Подготовка к ЕГЭ по математике

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №18; №19 Тренировочной работы №202 А. Ларина.

17. 1 апреля 2017 года Юрий открыл в банке счёт «Пополняй», вложив $6$ млн. рублей сроком на 4 года под $10$% годовых. По договору с банком проценты по вкладу должны начисляться 31 марта каждого последующего года.

1 апреля 2018 года и 1 апреля 2020 года Юрий решил пополнять счёт на $n$ тысяч рублей ($n$ – целое число).

1 апреля 2021 года Юрий собирается закрыть счёт в банке и забрать все причитающиеся ему деньги.
Найдите наибольшее значение $n$, при котором доход Юрия от вложений в банк за эти $4$ года окажется не более $3$ млн. рублей.

Читать далее

Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №202 А. Ларина.

16. В прямоугольнике $ABCD$ на стороне $BC$ отмечена точка $K$ так, что $BK=2CK$.

а) Докажите, что $BD$ делит площадь треугольника $AKC$ в отношении $3:7$.

б) Пусть $M$ – точка пересечения $AK$ и $BD$, $P$ – точка пересечения $DK$ и $AC$. Найдите длину отрезка $MP,$ если $AB=8,BC=6.$

Читать далее

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №19 Тренировочной работы №202 А. Ларина.

18. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$|x-2|+|x|-ax=2(a-1)$

имеет ровно один корень. Читать далее

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №18 Тренировочной работы №202 А. Ларина.

19. На доске записаны $20$ чисел: пять единиц, пять двоек, пять троек и пять четверок. Эти числа разбивают на две группы (в каждой группе не менее одного числа). Пусть среднее арифметическое чисел в первой группе равно $A$, а среднее арифметическое чисел во второй группе равно $B$.

Читать далее

Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №202 А. Ларина.

14. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ $AB=2,AD=1, AA_1=3.$ Точка $K$ лежит на ребре $CC_1$ так, что $CK:C_1K=5:4.$
а) Докажите, что прямые $DB_1$  и $D_1K$ перпендикулярны.

б) Найдите расстояние от точки $D_1$ до плоскости $KA_1D$.

Читать далее

Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №197 А. Ларина.

14. В конусе с вершиной в точке $P$ высота равна $1$, а образующая равна $2$. В основании конуса провели диаметр $CD$ и перпендикулярную ему хорду $AB$. Известно, что хорда

$AB$ удалена от центра основания на расстояние, равное $1$.

а) Докажите, что треугольник $PAB$ прямоугольный.
б) Найдите сумму объемов пирамид $CAPB$ и $DAPB$.

Читать далее

Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №197 А. Ларина.

16. Диагонали прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ описаны около треугольников $AOB$ и $BOC$ соответственно. Пусть $O_1$ – центр окружности $\omega_1$, а $O_2$ – центр окружности $\omega_2$.
а) Докажите, что прямая $BO_1$ касается окружности $\omega_2$, а прямая $BO_2$ касается окружности $\omega_1$.
б) Найдите длину отрезка $O_1O_2$, если известно, что $AB=6,BC=8.$

Читать далее

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №18  Тренировочной работы №197 А. Ларина.

19. а) Найдите значение выражения $tg1^{\circ}\cdot tg2^{\circ}\cdot tg3^{\circ}\cdot …\cdot tg88^{\circ}\cdot tg89^{\circ}.$

б) Докажите, что $tg40^{\circ}+tg55^{\circ}+tg85^{\circ}=tg40^{\circ}\cdot tg55^{\circ}\cdot tg85^{\circ}$.

в) Найдите значение выражения $(1+tg1^{\circ})\cdot (1+tg2^{\circ})\cdot …\cdot (1+tg44^{\circ})$.

Читать далее

Смотрите также №13; №14; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №197 А. Ларина.

15. Решите неравенство

$\large \frac{4^{\sqrt{x-1}}-5\cdot 2^{\sqrt{x-1}}+4}{log^2_2(7-x)}\geq 0.$ Читать далее

Смотрите также №14; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №197 А. Ларина.

13. Дано уравнение $\frac{2\sqrt 3cos^2x+sinx}{2cosx-1}=0.$

а) Решите уравнение.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[3\pi;\frac{9\pi}{2}]$.

Читать далее

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №18; №19 Тренировочной работы №197 А. Ларина.

17. Гражданка Васильева вложила $44$ млрд. рублей в два оффшорных банка на $3$ года: часть денег в банк А, остальное в банк Б. Известно, что банк А ежегодно начисляет $10$%

годовых; банк Б в первый год начисляет $5$% годовых, во второй – $10$%, а в третий – $15$%. Сколько рублей было вложено в каждый из банков, если через три года доход гражданки Васильевой от вложения денег составил $14520$ млн. рублей. Читать далее

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №19 Тренировочной работы №197 А. Ларина.

18. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$\sqrt{4x-x^2}\cdot log_2(x^2-2ax+a^2)=0$

имеет ровно три различных корня. Читать далее

Смотрите также №13; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №196 А. Ларина.

14. В основании пирамиды $PABC$ лежит равнобедренный треугольник $ABC$ $(AC=BC).$ Все боковые ребра пирамиды попарно равны. Точка $K$ – середина $AB$. В эту пирамиду вписана сфера.

а) Докажите, что точка касания сферы с гранью $APB$ лежит на прямой $PK$.

б) Найдите радиус сферы, если известно, что $AB=6,BC=5,KP=4$.

Читать далее

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №18; №19 Тренировочной работы №196 А. Ларина.

17. Роман Абрамович внес в банк «Альфа» $S$ тысяч рублей ($S$ – целое число) под $10$% годовых сроком на три года. Одновременно с ним Абрам Романович внес в банк «Бетта» такую же сумму на год под $15$% годовых с возможностью пролонгировать (продлить) вклад на второй год под $10$% годовых, а на третий – под $5$% годовых. Найдите наименьшее значение $S$, при котором суммы на счетах Романа Абрамовича и Абрама Романовича спустя три года будут отличаться более, чем на $300$ тысяч рублей.

Читать далее

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №17; №18; №19 Тренировочной работы №196 А. Ларина.

18. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$log^2_x(2ax+1-a^2)-2log_x(2ax+1-a^2)=0$

имеет более двух корней. Читать далее