+\sqrt{13}}{2})(x-\frac{-1-\sqrt{13}}{2})\geq 0

Учитываем ОДЗ:

Ответ: [\frac{-1+\sqrt{13}}{2};2).

Пример 4. 

Решить неравенство x(|x^2-1|-2|x-1|)< 0

Решение:

Применяем метод рационализации:

x(x^2-1-2(x-1))(x^2-1+2(x-1))<0

x(x^2-2x+1)(x^2+2x-3)<0

x(x-1)^2(x+3)(x-1)<0

x(x-1)^3(x+3)<0

Ответ: (-\infty;-3)\cup(0;1).

Пример 5. 

Решить неравенство \frac{4^{x^2+3x-2}-0,5^{2x^2+2x-1}}{5^x-1}\leq 0

Решение:

Представим 0,5^{2x^2+2x-1} как ((\frac{1}{2})^2)^{x^2+x-0,5},

то есть 0,5^{2x^2+2x-1}=(\frac{1}{4})^{x^2+x-0,5}

Тогда

\frac{4^{x^2+3x-2}-4^{-x^2-x+0,5}}{5^x-1}\leq 0

или

(4^{x^2+3x-2}-4^{-x^2-x+0,5})(5^x-1)\leq 0,   5^x\neq 1

Применяем метод рационализации  к каждой из скобок:

(4-1)(x^2+3x-2+x^2+x-0,5)(5-1)(x-0)\leq 0,   x\neq 0

(2x^2+4x-2,5)x\leq 0,   x\neq 0

 2x(x-0,5)(x+2,5)\leq 0,   x\neq 0

Ответ: (-\infty;-2,5]\cup(0;0,5].