Подготовка к ЕГЭ по математике

[latexpage]Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №223 А. Ларина.

14. На боковых ребрах $DB$ и $DC$ треугольной пирамиды $ABCD$ расположены точки $M$ и $N$ так, что $BM=MD$ и $CN:ND=2:3.$ Через вершину $A$ основания пирамиды и точки $M$ и $N$ проведена плоскость  $\alpha,$ пересекающая медианы боковых граней, проведенных из вершины $D,$ в точках $K,R$ и $T.$
а) Докажите, что площадь треугольника $KTR$ составляет $\frac{5}{22}$ от площади сечения пирамиды плоскость $\alpha.$

б) Найти отношение объемов пирамид $KRTC$ и $ABCD.$

Читать далее

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №18; №19  Тренировочной работы №223 А. Ларина

17. Предприятие производит холодильники и является прибыльным. Известно, что при изготовлении $n$ холодильников в месяц расходы на выпуск одного холодильника составляют не менее $\frac{48000}{n}+240-|80-\frac{48000}{n}|$ тыс. рублей, а цена реализации каждого холодильника при этом не превосходит $480-\frac{n}{5}$ тыс. рублей. Определить ежемесячный объем производства, при котором может быть получена наибольшая при данных условиях прибыль. Читать далее

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №18 Тренировочной работы №223 А. Ларина.

19. Дано трехзначное натуральное число, не кратное $100.$

а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным $89$?

б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным $86$?
в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?

Читать далее

Смотрите также  №14; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №223 А. Ларина.

13. Дано уравнение $cos(x+\frac{\pi}{3})+sin(x+\frac{\pi}{6})-cos2x=1.$

а) Решите уравнение.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-\frac{3\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$.

Читать далее

Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №223 А. Ларина.

16. Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность с центром в точке $O.$ Радиус $AO$ перпендикулярен радиусу $OB,$ а радиус $OC$ перпендикулярен радиусу $OD.$

а) Докажите, что $BC \parallel AD.$

б) Найдите площадь треугольника $AOB,$ если длина перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на $AD,$ равна $9,$ а длина отрезка $BC$ в два раза меньше длины отрезка $AD.$

Читать далее

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №18 Тренировочной работы №220 А. Ларина.

19. а) Могут ли выполняться равенства $a_1+a_2+a_3+a_4=a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot a_4=30,$ где $a_1,a_2,a_3,a_4$ – целые числа?

б) Могут ли выполняться равенства $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7=a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot a_4\cdot a_5\cdot a_6\cdot a_7=60,$ где $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7$ – целые числа?
в) При каком наименьшем номере  $n\geq 2$ могут выполняться равенства

$a_1+a_2+…+a_n=a_1\cdot a_2\cdot …\cdot a_n=2018,$ где $a_1,a_2,…,a_n$ – целые числа?

Читать далее

Смотрите также №13; №14; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №220 А. Ларина.

15. Решите неравенство

$2\sqrt{sin^2x-sinx-1}\geq cos^2x+sinx+3.$ Читать далее

Смотрите также №14; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №220 А. Ларина.

13. Дано уравнение $8^x+3=3\cdot 4^x+2^x.$

а) Решите уравнение.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-\frac{1}{2};\frac{3}{2}]$.

Читать далее

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №18; №19 Тренировочной работы №220 А. Ларина

17. 1 июля планируется взять кредит в банке на сумму $300$ тыс. рублей на некоторый срок (целое число месяцев). Условия его возврата таковы:

‐ 15 числа каждого месяца долг возрастает на $10$% по сравнению с началом текущего месяца;

‐ с 16 по 28 число каждого месяца необходимо выплачивать часть долга.

‐ 1 числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше, чем долг на 1 число предыдущего месяца.
На сколько месяцев был взят кредит, если известно, что сумма выплат за первый год оказалась на $144$ тыс. рублей больше, чем сумма выплат за второй год? Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.

Читать далее

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №19 Тренировочной работы №220 А. Ларина.

18. Найдите все значения параметра $a$, при каждом  из которых уравнение

$lg(1-x)+lg(a^2-x^2)=lg(x-a)^2$

имеет ровно одно решение.

Читать далее

Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №220 А. Ларина.

16. Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке $K$. Прямая $p$

касается первой окружности в точке $M$, а второй – в точке $N$.
а) Докажите что расстояние от точки $K$ до прямой $p$ равно $\frac{MK\cdot KN}{MN}$.

б) Найдите площадь треугольника $MNK$, если известно, что радиусы окружностей равны соответственно $12$ и $3$.

Читать далее

[

Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №220 А. Ларина.

14. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точка $O_1$ – центр квадрата $ABCD$, точка $O_2$ – центр квадрата $CC_1D_1D$.
а) Докажите, что прямые $A_1O_1$ и $B_1O_2$ – скрещивающиеся.
б) Найдите расстояние между прямыми $A_1O_1$ и $B_1O_2$, если ребро куба равно $2$.

Читать далее

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №19 Тренировочной работы №215 А. Ларина.

18. Найдите все значения параметра $a$, при каждом  из которых уравнение

$\begin{cases}
x^2+y^2-2|x-y|=2,\\x^2+y^2-2a(x+y)+2a^2=2;&
\end{cases}$

имеет ровно два решения.

Читать далее

Смотрите также №14; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №215 А. Ларина.

13. Дано уравнение $\large log_2sinx\cdot log_{sinx}cos^2x=-1.$

а) Решите уравнение.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[4\pi; \frac{11\pi}{2}]$.

Читать далее

Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №215 А. Ларина.

14. В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точка $K$ – середина ребра $AB$.

а) Докажите, что плоскость $CKD_1$ делит объем параллелепипеда в отношении $7:17$.
б) Найдите расстояние от точки $D$ до плоскости $CKD_1$, если известно, что ребра $AB,AD,AA_1$ попарно перпендикулярны и равны соответственно $6$, $4$ и $6$.

Читать далее